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专题01 一元函数的导数及其应用
4大高频考点概览
考点01 导数的概念及其意义
考点02 导数的运算
考点03 导数在研究函数中的应用
考点04 导数的综合应用
(
地
城
考点01
导数的概念及其意义
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）函数在区间上的平均变化率是（ ）
A．2 B．2x C． D．
2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．2 B．1 C．8 D．4
3．（24-25高二下·浙江台州·期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·浙江台州·期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

A． B． C． D．
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的切线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）函数在处的切线为，则（ ）
A． B． C． D．1
9．（24-25高二下·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知点不在函数（为自然对数的底数）图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
13．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
14．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是_________________．
15．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________．
16．（24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则_____．
(
地
城
考点02
导数的运算
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（24-25高二下·浙江台州·期中）下列求导过程错误的选项是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）给出的下列选项中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·浙江·期中）下列求导数的运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
7．（24-25高二下·浙江·期中）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二下·浙江·期中）下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则_________.
10．（24-25高二下·浙江宁波·期中），则________
11．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数，则的值为_____________.
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数导函数为，且，则__________.
(
地
城
考点0
3
导数在研究函数中的应用
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
2．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
3．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处有极值，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·浙江·期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·浙江·期中）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，，则，b，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，若当且仅当，则的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
14．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数，若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24高二下·浙江·期中）若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数，则（ ）
A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点
C．当时， D．当时，
19．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在区间上为增函数；
B．函数的值域为；
C．函数在点处的切线方程为
D．关于的方程有2个不同的根当且仅当
20．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是
C．在定义域内既无最大值又无最小值 D．若有两个不同的交点，则
21．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．共有3个零点
B．既存在极大值，也存在极小值
C．若时，，则的最大值为2
D．若函数有2个零点，则
22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，的导函数为，则（）
A．若，函数有极值点
B．若，当时，
C．
D．若不等式的解集为，则
23．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数，则（ ）
A．是奇函数 B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个极值点 D．是的一条切线方程
24．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，定义集合，对于任意，都有，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25高二下·浙江·期中）设实数，若不等式对任意恒成立，那么的取值可能是（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
27．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则______________.
28．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为__________．
29．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________.
30．（24-25高二下·福建·期中）若函数有2个零点，则m的取值范围是__________.
31．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为__________．
四、解答题
32．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
33．（24-25高二下·浙江杭州游·期中）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
34．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．
35．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数．
36．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，.
(1)求在点处的切线方程；
(2)比较与的大小，并说明理由.
37．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，
(1)当时，
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数有唯一极值点；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
38．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)探究的最小值；
(3)当时，求的最小值的极值．
39．（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)若存在两个零点，求m的取值范围.
40．（23-24高二下·浙江·期中）设函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且，其中，求证：；
(3)若，函数，求在上的最大值．
41．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中
(1)当时，求的值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数存在两个极值点，，且，证明：．
42．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值；
(2)若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）设的两个极值点为、，证明：.
(
地
城
考点0
4
导数的综合应用
)
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函数有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．或
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为 B．的极小值为0
C．在单调递增 D．有三个实根
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数有两个零点，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数其中，则下列选项正确的是 （ ）
A．
B．若，则
C．，使有两解，则
D．有最大值
11．（23-24高二下·浙江·期中）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为和
B．当时，
C．若方程有6个不等实数根，则
D．设，若对，使得成立，则
三、填空题
12．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数在有零点，则实数的取值范围为______．
13．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为__________.
14．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是___________.
15．（23-24高二下·浙江·期中）已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______.
16．（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为________.
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是____________.
18．（23-24高二下·浙江·期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
19．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点．
(1)求的值；
(2)求证：．
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围.
21．（24-25高二下·浙江·期中）已知，.
(1)令，讨论的单调性和极值；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
22．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
23．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列，满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)设数列的前n项和为，证明：．
24．（24-25高二下·浙江·期中）设函数.
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：当时，有.
25．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，.
(1)求在上的最大值；
(2)方程有两个实根、，且.
（i）若，求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
26．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
27．（24-25高二下·浙江宁波·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，，注：，，，，…已知函数在处阶帕德近似为．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)证明：当时，；
(3)设t为实数，讨论方程的解的个数．
28．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的单调性；
(3)若，其中且，求实数的值．
29．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
30．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围．
31．（24-25高二下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：
定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i）且；
（ii）对于任意的，有；
（iii）．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差．
(3)若函数，证明：．
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专题01 一元函数的导数及其应用
4大高频考点概览
考点01 导数的概念及其意义
考点02 导数的运算
考点03 导数在研究函数中的应用
考点04 导数的综合应用
(
地
城
考点01
导数的概念及其意义
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）函数在区间上的平均变化率是（ ）
A．2 B．2x C． D．
【答案】C
【分析】直接根据平均变化率的概念求解即可.
【详解】.
故选：C
2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．2 B．1 C．8 D．4
【答案】D
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】由导数的定义得，故D正确.
故选：D
3．（24-25高二下·浙江台州·期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】由导数的几何意义可知，再利用导数的定义计算即可.
【详解】由题意可知，，则.
故选：A
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程.
【详解】由可得：，即，
根据导数的定义可知：，
又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，
所以过点处的切线方程为：，即，
故选：A.
5．（23-24高二下·浙江台州·期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可.
【详解】设，，由图可得，
而，
故.
故选：C.
6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导函数图象可判断原函数切线斜率的变化，结合选项中的图象即可判断．
【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增，
则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意；
选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意；
选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意；
选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意.
故选：A．
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的切线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设切点坐标，由题意可得且，求解即可.
【详解】设切点坐标为，
，
则且，
解得，再代入，
可得：，
故选：D
8．（24-25高二下·浙江杭州·期中）函数在处的切线为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意，求得，得到且，由在处的切线为，得到且，联立得到，即可求得的值.
【详解】由函数，可得，则且，
因为函数在处的切线为，可得，且，
所以，可得，所以.
故选：A.
9．（24-25高二下·浙江·期中）动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果.
【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行，
则，所以，解得或（舍），
即，则切点为，
切线方程为，化简可得，
则的最小值即为切线与直线的距离，
所以.
故选：C
10．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设直线切函数的图象于点，利用导数的几何意义可得出直线的方程，将直线的方程与函数的解析式联立，由求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】设直线切函数的图象于点，则，切线斜率为，
所以切线的方程为，即，
联立可得，
，整理可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，故方程的根为，
因此，直线的方程为，即.
故选：D.
二、多选题
11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
【答案】ABC
【分析】首先分别表示出，再根据选项A、B比较大小即可；选项C可根据图象，瞬时速度的几何意义可判断；选项D，可以通过观察曲线在各点处的切线的斜率，即可判断.
【详解】由题意可知：，，，
由图象可知且，因此，
而，所以，
因此，此时，所以A选项正确；
由，
可得，
故成立，选项B正确；
选项C，设,,分别作出直线；
,,
瞬时速度的几何意义就是时刻曲线的切线的斜率；
由图象可知，存在，曲线在点处的切线斜率与相等，
即存在，使得，
故C选项正确；
选项D，t时刻的瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确；
故选：ABC
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知点不在函数（为自然对数的底数）图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BC
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，依题意可得，令，利用导数说明函数的单调性，又与有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】依题意可知，由，则，设切点为，
则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
即关于的方程有两个实数根（不为），
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，当时且时，
依题意与有两个交点，所以，
结合选项可知只有B、C符合题意.
故选：BC
三、填空题
13．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
【答案】
【分析】根据导数求出在x＝1处的切线斜率，用点斜式求出切线方程.
【详解】已知当时，
由，得
根据点斜式可得：
故答案为:
14．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是_________________．
【答案】
【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】因为，所以，
令可得，解得，故，
所以，即切点坐标为，
因此函数在处的切线方程是，即.
故答案为：.
15．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得.
【详解】因为，
所以
，
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，
所以，
故答案为：
16．（24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则_____．
【答案】
【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果.
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故答案为：.
(
地
城
考点02
导数的运算
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用基本函数的导数，求得，即可求解.
【详解】因为，则，所以，
故选：D.
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】对函数求导，将自变量代入求导数值.
【详解】由题设，则.
故选：A
3．（24-25高二下·浙江台州·期中）下列求导过程错误的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：B.
4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）给出的下列选项中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的计算法则判断即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C
5．（23-24高二下·浙江·期中）下列求导数的运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数求导公式判断A，根据复合函数和对数函数求导公式判断B，根据幂函数求导公式判断C，根据三角函数求导公式结合乘法导数公式判断D.
【详解】对于A，，A正确，
对于B，设，，
函数关于变量的导函数为，
函数关于变量的导函数为
所以，B错误，
对于C，，C正确，
对于D，，
所以，D正确，
故选：B.
6．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】对函数求导，代入，解方程即可得解.
【详解】因为，则令，有，所以.
故选：A.
二、多选题
7．（24-25高二下·浙江·期中）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由导数的四则运算及简单复合函数的求导，逐个判断即可.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：ABC.
8．（24-25高二下·浙江·期中）下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据求导公式计算即可.
【详解】，.故BD错误，显然AC正确.
故选：AC.
三、填空题
9．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则_________.
【答案】
【分析】由函数解析式求导，代入，根据特殊角三角函数值，建立方程，可得答案.
【详解】由，则，
即，，
解得.
故答案为：.
10．（24-25高二下·浙江宁波·期中），则________
【答案】/
【分析】对函数求导，取，代入运算即可求解.
【详解】对函数求导得：，
当时，，解得，
故答案为：.
11．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数，则的值为_____________.
【答案】
【分析】求导，令，解得.
【详解】，故，
即，
解得.
故答案为：
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数导函数为，且，则__________.
【答案】
【分析】对求导得到，令，得到，从而，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
得到，所以，
故，所以，
故答案为：.
(
地
城
考点0
3
导数在研究函数中的应用
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误.
【详解】由题图知，在上，则在上单调递减，
在上，则在上单调递增，
所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值.
故选：C
2．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
【答案】C
【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合即可判断D选项的正误.
【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，
单调递减区间为、，B选项正确；
由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确；
当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误；
作出函数的图象如下图所示，由下图可知，
当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.
故选：C
3．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处有极值，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对求导，得到，根据题设有，即可求解.
【详解】因为，则，由题有，
解得，所以，
令，得到或，
当时，，当时，，
所以是的极大值点，即满足题意，
故选：C.
4．（23-24高二下·浙江·期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先确定函数定义域，然后令可分解因式得，通过求导研究函数的单调性，确定最小值符号，即可得出结论.
【详解】解：由题可得，故令，
即，令，
则，
由，
所以在单调递增，在递减，
又，，
在与分别有一个零点，
所以有两个零点，故有两个零点，
故选：B.
5．（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由有极值，得有变号零点，即有2个不相等的实数根，列出不等式求解即可．
【详解】函数定义域为，，
因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根，
所以，
故选：B．
6．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解.
【详解】函数，则，
因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因在区间上单调递减，则，
故，即实数的取值范围是.
故选：B
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可.
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选：C
8．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对求导，得到，根据条件有，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则，
由题有，得到，所以，
得到，当且仅当时，取等号，
故选：D.
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导可得，再根据在区间上有两个根，结合韦达定理与判别式列式求解即可.
【详解】由题意，
又函数既有极大值也有极小值，故方程有两个不相等的正根，
故，则，排除ACD.
因为，故异号，故.
故选：B
10．（24-25高二下·浙江·期中）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象确定函数单调区间，得到的正负，再逐个判断即可.
【详解】由函数图象可知：恒成立，且，
当时，单调递减，，所以
当时，单调递增，，所以，
当时，取得极小值，所以，
所以成立，成立，故A、B一定成立；
由的几何意义为函数图象分别在处的切线斜率，
由函数图象可知，函数图象在上升越来越快，可判断，故D一定成立；
而对于的大小，由现有条件无法判断.
故选：C.
11．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】令，由题意有在上恒成立，即即可，利用导数研究单调性即可求解.
【详解】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可，
所以，令有或，
由，所以，由有或，由有，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以只需，
故选：D.
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，，则，b，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数探讨单调性建立不等式，再赋值即可比较大小.
【详解】令函数，求导得，
函数在上单调递减，则，即当时，，且，
因此，，即，
所以，b，的大小关系为.
故选：C
13．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，若当且仅当，则的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，根据及绝对值不等式转化可得，若，得，取，分和讨论的单调性及最值，继而即可求解.
【详解】定义域为，
得．
又，
（注：，证明：因为，，所以），
所以若，则，
即．
这样，若，则取，
得，进而在递增，
故，与已知条件矛盾！
所以．即，也即．
当时，，
得，取等当且仅当，
故在上递减，符合要求．综上，的最小值为．
故选：.
14．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围．
【详解】已知，其定义域为，对求导，可得：
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则．
函数恰有个不同的零点，即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根． 则，解得 .
实数的取值范围是．
故选：B．
15．（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
B选项，由，即，可得，故B错误；
C选项，由，即，可得，故C正确；
A选项，因为，不妨设（为常数），
即（为常数），所以，
令，故，当时，为常数函数，
此时，即，所以，故A错误；
D选项，根据上述分析，，（为常数），
故，，令，，
当时，，在上单调递减，
所以，则，故D错误.
故选：C.
16．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数，若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数，求导后可判断原函数的单调性，根据数形结合思想，令，则，可判断出，，，由三次方程的韦达定理为，，，凑出选项，利用不等式的性质或者函数的单调性求出范围即可.
【详解】因为，，
所以，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且当时，，
当时，，
且时，或，
又，
，
整理得：，
所以的对称中心为，
如图所示：

令，
则由图可知：且，，，所以A错误；
对于B：，
又因为，所以，且，
所以，
所以，
因为在上单调递减，故，所以，故B错误；
对于C，因为，，，
所以，由，知，，
由B知，，所以，
故，又，所以，所以C正确；
对于D，因为的对称中心为，当时，所以，
或者根据三次方程的韦达定理知，，所以D错误.
故选：C
【点睛】结论点睛：关于的三次方程的韦达定理为，，.
17．（23-24高二下·浙江·期中）若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得，利用导数求函数的最大值，由此可得，再利用导数求的最大值可得结论.
【详解】因为，
设，则，
令，可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
所以，故，
所以,
设，
则，令可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
故当，时，取最大值，最大值为，
故选：D.
二、多选题
18．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数，则（ ）
A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【分析】利用导数判断出单调性，作出的大致图象，利用任意三次函数的图象均为中心对称图形，且对称中心为点可判断A；由单调性可判断BCD.
【详解】由题可得，令，得或，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
且当时，，当时，，
所以可作出的大致图象如图所示：
选项A：设，则，令，得，
又，所以点是图象的对称中心，故A正确；
选项B：易知是的极小值点，故B正确；
选项C：当时，，又在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，，，
所以，故C错误.
选项D：当时，，又在上单调递增，
所以，故D正确；
故选：ABD.
19．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在区间上为增函数；
B．函数的值域为；
C．函数在点处的切线方程为
D．关于的方程有2个不同的根当且仅当
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得函数在区间上的单调性，以及的值，即可判断ABD；再由题意可得且，结合导数的几何意义即可判断C.
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
对于A中，当时，，单调递增，所以A正确；
对于B中，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有极小值，且，
又由，所以函数在区间上的最大值为，
最小值为，其值域为，所以B错误；
对于C中，由，可得且，
所以函数在点处的切线方程为，
即，所以C正确；
对于D中，由在递减，在上递增，且，
要使得方程在区间上有两解，则，所以D正确.
故选：ACD
20．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是
C．在定义域内既无最大值又无最小值 D．若有两个不同的交点，则
【答案】ACD
【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.
【详解】对于A，函数定义域满足，解得，
由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时.
所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；
对B， 的单调减区间是，，故B不正确；
对C，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C正确；
对D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确；
故选：ACD
21．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．共有3个零点
B．既存在极大值，也存在极小值
C．若时，，则的最大值为2
D．若函数有2个零点，则
【答案】BCD
【分析】对于函数的零点，可令函数值为求解；对于极值，通过求导判断导数的正负来确定函数的单调性，进而得到极值点；对于最值，结合函数单调性来分析；对于函数的零点问题，可转化为与的交点问题．逐项判断即可.
【详解】令，因为恒成立，所以只需．
可得，即有个零点，所以选项错误．
对求导，可得．
令，即，因为恒成立，所以，解得或．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以是极小值点，是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确．
由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，．
当时，，若时，，则的最大值为，选项正确．
函数有个零点，即与的图象有个交点．
，结合函数单调性和极限情况可知，
当时，与的图象有个交点，选项正确．
故选：BCD.
22．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数，的导函数为，则（）
A．若，函数有极值点
B．若，当时，
C．
D．若不等式的解集为，则
【答案】BC
【分析】对于A，只需判断是否有变号零点即可；对于B，判断在上的单调性，利用单调性比较大小即可；对于C，分别求出和，验证是否相等即可；对于D，依题意可知在恒成立，构造函数，利用导数研究最值即可.
【详解】由得的定义域为，
对于A，令得，
当时，，
当时方程无实数解，
故无实数解，此时无极值点，故错误；
对于，若时，则，
当时，，在单调递减，
时，故正确；
对于，，
，
，故正确；
对子D，的解集为，
当时，恒成立，
即恒成立，
只需恒成立即可，
今
则
时在单调递减，
在单调递增，
，
当，即时，在上恒成立，
故在单调递减，
满足题意，故D错误；
故选：BC
23．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数，则（ ）
A．是奇函数 B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个极值点 D．是的一条切线方程
【答案】ABD
【分析】对于A，利用奇函数的定义即可判断；对于B，将解析式分段写出，然后分别求导，得在上单调递增，由零点存在定理可判断；对于C，由B可知在上恒成立，可判断C；对于D，分类讨论在和范围内是否有导数值即斜率为的点，再验证函数值是否相等，由此可判断正误.
【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确；
对于B，当时，，在上恒成立，
即在上单调递增，且此时；
同理当时，，在上恒成立，
即在上单调递增，且此时，又，
故在上单调递增，又，由零点存在定理可知有且仅有1个零点，故B正确；
对于C，由B选项分析可知在上恒成立，且在处两边导数值均为正不变号，
由函数极值点的定义可知，函数在上无极值点，故C错误；
对于D，当时，令，解得，
且，此时，故不是在内的切线方程；
当时，令，解得，
且，此时，故是在处的切线方程；
当时，因为，此时，故不是在处的切线方程；
综上，是在处的切线方程，故D正确.
故选：ABD.
24．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于AC：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于BD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可.
【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，
且，则，所以，
即，A正确；
B选项：令，则，
可知在上单调递增，
因为，所以，即，
又因为，则，可得，
所以，B错误；
C选项：因为，且，则，即，
因为在上单调递增，所以，C正确；
D选项：由B可知，且，
则，
令
当单调递增，所以，所以，
所以，
所以，D正确．
故选：ACD.
25．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，定义集合，对于任意，都有，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】分析可知函数在定义域上单调递增或为常值函数，则在定义域上恒成立，即，分、、三种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为集合，对于任意，都有，即，
由题意函数在定义域上单调递增或为常值函数，
则在定义域上恒成立，即，
当时，则有，合乎题意；
当时，则，令，其中，则，
故函数在上单调递增，且当时，，
当时，，所以；
当时，则，令，其中，则.
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
综上所述，.
故选：ABC.
26．（24-25高二下·浙江·期中）设实数，若不等式对任意恒成立，那么的取值可能是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】CD
【分析】由题意得对任意恒成立，设，则对任意恒成立，根据导数求得，由求解即可．
【详解】，
设，则对任意恒成立，
，设，则，
所以在单调递增，又，当时，，
所以存在使得，则，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以
，当且仅当时等号成立，解得，
故选：CD．
三、填空题
27．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则______________.
【答案】/
【分析】根据极值与极值点的定义可得解.
【详解】由，
得，
则，
解得或，
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极小值，不成立；
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极大值，成立；
综上所述，
故答案为：.
28．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得关于的不等式，求解即得答案．
【详解】由，得，
令，得
∵，∴
当时，；当时，;
所以在区间上是增函数，在上是减函数.
若在上不单调，则，
解得.
即a的取值范围为.
故答案为：
29．（24-25高二下·浙江·期中）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是_________.
【答案】
【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式.
【详解】设，对求导可得.
已知，所以.可得（为常数）.
因为，所以，则.
对求导，可得.
已知，将代入可得：
，所以.
求解不等式，即.
当时，与都大于，
令，对求导得.
再令，对求导得.
当时，，所以在上单调递增，
则.
因为，所以，即在上单调递增.
又.
所以由可得.
故不等式的解集是.
故答案为：.
30．（24-25高二下·福建·期中）若函数有2个零点，则m的取值范围是__________.
【答案】
【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，
函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点，
因此，解得，
所以m的取值范围是.
故答案为：
31．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为__________．
【答案】/
【分析】根据题意，同构法可得，再将转化为关于的函数，再利用导数求最大值即可得解.
【详解】因为，
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为当时，，且，所以，
又，所以.
所以.
令 ，
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以有最大值.
故答案为：.
四、解答题
32．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为，最小值为
【分析】（1）求出导函数，利用极值点的定义即可求出，由此得到函数的解析式；
（2）求出导函数零点，分析零点左右的的正负情况，由此得到的单调性和极值，
比较极值和区间端点的函数值，即可得到函数在区间的最大值与最小值．
【详解】（1），由题意得，即，解得，
经检验，时函数在处取得极大值，故解析式为；
（2）由（1）知，令解得或，
因，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，，故的最大值为，最小值为．
33．（24-25高二下·浙江杭州游·期中）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验；
（2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得.
【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
34．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性；
(2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
则，
令，易知函数在上是减函数，且，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）由已知得：，且，
令，则，
当时，，则在上是减函数，又，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在时取到极大值，不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，
故在上单调递减，
又，且，
所以当时，有，从而，即在上单调递增，
当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去；
当时，则，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在时取到极小值，也是最小值，所以，
从而有，所以在上单调递增，
又不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，
故在上单调递增，
又，且，
所以当时，有，从而，即在上单调递增，
当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极小值，符合题意，故；
综上所述可得实数m的取值范围是
35．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数．
【答案】(1)
(2)个
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为实数，函数，该函数的定义域为，
，
令，则，
令，则，
对于方程，，
设函数的两个零点分别为、，且，
由韦达定理可得，，必有，，
由可得，由可得或，
所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
因为，，
所以，，则，
所以函数在内有且只有一个异号零点，
当时，；当时，，
所以函数在区间、上各有一个异号零点，
综上所述，函数的极值点个数为.
36．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，.
(1)求在点处的切线方程；
(2)比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）先把代入函数得到切点纵坐标．再对求导，把代入导函数得到切线斜率．最后用点斜式求出切线方程．
（2）先求的导数，根据导数正负判断单调性，找到最小值．因为大于，所以大于最小值，代入函数变形后就能证明不等式．
【详解】（1）解：因为，所以
又因为，所以
所以切线方程为：
（2）判断，
因为，所以在单调递减，在单调递增
所以恒成立，当且仅当时取到等号
所以，即，证毕.
37．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，
(1)当时，
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数有唯一极值点；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
(2).
【分析】（1）（ⅰ）求出导函数，然后利用导数的几何意义求出斜率，然后利用点斜式方程求得切线方程；
（ⅱ）结合对数函数的单调性及单调性的性质得在上单调递增，根据零点存在定理得存在使得，求出函数的单调区间，利用极值点的概念即可证明.
（2）解法1：结合在上单调递增，根据零点存在定理得存在，使得，从而求得函数的单调区间，求得最小值，根据最值列不等式，利用单调性求解即可；
解法2：分离参数得，设，利用导数法研究其单调性，求得最小值即可得解.
【详解】（1）当时，，则在上单调递增，
（ⅰ）因为，，
所以函数在处的切线方程为，即.
（ⅱ）证明：因为在上单调递增，
且，，所以存在使得.
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，所以函数有唯一极值点.
（2）解法1：，且单调递增，
因为当无限趋向于0时，，当无限趋向于正无穷大时，，
所以存在，使得，
则时，，时，，
故在单调递减，在单调递增.
所以函数，
将代入上式，
则，即，
因为单调递增，所以，
所以，又在上单调递增，
所以.
解法2：因为恒成立，即恒成立，
分离参数得，
设，，
设，单调递增且，
所以当时，；当时，.
所以当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，所以.
38．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)探究的最小值；
(3)当时，求的最小值的极值．
【答案】(1)
(2)
(3)极大值为，无极小值．
【分析】（1）求导得，，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）对求定义域，求导，根据a取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值；
（3）令，对函数求导，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
则，，
所以切线的方程为
（2）定义域为．
当时，，则在上单调递增，故没有最小值；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以
综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；
（3）由（2）可得
设，则，
令，得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
39．（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)若存在两个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增.
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后令，再对函数求导，即可判断单调性；
（2）参变分离得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解；
【详解】（1）若，则，则，，
令，则，
因为，则，所以，即函数在上单调递增，
则，
即在上恒成立，
所以在上单调递增.
（2）令，可得，
所以与恰有两个交点，
设，则，
令可得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，；当时，，的取值范围是.
40．（23-24高二下·浙江·期中）设函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且，其中，求证：；
(3)若，函数，求在上的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性；
（2）由存在极值点，可得，再根据，经计算可得；
（3）根据，分析其单调性，分，，三种情况求其最大值，可得结论.
【详解】（1）
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，在上单调递增，上单调递减．
（2）由（1）知，，即
因为
所以
所以
所以 又，所以．
（3）
当时，，，
所以当时，，当时，
所以在上单调递增，上单调递减，
当时，，，所以
在上单调递增，
，，，
①当时，即时，在上单调递增，
所以；
②当时，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以；
③当时，即时，
所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
由于，，
当时，即，所以，
当时，即，所以
则
综上，．
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
41．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中
(1)当时，求的值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若函数存在两个极值点，，且，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果；
（2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（3）结合（2）中的结论可得，，然后构造函数，，利用导数即可得到，从而得证.
【详解】（1）当时，，，
∴.
（2）当时，，
令，
当时，恒成立，∴，∴在上单调递减．
当时，有两个根分别为，，
当时，，
当，，
∴递减区间为，，
递增区间为.
综上所述：当时，在上单调递减．
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知，，，，∴，，
∴，
构造函数，，
，
记，，
令，解得，（舍去），
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，∴时，，即，
∴在上单调递减，∴，∴，
综上所述即证：.
42．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值；
(2)若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）设的两个极值点为、，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出函数的最大值；
（2）（i）令，由题意可知函数存在两个不同的变号零点，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（ii）由题意可知方程的两个不等的实根分别为、，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可证得成立；要证，只需证，令，利用导数分析函数的单调性，可证得，由此可证得结论成立.
【详解】（1）因为时，，所以，
令，其中，则，即函数在上单调递增，
故当时，，所以在上单调递增，
所以的最大值为.
（2）（i）由，则，求导可得，
令，
由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，
求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得.
（ii）由（i）可得，
易知方程存在两个不相等的实数根，设为、，由①不妨设，
令，
，由，当且仅当时取等号，则，
所以在上单调递增，由，
则当时，可得，
由，且函数在上单调递减，
则，可得；
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，且，只需证，
则令，，
令，则，
所以在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得，
综上所述，.
(
地
城
考点0
4
导数的综合应用
)
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得，等价变形不等式，构造函数，按与分段讨论即可得解.
【详解】依题意，，，
显然，则有，于是，
令，求导得，
当，即时，，函数在上单调递增，，即；
当，即时，当时，，函数在上单调递减，
，，此时，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
故选：C
2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函数有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由直线与有两个交点，利用导数求出的极值，作出图象，数形结合求出即可.
【详解】令，则，
令，则由题意可得直线与有两个交点，
因为，
令，解得或1，
所以当和时，单调递减；当时，单调递增；
所以极小值为，极大值为，
作出图象：
所以或，
故选：D.
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为 B．的极小值为0
C．在单调递增 D．有三个实根
【答案】B
【分析】求函数的导函数，结合导数的几何意义求在处的切线方程，判断A，结合极值的定义判断B，结合导数与单调性的关系判断C，结合函数图象判断D.
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，A错误，
令，可得或，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数取极小值，极小值为，B正确，
函数在上单调递增，在上单调递减，C错误，
当时，，，
，时，，
函数的图象大致如下：
作函数图象如下：

观察图象可得函数与函数的图象有且仅有一个交点，
所以方程有一个实根，D错误，
故选：B.
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数在上有且仅有一个零点，转化为直线与函数在有且仅有一个交点，利用导数研究在上的单调性，求出的最小值，从而得到实数的取值.
【详解】函数在上有且仅有一个零点.
则方程在上有且仅有一个实数根.
令函数
即直线与函数在上有且仅有一个交点.
令，得
在上单调递减，上单调递增，
则，即.
故选：C
5．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数有两个零点，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】分、、三种情况研究函数的单调性，当时，至多一个零点，当时，需先说明上存在一个零点，再结合可知即可求得.
【详解】由条件得，，
①若，则，则在上单调递增，
则至多有一个零点，不符合题意；
②若，则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
取，则，，
则，
因，则由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点，
因，
则若使函数有两个零点，有，得；
③若，则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
因，则时，，
则在上至多存在一个零点，不符合题意，
综上所知，若使函数有两个零点，则.
故选：B
6．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得等价于，
令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，由得，
所以.令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由即且，得.
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求解参数的取值范围，要注意根据函数的定义域对不等式进行适当化简和变形.
7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，所以
由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立，
因为，，所以，，
所以令，
，，
令可得：或，
令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当趋于正无穷时，趋近，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：A.
8．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式等价于，，
设，，所以，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，且时，，
因此与的图象如下，
当时，显然不满足条件，
当时，若0，1是不等式的解，只需要满足，即，解得．
当的切线过点时，设切点为，
则切线方程为，该直线过点，，
解得，
若是原不等式的解，则，解得；
所以k的范围为.
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】首先由方程转化为，，转化为函数与的交点问题，利用导数分析函数的图象，利用数形结合分析问题.
【详解】由，得，，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，，
与有2个交点时，，满足题意的为BD.
故选：BD
10．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数其中，则下列选项正确的是 （ ）
A．
B．若，则
C．，使有两解，则
D．有最大值
【答案】AD
【分析】A不等式移项，构造函数，恒成立问题转化为最值问题，求新构造函数的最大值即可得解；B结合导数，判断的单调性，从而可以判断的大小；C结合导数，求出的极值点，从而得到反例，推断C选项错误；D结合导数，求出最值即可.
【详解】对于A选项，，记，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，故A正确；
对于B选项，，所以，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
无法判断的大小关系，故B错误；
对于C选项，，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，仅有一解，故C错误；
对于D选项，，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故D正确，
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：该题的关键就是每个选项逐一分析转化化归，充分利用导数工具，解决单调性问题、最值问题、极值点问题，从而借助这些结论判断出选项正确与否，同时，有时举反例排除也是解决问题的关键.
11．（23-24高二下·浙江·期中）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为和
B．当时，
C．若方程有6个不等实数根，则
D．设，若对，使得成立，则
【答案】ACD
【分析】选项A，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可判断出选项A的正误；选项B，构造函数，求出的单调区间，再根据条件，即可判断出选项B的正误；选项C，利用为偶函数，当时，，利用选项A中的结果，求出函数的单调区间，进而可得出的图象，即可解决问题；选项D，求出的值域，再根据条件，即可解决问题，从而求出结果.
【详解】对于选项A，易知定义域为，又，
由，得到，所以且，故函数的单调递减区间为，，所以选项A正确，
选项B，令，则，当时，，即当在区间上单调递增，
所以当时，，即，所以选项B错误，
选项C，易知为偶函数，当时，，
由选项A知函数的单调递减区间为，，增区间为，
又当时，，当时，，当时，，时，
当时，，当时，，时，，
所以函数的图象如图所示，
直线与函数有6个不同交点，则，所以选项C正确，

对于选项D，易知的值域为，而由选项C知函数的域，
由题意函数值域是函数值域的子集，则，所以选项D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C，利用函数的性质及图象的变换，作出的图象，再数形结合解决问题.
三、填空题
12．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数在有零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据导数判断函数单调性与最值，从而判断函数零点情况．
【详解】由，得
易知在上单调递增，且，
①当即时，恒成立，故在上单调递增，
又，所以函数在无零点；
②当即时，，
令得，故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又且函数在有零点，
故，解得，
综上所述，，
故答案为：．
13．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.
【详解】当时，
，
设，则
因为，故均为上的增函数，
故在上为增函数，
若即，则在上恒成立，
故在上为增函数，故恒成立，
故为上为增函数，故恒成立，
故符合，
若即，此时，而，
故存在，使得，
且，即在上为减函数，
故，即在上为减函数，
故，与题设矛盾，
当时，设，则，
故在上为增函数，故即，
设，则，
在上为增函数，故即，
而，故，
即即，故也成立，
综上，，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.
14．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得的取值范围.
【详解】整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
15．（23-24高二下·浙江·期中）已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】将问题转化为，其中利用导数求解函数的单调性，进而可得，即可求解.
【详解】由于，故由得，
记
记，由于均为单调递增且恒为正，
故为单调递增函数，
由于，，
所以存在唯一的，使得，，
当单调递增，当单调递减，
故当时，取极小值也是最小值，
且，
故，
故，
故答案为：
16．（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为________.
【答案】
【分析】求定义域，求导，根据零点个数得到，解得，设的三个相异的零点为，，故，，，，化简得到，因为，所以，解得，将其代入得，，又，故，解得.
【详解】定义域为R，
，时，恒成立，
故在R上单调递增，不会有三个零点，舍去，
故，解得，
设的三个相异的零点为，，故，
又①，②，③，
式子①-②得，
即，
故，
因为，所以④，
式子③-②得，
即，
故，
因为，所以⑤，
式子④-⑤得，
即，
因为，所以，
因为，所以，解得，
将其代入②得，，
即，，
又，故，又，解得.
故答案为：
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是____________.
【答案】1
【分析】对配方后变形，得到，然后求满足恒成立的整数即可.
【详解】通过观察
可得恒成立；
整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得.
下面验证满足恒成立：
令，，
，，
由零点存在定理得：存在使得.
且当，，单调递减；
，，单调递增；
满足.
，当且仅当取等，,可得恒成立，
即恒成立，恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数为.
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察得出与之间的关系，然后取特殊值求出参数的范围，按照恒成立问题的一般思路，求解相关函数的最值进行验证，本题需要注意参数的取值范围为整数.
18．（23-24高二下·浙江·期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由已知条件得恒成立，构造函数，由单调性转化为恒成立，再次构造函数，由其单调性及最值转化为恒成立，从而得结果.
【详解】因为，即，
令，令，即，所以，
令，即，所以，
所以在上为减函数，在上为增函数，
依题意有，又，
所以在恒成立，
令函数，令，即，所以，
令，即，所以，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，故，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键是通过已知条件转化为恒成立，构造函数构造函数，利用导数求其单调性并由单调性转化为恒成立，再次构造函数，根据其单调性及最值可得结果.
四、解答题
19．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求函数在点处的切线方程，讨论，时所求切线与已知切线建立的方程的根只有一个，即可得的值；
（2）分别确定函数的单调性与最值，通过最值之间的关系证得结论.
【详解】（1）又，
则切线方程为，
当时，显然满足条件，
当时，的方程有两个相等的根，
，
综上：或．
（2）由于，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
.
令，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
.
当时，.
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造，应用导数求其最小值，问题化为恒成立，再应用导数研究左侧函数的性质求参数范围.
【详解】（1）由题设，则，故，而，
所以曲线在点处的切线方程，
所以切线为；
（2）由题设，恒成立，
令且，则，
若，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增，
所以，只需恒成立，
令且，则，
所以在上单调递减，且，故时，
所以.
21．（24-25高二下·浙江·期中）已知，.
(1)令，讨论的单调性和极值；
(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况；
（2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论.
【详解】（1），定义域为，
，；
①时，恒成立，在上单调递增，没有极值；
②时，令，则，；解得，
令，则，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
故极大值为，无极小值；
（2），恒成立；即，在时恒成立；
令，；
∵，∴即，；
下面证明：时，恒成立.
∵；
令，；
；
∴在单调递减；
又∵，∴；
∴恒成立，证毕.
所以的取值范围为.
22．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出函数在某点处的导数，再结合该点的坐标，求出切线方程.
（2）构造一个新函数，通过研究新函数的单调性和最值来确定参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
又，则，
所以曲线在处的切线方程为 .
（2）令，，易得在单调递增，
故，所以，
令，有，
又，，
令，则，
所以，
故在上单调递增，
当时，，此时在上单调递增，
即恒成立.
当时，，而在上单调递增，
且当时，，
故存在，使得，故当时，，
此时在单调递减，此时，与题设矛盾.
综上所述，.
所以实数的取值范围为.
23．（23-24高二下·浙江·期中）已知数列，满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法计算，即可求得；
（2）由题可得，令，可将问题转化为证明，再由导数即可证明；
（3）由（2）中的结论，结合数列的求和公式可证，再由放缩法以及裂项相消法可证，即可得证.
【详解】（1）设，即，
因为，所以，
解得，所以，
因为，则，所以，
所以.
（2）证明：令，因为，所以，
要证，
只要证，即可．
因为，令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以单调递增，
则，
所以得证．
（3）由（2）可知，，
所以
，即，
另一方面，
所
，则，
所以
24．（24-25高二下·浙江·期中）设函数.
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：当时，有.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导分析导函数的正负进而即可；
（2）代入可得需证，构造，求导分析单调性与最小值证明即可；
（3）由（2）可得，再取，且，可得，再单独证明，将所得不等式累加求和即可.
【详解】（1）的定义域为，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故有极小值.
综上有的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值.
（2）要证，即证，即证.
令，则，
因为，故，故在上单调递增.
故，即得证.
（3）由（2）可得当时，
令，且，
则，即
故，.
又，故，即.
则.
故，即得证.
25．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，.
(1)求在上的最大值；
(2)方程有两个实根、，且.
（i）若，求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）见详解.
【分析】（1）求导得到函数在单调递减，在单调递增，则函数在端点处取得最大值；根据函数为偶函数，比较得，可得最大值为.
（2）（i）利用（1）得到函数的最小值为2，根据单调性和奇偶性，因为，所以，根据、的范围，得到a的取值范围；（ii）根据，化简后可构造新函数，换元后利用二次函数单调性，得到.
【详解】（1）因为函数的导数为单调递增函数，且，
所以当时，，当时，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以在或时，取得最大值.
又因为，所以为偶函数，
因此，
所以最大值为.
（2）（i）根据（1）函数在单调递减，在单调递增，
所以在时取得最小值，
因为方程有两个实根，即有两个解，
所以.
又因为函数为偶函数，且，
所以，且.
因为，所以，
所以，解得，则，
所以，即，
所以实数a的取值范围为.
（ii）证明：因为，所以，
所以可设，
因为，
所以.
设，则为单调递增函数，又因为，
所以当时，，当时，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以，又因为方程有两个实根、，
所以，即，
设，其中，
根据二次函数的单调性，可得，即，
所以.
【点睛】思路点睛：在解决含有“”的函数问题时，注意考虑该函数的奇偶性；留意的关系，换元解决题目.
26．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
【答案】(1)在上单调递增.
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性.
（2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围.
（ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
【点睛】关键点点睛：
有两个极值点，函数有两个正根，利用二次函数性质得出的范围.
将函数解析式代入中，利用韦达定理化简式子，再利用第一问的结果证明出结果.
27．（24-25高二下·浙江宁波·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，，注：，，，，…已知函数在处阶帕德近似为．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)证明：当时，；
(3)设t为实数，讨论方程的解的个数．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由题意，求出，，，，结合，，，，列出等式求解即可得到实数a，b，c的值；
（2）构造函数，利用导数求单调性，由即可得证；
（3）构造函数，分，利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数，当时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】（1），，由，可知，又，，，，由题意，，，所以，，综上，，.
（2）由（1）知，，令，
，所以在内为增函数，
又，时，，得证．
（3）的定义域是，
①当时，，所以在上单调递增，且，所以在上存在1个零点；
②当时，令，由，得，．又因为，
，所以，．
x
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，因为，所以在上存在1个零点，且，；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，故，所以在上存在1个零点；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，所以，所以在上存在1个零点．从而在上存在3个零点．
综上所述，当时，方程有1个解；当时，方程有3个解.
28．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的单调性；
(3)若，其中且，求实数的值．
【答案】(1)
(2)在都是单调递增
(3)
【分析】（1）首先代入到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解；
（2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有 ，故只需要证明时，，时，，即可；
（3）由（2）得，进一步令，，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意， 即切点为，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）证明： 由，设，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，又，
所以对于任意的有，即，
因此在 单调递增，在 单调递增，
设，则 ，
所以时，，单调递减，
所以， 即， 即，
时，， 单调递增， 所以，
即， 即，所以是其定义域上的增函数.
（3）由（2）可知，时，，所以，故，
令，，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，
不满足条件， 所以， 而，
令 ，
则 ，
令，得，
且当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，则当 时，，单调递减，
此时，不满足题意；
若，
则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以， 解得，
综上所述，.
【点睛】对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有 ，故只需要证明时，，时，，即可；由，进一步令，，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解.
29．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数.利用导数讨论函数的性质可得，分类讨论求出当或、、时对应的零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令）得，利用导数证明即可证明.
【详解】（1）令得，
设.
要求的零点个数，即求直线与函数的交点个数.
则由得，由得，
函数在上单调递增，在上单调递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，且无限接近于0.
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）函数有两个极值点.
方程有两个不相同的正根，
不妨设，则有.
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有.
只需证明，
即证
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数成立.
故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
30．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）由新定义可知，利用作差法结合不等式的性质证明即可.
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
【详解】（1）对于任意不同的，
有，所以，
，
所以是上的“3类函数”
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需，
，令，在单调递减，
所以，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，所以使，即，
即，
当时，，故在单调递增，
当时，，故在单调递减，
，故．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
31．（24-25高二下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：
定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i）且；
（ii）对于任意的，有；
（iii）．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差．
(3)若函数，证明：．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据优超定义直接判断即可；
（2）根据方差定义求得，再利用二阶求导判断为下凸函数，从而证明不等式关系；
（3）二阶求导得，再证明其大于0，设，证明
【详解】（1）由于，故，即可证明不等关系.
（2）数列A的方差，
数列B的方差，
由，知，
于是只需证明，
考虑函数，由知下凸，
于是由定理知，
即证.
（3）对求导，得
，
.
下面我们证明，
设，则，
时，单调递减，时，单调递增，
于是，
设，则，
时，单调递减，时，单调递增，
于是，
根据二次函数在上单调递增，
则由，
故于起下凸，
设，由知，
于是由定理知，
而，故.
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