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专题02 等差等比数列与数列求和
7大高频考点概览
考点01等差数列的通项公式及基本量的计算
考点02证明等差数列
考点03等差数列的性质
考点04等比数列及其性质
考点05证明等比数列
考点06数列的概念及数列递推
考点07数列求和
(
考点01
等差数列的通项公式及基本量的计算
)
一、单选题
1．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．24 D．25
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解.
【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得.
故选：B.
2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】A
【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解.
【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为，
所以，，即得，
所以，所以，
则.
故选：A.
3．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质得到，再代入等差数列前项和公式计算．
【详解】由题知．
故选：A．
二、填空题
4．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)设，且，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】由已知得，代入得是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式可得答案.
【详解】由已知，
当时，，所以，
代入得，所以，
当时，，，解得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
则数列的通项公式为.
故答案为：.
三、解答题
5．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法计算可得；
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即；
又因为，取，所以，即；
解得，故的通项公式为.
（2）因为，
所以
.
6．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等差数列的前n项和为，数列满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
【答案】(1)，
(2)4231
【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可；
（2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算.
【详解】（1）因数列是等差数列，则，得，
又，所以，所以等差数列的公差，
则，
因，
则当时，，
两式作差得，即，
令，得，则，满足上式，则，
综上，数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，且，
经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，
从而数列中去掉的是这4项，
所以.
7．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知等差数列中，前10项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由错位相减法以及分组求和法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以.
（2），
则，
设，则，
又因为，
所以，
则，
所以.
8．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列的前项和为，已知且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）化简的表达式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的个数.
【详解】（1）因为，即，
当时，可得，则，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得且，
所以，数列为首项为，公比为的等比数列，故.
（2）由题可知：
所以集合
故集合中元素的个数为.
(
考点02
证明等差数列
)
9．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个数列与，满足，且
(1)求证：是等差数列.
(2)记，求数列的前项和
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由知.
则，
，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
，
，
相减得：，
，
得.
10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知递增数列满足，点在函数的图象上.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果；
（2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，
又因为点在函数的图象上，
所以，
所以
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列
（2）由（1）可知，，
所以，
所以
所以
所以
，
即
(
考点03
等差数列的性质
)
单选题
11．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出首项和公差，利用得到，再求值即可.
【详解】设首项为，公差为，因为，所以，
则，即，得到，
而，故C正确.
故选：C
多选题
12．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设数列的前项和是，且，已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小为15
【答案】ACD
【分析】先由题设条件求出和，再结合等差数列定义和二次函数性质即可一一计算求解判断各选项.
【详解】数列的前项和，且，
所以，
且，
对于A，当时，，
当时，，
显然满足上式，所以，
所以，故数列是等差数列，故A正确；
对于BC，由上，
因为，所以有最大值；故B错误，C正确；
对于D，令，所以的最小为15，故D正确.
故选：ACD
13．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，最大 D．
【答案】ABD
【分析】由可得异号，进而分析易得，可得数列为递减数列，从而判断ABC选项；结合等差数列的前项和公式及等差数列的性质判断D选项.
【详解】在等差数列中，由，可得异号，
若，由，则，不满足题意，则，故A正确；
由于，则数列为递减数列，所以，故B正确；
由于时，；时，，
所以时，最大，故C错误；
又，
，故D正确.
故选：ABD.
填空题
14．(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)已知等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】7
【分析】根据等差数列前n项和的片段和性质列式求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列，
即，即，解得.
故答案为：7
15．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，_____.
【答案】5或6
【分析】利用等差中项可得数列为等差数列，进而求出公差、、，结合的函数特性可得或的正负性也可行.
【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为d
因，，则公差，
法一：所以，
因函数的对称轴为，
所以当取最大值时，或6
法二：，
则时，；时，；时，
所以当取最大值时，或6.
故答案为：5或6
16．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则__________.
【答案】/2.2
【分析】利用等差数列前项和公式的性质计算即可.
【详解】由等差数列前项和公式的性质可知，同理，
所以.
故答案为：
17．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则_______．
【答案】4
【分析】由等差数列下标和的性质，结合等差数列前项和的性质即可求解.
【详解】由题意知，
由，
所以，
故答案为：4
18．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________.
【答案】19
【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解.
【详解】设等差数列的前项和为，项数为，
则，
，
两式相除得，解得，
则项数为.
故答案为：19
(
考点04
等比数列及其性质
)
单选题
19．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)“”是“成等比数列”的（ ）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】据等比数列及充分必要条件的定义判断即可得解.
【详解】充分性：若，a或b为0时，，但此时不能构成等比数列，充分性不成立；
必要性：若成等比数列，则，即，必要性不成立.
故选：D.
20．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用韦达定理得到，，进而判断出，再利用等比中项性质求出，最后得到目标式的值即可.
【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根，
则由韦达定理得，，故，得到，
由等比中项性质得，解得，得到，故A正确.
故选：A
21．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等比数列的基本性质得出，再结合对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为等比数列的各项均为正数，且，
由等比数列的性质得，
因此，.
故选：B.
22．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．9 C．4或 D．2或
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，
由，
则，解得或（舍去），
故.
故选：A
23．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．6
【答案】A
【分析】根据等比数列基本量的计算和性质即可求解.
【详解】由可知等比数列的公比不为1，
故，
，
又，所以，故，则，
故选：A
填空题
24．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)化简_________.
【答案】
【分析】由等比数列的求和公式，可得答案.
【详解】.
故答案为：．
(
考点05
证明等比数列
)
多选题
25．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
26．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
【答案】ABD
【分析】将两边取倒数，即可得到，从而判断A、B；利用作差法判断的单调性，即可判断C；利用分组求和法判断D.
【详解】因为数列满足，，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故A、B正确；
又，
即，所以数列为递减数列，故C错误；
因为，所以，
所以数列的前项和为
，故D正确.
故选：ABD.
解答题
27．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，即证明；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，则，
，
∴，
∴
，
∴.
28．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列满足，（）.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)设，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明；
（2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）数列满足，（），
则，
∴，
又∵，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，则（），
∴
，
∴
.
(
考点0
6
数列的概念及数列递推
)
单选题
29．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案.
【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，
对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；
对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；
对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；
对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；
故选：B.
30．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
【答案】D
【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值.
【详解】因为，，，
所以，
则，，，，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：D.
31．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．12或13
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式求出，再由单调性求得答案.
【详解】，，当时，，两式相减得，
而，解得，因此数列是等比数列，，
数列是递增正项数列，，
因此，所以当取最小值时，.
故选：C
32．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可.
【详解】由题可知是递增数列，所以，即，
所以，故．因为，所以．
故选：C.
33．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
又数列满足，
所以，，即，
即，解得.
故选：C.
34．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值.
【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，
则，，，，由此得出，
，，，，
由此得出.
故选：B.
35．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
【答案】C
【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解.
【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确；
对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则，
数列是以首项为1，公比为2的等比数列，
数列的前项和即为，，B选项正确；
对C选项，
，C选项错误；
对D选项，由B选项分析可得，又，
，又，
是以首项为，公比为3的等比数列，
，D选项正确．
故选：C．
多选题
36．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图：
图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．数列的前n项和为
【答案】BCD
【分析】写出前3项可判断A；利用累加法求出，继而可求出，判断B，利用作差法判断数列单调性可判断C；利用裂项相消求和可判断D.
【详解】A，由题意可知，显然，A错误；
B，由题意可得，
则
，
也适合，故，
所以
，B正确；
C，，则
，
当时，，
即，故数列是递增数列，C正确；
D，，
故数列的前n项和为
，D正确，
故选：BCD
填空题
37．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)数列中，，，则通项______．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
【详解】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则，
所以.
故答案为：
38．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________.
【答案】 2 37
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合数列的增减性以及的各项均是正整数，逐一代入计算，即可得到结果.
【详解】由已知，若，将有，矛盾；
若，则，与单调性矛盾；故.
由，有，所以；
又，则，所以，
故，
则由，即，知，故.
故答案为：；
39．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)在数列中，，对任意，则______．已知是数列的前项和，且，若，则的最小值为______．
【答案】
【分析】将化简，得是等比数列，通过的通项公式求出的通项公式；通过的通项公式化简分析，取和最小的几项之和，即为所求.
【详解】由，可得，即．
令，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即．
又，
所以当且仅当时，，
即的最小值为．
故答案为：；.
40．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为________．
【答案】
【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可.
【详解】设为符合题意的的个数，
考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的：
第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况；
第二种为1到不符合性质排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况；
故
设
易知
，
所以.
故答案为：.
解答题
41．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知中，，．是的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的取值范围；
(3)，，求的通项公式.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用累加法求出的通项.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性求出范围.
（3）由（1）的结论，利用构造常数列法求出通项公式.
【详解】（1）在数列中，当时，，，
，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
则，
而数列单调递增，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，当时，，
而，
则，即，
因此数列是常数列，则，
所以的通项公式是.
42．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数.
(1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值；
(2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得数列通项，求得数列中小于零的项，可得答案；
（2）由题意可得数列的递推公式，从而可得数列的递推公式，根据等差数列的相关概念，建立方程，可得答案.
【详解】（1）当时，，令．
故：，当时，；当时，．
故：当时，数列前项和取得最小值．
（2）解法一：当时，，
．
因为数列是公差为等差数列，
所以：不为常数，
故：的值为．
解法二：由解法一知：，，可得：，．
因为数列是公差为等差数列
解得：或．
检验：当时，，故：满足条件；
当时，，
，此时：，
故：为常数数列，不满足条件．
综上：的值为．
43．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)“勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是（）个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.





请仔细观察数阵，解决下列问题：
(1)求数阵中数字为奇数的项数.
(2)设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求.
(3)设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)，；
(3)，理由见解析.
【分析】（1）根据数阵特点，进行分类讨论，即可求解；
（2）观察每一行的前两项的增量规律，猜测出它们的关系（才想验证即可，不要求证明，若需证明，可用数学归纳法证明），进而可得，通过构造即可求得；
（3）通过错位相减法可求得，再结合组合数的性质运算，可求得，通过构造函数，可比较其大小关系.
【详解】（1）观察数阵知，第一行的数奇偶性相间，第二行的数都为奇数，从第三行起所有数是偶数.
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以；
（2）由题意知，，即
变形得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以；
（3）.
理由如下：
因为
相减得，，
所以
又因为
令，则，
又（），
所以在上单调递增，所以，
所以.
(
考点0
7
数列求和
)
单选题
44．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)设函数的导函数，则数列的前100项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的导函数可得，再利用裂项求和可求得结果.
【详解】由可得其导函数为，
又，可得，所以，
所以，
因此数列的前100项和为
.
故选：C
解答题
45．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系可求得，又，可得的通项公式；
（2）首先分母有理化求得的通项公式，再利用裂项相消法即可其前项和为.
【详解】（1）由题干条件，当时，，
当时，，
与已知式子相减得，因为，所以，
又也符合上式，故；
（2）由已知得，
故.
46．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系，结合等比数列求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，而，即，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以数列的前项和.
47．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若，证明数列是等差数列.
(3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程；
（2）根据等差数列定义证明即可；
（3）应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意可设双曲线的标准方程为（，），
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）因为点（）在曲线上，所以
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）可知，
由于，所以
所以
所以
48．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前项和；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用二项式定理求出，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求和.
（2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨春单调性求出最小值即可.
【详解】（1）依题意，，
则，令，
于是，
两式相减得：，
则，所以.
（2）由（1）得，
整理得，令，显然，，
当时，，当时，，于是，
因此，，则，
所以的取值范围是.
49．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，数列的前项和为；
①求；
②若恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②16
【分析】（1）由题意，配方得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明；
（2）①求出，然后利用错位相减法求和即可；
②将原不等式恒成立转化为恒成立，分离参数恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解.
【详解】（1）点在函数的图象上，
，，
数列是“平方递推数列”，
因为，
对两边同时取对数得，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）①由（1）知，所以，
则，
.
两式相减可得，
；
②恒成立，
恒成立，
恒成立，恒成立，
又，当且仅当时，取到等号，
，即.
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专题02 等差等比数列与数列求和
7大高频考点概览
考点01等差数列的通项公式及基本量的计算
考点02证明等差数列
考点03等差数列的性质
考点04等比数列及其性质
考点05证明等比数列
考点06数列的概念及数列递推
考点07数列求和
(
考点01
等差数列的通项公式及基本量的计算
)
一、单选题
1．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．24 D．25
2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
3．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)设，且，则数列的通项公式为______.
三、解答题
5．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
6．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等差数列的前n项和为，数列满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
7．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知等差数列中，前10项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和.
8．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列的前项和为，已知且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数．
(
考点02
证明等差数列
)
9．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个数列与，满足，且
(1)求证：是等差数列.
(2)记，求数列的前项和
10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知递增数列满足，点在函数的图象上.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
(
考点03
等差数列的性质
)
单选题
11．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
12．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设数列的前项和是，且，已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小为15
13．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，最大 D．
填空题
14．(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)已知等差数列的前项和为，若，则______.
15．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，_____.
16．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则__________.
17．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则_______．
18．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________.
(
考点04
等比数列及其性质
)
单选题
19．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)“”是“成等比数列”的（ ）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
20．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．3
21．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．9 C．4或 D．2或
23．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．9 D．6
填空题
24．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)化简_________.
(
考点05
证明等比数列
)
多选题
25．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等差数列
C． D．
26．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
解答题
27．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
28．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列满足，（）.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)设，求.
(
考点0
6
数列的概念及数列递推
)
单选题
29．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
30．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
31．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．12或13
32．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
35．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．数列的通项公式为
多选题
36．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图：
图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．数列的前n项和为
填空题
37．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)数列中，，，则通项______．
38．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________.
39．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)在数列中，，对任意，则______．已知是数列的前项和，且，若，则的最小值为______．
40．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为________．
解答题
41．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知中，，．是的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的取值范围；
(3)，，求的通项公式.
42．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数.
(1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值；
(2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值.
43．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)“勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是（）个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.





请仔细观察数阵，解决下列问题：
(1)求数阵中数字为奇数的项数.
(2)设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求.
(3)设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由.
(
考点0
7
数列求和
)
单选题
44．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)设函数的导函数，则数列的前100项和是（ ）
A． B． C． D．
解答题
45．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
46．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
47．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若，证明数列是等差数列.
(3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和.
48．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前项和；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
49．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，数列的前项和为；
①求；
②若恒成立，求实数的最大值.
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