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专题02 函数与导数
2大高频考点概览
考点01导数的基本概念及运算
考点02导数的综合应用
一、单选题
1．（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
【答案】C
【分析】先写出的表达式，归纳分析可知，求，展开式有项，且每项的系数是组合数，由此可得出答案.
【详解】由，可得，
所以，
所以，
由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数，
所以的展开式中的系数是.
故选：C.
2．（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，结合直线垂直时斜率关系计算求解.
【详解】曲线，所以在处的切线斜率为，
又因为切线与直线垂直，
则，所以.
故选：C.
3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知，若，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案.
【详解】由，则，
所以，解得.
故选：A.
4．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
【详解】根据题意可构造函数，则，
由题可知，所以在区间上为增函数，
又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，
又，即，
所以，解得.
故选：D.
5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，解得.
故选：D
6．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可.
【详解】，
故选：B.
7．（24-25高二下·山东青岛·期中）函数，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可．
【详解】由，则，
所以.
故选：A.
8．（24-25高二下·山东德州·期中）已知是函数的导函数，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求出导函数，再代入求出导函数值.
【详解】，所以，
所以
则.
故选：B.
9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案.
【详解】设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程可为．
故选：D．
10．（24-25高二下·山东德州·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的计算公式即可求解.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
11．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图像开口向下，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意，解得即可.
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以，解得或，
又函数的图像开口向下，所以.
故选：C
12．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可.
【详解】由得
所以
又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D.
13．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，则（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】求出函数的导数，代入，即可求得答案.
【详解】由，可得，，
则，则，
故选：C
14．（23-24高二下·山东日照·期中）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】求导，再令可得结论.
【详解】因为，令得.
故选：A
15．（24-25高二下·山东济宁·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（ ）
A．21 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案．
【详解】因为，所以，
所以，所以质点在时的瞬时速度为.
故选：B
16．（22-23高二下·山东济南·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可．
【详解】，
，
，
，，
故选：D．
二、多选题
17．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数 B．
C．函数的图象关于点对称 D．
【答案】ACD
【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D.
【详解】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A正确；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B错误；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：ACD.
18．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定是函数的极值点
【答案】BC
【分析】根据求导公式，导数的定义，极值点概念分别对选项进行分析.
【详解】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误.
对于选项B：先将化简，.
对求导可得.
将代入可得：，所以选项B正确.
对于选项C：根据导数的定义,.
对求导，根据复合函数求导公式，则.
将代入可得.
所以，选项C正确.
对于选项D：若，不一定是函数的极值点.
例如函数，对其求导可得，令，即，解得.
当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误.
故选：BC.
19．（23-24高二下·山东潍坊·期中）下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可.
【详解】对于A,,故A对.
对于B,,故B对.
对于C, ,故C错.
对于D,,故D对.
综上所得,正确的是：ABD.
故选:ABD.
20．（21-22高二下·辽宁·期中）下列函数中，求导正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.
【详解】解：对于A，，，则A正确；
对于B，，，则B错误；
对于C，，，则C正确；
对于D，，，则D正确．
故选：ACD.
三、填空题
21．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可得到切线方程，从而得到，以及与的关系，再由，即可得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而得到通项公式，再令，计算，通过其单调性，即可得到最大值.
【详解】由可得，且，，
则切线方程为，令可得，解得，即，
在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
因为切线交轴于，令，则，
即，即，
则，
则，
因为，所以，
且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，
设，则，
当时，，
当时，，
当时，，即，
所以，且，
即的最大值为.
故答案为：；.
22．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数，则______.
【答案】
【分析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
23．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则______．
【答案】/0.6
【分析】求导可得，令运算即可.
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：.
四、解答题
24．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求：
(1)m的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出的展开式的通项公式，然后求出其的一次项和二次项，再由列方程可求出的值；
（2）利用赋值法，分别令和可求得结果；
（3）对两边求导，然后令可求得答案.
【详解】（1）的展开式的通项公式为，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，解得．
（2）令，得，
令，得，
所以．
（3）对两边分别求导，得
，
令，得．
25．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）令，可求得的值；
（2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值；
（3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解；
（4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值.
【详解】（1）令，得①.
（2）令，得②，
由①②，得，
所以.
（3）因为，
的展开式通项为，
所以，
当为奇数时，；当为偶数时，.
所以.
（4），
两边分别求导，得，
令，得.
一、单选题
1．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先对函数求导，然后求出函数在处的导数值和函数值，然后求出切线方程.
【详解】因为，所以.
所以切线的斜率为.又，
所以切线方程为，即.
故选：C.
2．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由可得，
因函数在上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，故得，解得.
故选：B.
3．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判断为奇函数，即可得到在上单调递减，再根据自变量的大小关系，即可判断.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，
令，则，
所以（）为奇函数，
又当时，是单调递减函数，
所以在上单调递减，
因为，所以，即.
故选：B
二、多选题
4．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，在处有极值
C．当时，
D．当时，曲线关于点中心对称
【答案】ACD
【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D.
【详解】由，得，
对于A，当时，令得或，
当时，；当时，；当时，
所以有两个极值点，故A正确；
对于B，当时，，，，故B不正确；
对于C，当时，若，则，所以在上单调递增，
因为，所以，故C正确；
对于D，当时，，
因为，
关于点中心对称.故D正确.
故选：ACD.
5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ）
x 2 3
1 2 0
A．在是减函数
B．在定义域上有两个极值点
C．若，则函数有两个零点
D．若在上的最大值为2，则
【答案】BCD
【分析】根据所给的条件，分析函数的单调性和极值，作出函数的草图，数形结合，逐项判断即可.
【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下：
对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确；
对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确；
对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确.
故选：BCD
6．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数与轴有三个不同的交点
B．函数存在最小值但没有最大值
C．若当时，，则的最大值为
D．若方程有1个实根，则k∈
【答案】BC
【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得.
【详解】由题意可知：定义域为，
对于选项A：令，则，解得，
所以函数与轴有两个不同的交点，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，；当时，；
可知在，上单调递减，在上单调递增；
则的极大值为，极小值为，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
可知函数有最小值，无最大值，故B正确；
对于选项C：因为函数有最小值，
若当时，，则，
所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，
结合图象可知：，故D错误.
故选：BC.
7．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是（）
A．的取值范围是
B．不可能有两个零点
C．当时，过点作曲线的切线有且仅有两条
D．当时，的图象与图象交点的纵坐标之和为
【答案】ACD
【分析】对于A，求导函数，利用在处取得极值，求得的取值范围判断A；对于B，结合A，求得函数的极大值与极小值，可得，时，有两个零点，求解判断B；对于C，假设切点，求出切线方程，再将点代入即可求出切点的坐标，进而可知切线方程；对于D，求出的对称中心和的对称中心，判断其函数图象交点的个数，再由对称可求其交点纵坐标之和.
【详解】选项A：由题得，
若，则单调递增，不存在极值，
又因为在处取得极值，所以必有．
当时，可知在处取得极小值，且在上单调递增，符合题意；
当时，可知在处取得极大值，但在上先减后增，不符合题意．
综上，的取值范围是，故A正确．
选项B：由选项A可知的极大值为
，
极小值为，
因为，所以极大值，
当极小值，即时，有两个零点，故B错误．
选项C：当时，，假设上的一点，
因为，所以，
所以过点的切线方程为，
将点代入并化简可得，解得或，
当时，切点，此时切线方程为，即，
当时，切点，此时切线方程为，即，所以C正确.
选项D：当时，，，
当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减；
令，则，
令，解得，所以的对称中心为，即，
因为，，
所以的对称中心为，与的对称中心相同，
易知单调递增，易求得，
在上的图象如图所示，
在，与有三个交点，左右两个交点关于对称中心对称，
该两点的纵坐标之和为，中间一个交点的纵坐标为，
由于的增长速度比快，因此在较大处有两个交点，且关于对称中心对称，
该两点的纵坐标之和为，
因此，在定义域内，与有5个交点，这五个交点的纵坐标之和为，D正确.
故选：ACD．
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可得出，由此构造函数，利用导数判断其单调性，即可判断A；再设，求导判断单调性，可判断B；证明不等式，即可判断C；构造函数，利用单调性判断D.
【详解】由题意知，且，，即，
令，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，，
结合，，即，知，A正确；
令，
，
由于，则，故，
即，故在单调递增，则，
故，结合可得，
由于，故，即，B错误；
先证明不等式，
设，则即，
即证；
设，则，
由于，但等号取不到，
故，则，则在上单调递增，
故，即成立，即成立，
对于两边取自然对数，得，
即，则，
故，则，C正确；
设，则，
当时，，即在上单调递增，
故，则，D正确，
故选：ACD
三、填空题
9．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____.
【答案】
【分析】依题将问题转化为不等式在上恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求得，从而推得，即得a的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
由可得，即在上恒成立.
设，则，设，显然在上单调递增，
因，故存在，使得，则，即.
当时，，则在上递增；当时，，则在上递减.
故当时，，故有，
即得，故正数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数在点处的切线斜率为5．
(1)求实数m和n的值；
(2)方程在有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点在曲线上得到一个方程，再利用导数在处的值等于切线斜率，联立方程组求解m和n的值.
（2）将方程有解问题转化为求函数在区间[-1，2]上的值域，需通过求导
分析极值点，结合端点值确定最大值和最小值.
【详解】（1），
由函数在点处的切线斜率为5，
可得，
解得.
（2）方程在有解，等价于求在区间上的值域，
由第一问知，
当时，解不等式，可得或，此时递增，
解不等式，可得，此时递减，
因此在上递增，在上递减，在上递增，
由于，所以是函数的极大值点，极大值为，
是函数的极小值点，极小值为，
又因为，所以函数的最大值为12，最小值为0，
即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
11．（24-25高二下·山东德州·期中）已知在时有极值0.
(1)求常数a，b的值；
(2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得；
（2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数.
【详解】（1）由可得，
因在时有极值0，可得，即，
解得：，（因，故舍去）或，
当时，，
由可得或，由可得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极小值，符合题意.
故.
（2）由（1）可知，
，
1
+ 0 0 +
0 增 4 减 0 增 20
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
且，
如果存在使得成立，
等价于．而.
故得，
因时，，
所以，即满足条件的最大整数为20．
12．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知.
(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；
(2)当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，进而利用参变分离求的最大值即可；
（2）参变分离求的最小值，最后利用即可求得.
【详解】（1）因，则，
因在上为增函数，则即在上恒成立，
则，
又在上单调递减，则当时，则，
故的取值范围是；
（2）当时，，
当时，不等式等价于，
即对任意恒成立，
设，，则，
设，，则，
则在单调递增，
因，，
则存在使，即，
所以当时，，；当时，，，
故在单调递减，在单调递增，
则
所以，
又因，故的最大值为.
13．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值.
【详解】（1）当时，，
则，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，，则，
所以，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
此时，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则时，函数取得极小值，满足题意，即，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得最小值，无最大值.
14．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值．
(2)
【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，根据极值的概念求解即可.
（2）法一：参变分离，令，利用导数求解在区间上的最小值即可得解；
法二：将问题转化为恒成立，令，利用导数求在区间上的最小值即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，由得，
解方程，可得，
解不等式，可得，所以在区间上单调递增，
解不等式，可得，所以在区间上单调递减，
所以，无极大值．
（2）法一：对任意恒成立也即恒成立，
令，下求在区间上的最小值即可．
，解不等式，可得，
所以在区间上单调递增，
解不等式，可得，所以在区间上单调递减，
所以，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
法二：对任意恒成立也即恒成立，
令，求在区间上的最小值．
则，解不等式，可得，所以在区间上单调递增，
解不等式，可得，所以在区间上单调递减，
所以，
所以可得，
所以实数的取值范围为．
15．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题意可求得导函数，对进行分类讨论即可得到函数的单调性；
（2）先化简题干的不等式，分离参数得到，通过构造函数找到的最小值，由此可求得实数a的取值范围．
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
因为，若时，在上单调递增；
若时，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，故实数a的取值范围为.
16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性.
（2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可.
（3）引入函数，分别证明（）和（）即可.
【详解】（1）因为，.
若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；
若，由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且.
由.
所以的取值范围为：.
（3）当时，.
设（），则，因为，所以.
所以在上单调递增，所以.
所以在上恒成立.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以即在上恒成立.
所以在上恒成立.
故原不等式成立.
17．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，曲线在处的切线斜率为．
(1)求a的值；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）由代入计算，即可得到结果；
（2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，
因为，则，解得.
（2）由（1）可知，则，，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
即时，有极小值，且，
又，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
【答案】(1)单调递增，理由见解析
(2)
【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于0，得到函数单调递增；
（2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值．
【详解】（1），，
当时，，，，，
∴在单调递增．
（2），
令，则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即，
故当时，，当时，，
又当时，（等号仅在时成立），
所以当时，，
当时，（等号仅在时成立），
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，，则，，
所以在上单调递增，则，，
所以，所以．
19．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若函数在处有极值，求函数的单调区间
(3)当时，求证.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，在上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，利用直线的点斜式方程可得答案；
（2）利用求出，可得，可得答案；
（3）法一：令，利用导数求出，得，令，利用导数，可得答案；法二：利用函数在上单调递增，得在上有唯一实根，且，由得，由可得答案.
【详解】（1）当时，，
则，
故，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
因为函数在处有极值，
所以，即，解得，
此时，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）法一：令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取等号，..
故，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
当时，，所以；
法二：当时，，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，
且.
当时，；当时，，
从而当时，取得最小值.
由得，
故.
综上，当时，.
20．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数．
(1)若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)当时．
证明：（i）若，则恒成立；
（ii）若，则恒成立．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由函数解析式求导，令导数等于零并参变分离，构造函数，利用导数与函数单调性的关系，可得新函数的单调性与值域，结合函数的极值个数，可得答案；
（2）由题意构造函数，利用导数研究其单调性并求得最值，结合放缩，可得答案.
【详解】（1）由已知可得，由可得．
令，则，
当时，有，所以，所以在上单调递减．
又，所以在上的值域为；
当时，有，所以，所以在上单调递增．
又，所以在上的值域为．
作出函数在的图象如图所示，
由图象可知，当时，有两解，
设为，且．
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
综上所述，的取值范围为．
（2）（i）构造函数，则，
令，则在时恒成立，
所以，即在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，．
因为，故在上，．
令，则，
令，
故，即为增函数，所以，
所以为增函数，所以，
即，即，所以．
又，所以，当时，有；
（ii）在（i）的条件下，只需讨论上成立，
因为，所以．
令在上恒成立，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，有，所以．
又，所以．
综上所述，在上，恒成立．
21．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知在上的最小值为2，求k的值；
(3)若恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数，分和研究单调性；
（2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值；
（3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可.
【详解】（1）由题意知的定义域为，
且，
当时，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
（2）由（1）知，
当，则在上单调递减，
所以，则，矛盾舍去，
当，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，得，矛盾舍去，
若，则在上单调递增，
所以，则，符合题意，
综上；
（3）若恒成立，
即恒成立，
设，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
，
所以在上有唯一零点，即,
所以，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
所以由，得，
所以，
当时，，，则在上单调递增，
当时，，，则在上单调递减，
所以，
由恒成立，
所以，即k的取值范围为.
22．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数.
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)记.
（i）证明：曲线为中心对称图形；
（ii）若函数有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)在区间上的最大值为2，最小值为
(2)（i）证明见解析，（ii）
【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可根据正负求解函数的单调性，比较端点值以及极值点处的函数值即可求解，
（2）（i）根据关于的对称点位，代入化简可求解得解，
（ii）根据对称性将问题转化为在上有且仅有一个零点，求导，根据的单调性，对，可判断单调，且，不合题意，当时，根据，，结合零点存在性定理可知的单调性，根据时，，即可求解.
【详解】（1）因为，则，
所以，令，解得，
当，单调递减，
当，单调递增，
又因为，
所以在区间上的最大值为2，最小值为
（2）（i）令得，故的定义域为，
设是图象上任意一点，关于的对称点位，
因为在图象上，所以，
，
所以，
所以关于对称，
（ii）因为，所以2是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点，
，
由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，，
若，即，此时，所以在单调递增，
由可得在没有零点，不符合题意，舍去，
若，即，，又因为，所以存在，使得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以时，，
时，，
当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意，
综上：
23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数.
(1)若时，曲线与直线相切，求实数的值；
(2)若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】(1)1
(2)①或；②证明见解析
【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义知即为切线的斜率，用点斜式求得切线方程，根据切线过点，列式求得，即可得的值.
（2）①先根据极值点求出，再把有一个零点转化结合函数图形求出参数范围即可；
②构造函数再应用导函数确定函数单调性证明不等式.
【详解】（1）当时，，
设切点坐标为，
又，切线方程为，
又切线过点，
所以，整理得，
易知在上单调递增，且当时，，
所以当且仅当时成立，
所以，即所求实数的值为1
（2）①，
因为是的极值点，所以，解得，
经检验符合题意，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
函数有一个零点，即函数的图象有一个交点，
由图可知或，所以或；
②证明：当时，，
由，不妨设，
又，结合①，则，
要证，由，得，
即证，
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上.
24．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数．
(1)设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程；
(2)在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，可得切线方程为，再结合条件，即可求解；
（2）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求解；
（3）构造函数，利用导数与零点存在性原理得，再构造函数，利用导数求出的最小值，再结合题设，即可求解.
【详解】（1）由题意可得，又，
所以，
所以切线方程为，又，可得，
所以切线方程为．
（2）由，即在定义域内恒成立，
所以在区间上恒成立，
令，
所以，令，
所以恒成立，所以在上单调递增，
即在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以，所以．
（3）令，则，
易知在为增函数，又时，，时，，即的值域为，
所以在上有唯一的实数根，
即，得，则，
则当时，所以，则在单调递减；
当时，所以，则在单调递增；
当时，取得最小值，，
令，即在上恒成立，
令，
则，
则当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，
所以只需，即.
25．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，其中．
(1)讨论的零点个数；
(2)若是在上的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，先分析函数的单调性，进而结合进行讨论求解即可.
（2）由题意可得，转化问题为证明，构造函数，利用导数进行求证即可.
【详解】（1）由，得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为时，，，，
所以当，即时，函数无零点；
当，即时，函数有1个零点；
当，即时，函数有2个零点.
综上所述，当时，函数无零点；
当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
（2）由题意，，即，
要证，即证，
令，，
因为，所以，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，，
因为，所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以，
则函数在单调递减，所以，即，
综上所述，，即.
26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若为上的单调函数，求的取值范围；
(2)若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围；
（2）根据，以及为奇函数，将问题转化为在上存在一个零点，再分、、三种情况研究的零点，特别地，当时，通过构造函数并研究其零点即可.
【详解】（1）若为上的单调增函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
若为上的单调减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
又，故；
综上所述，若为上的单调函数，则的范围为.
（2）定义域为，且，故为奇函数，
又，
则函数恰有三个不同的零点，等价于在有一个零点，
又，
令，则，
①由（1）可知，当时，为上的单调减函数，
又，故在恒成立，故在单调递减，
又，，故存在，使得，
则得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故当，，
又，故存在，使得，
则在有一个零点；
②当时，，
令，则，则在单调递增，
则，即在恒成立，
则在无零点，不符合题意；
③当时，令，
则，
令，则，
若，则；
若，令得，
则得；得，
又，则在恒成立，即在恒成立，
因，则，则，
则在上单调递减，
因，
易知当时，时，
则，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
即在有一个零点；
综上所述，的取值范围为.
27．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数．
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若无零点，求a的取值范围．
(3)若，有两个实数根，，证明：
【答案】(1)最大值为，最小值为0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值；
（2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意；
在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围；
（3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令，
要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论.
【详解】（1）当时，，则，，
由，得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴，∵，，
又，所以，，
所以的最大值为，最小值为；
（2）∵，，
当时，在上无零点，符合题意；
当时，恒成立，即在上单调递增，无极值；
因为当时，，，所以，
当时，，又在上单调递增，
所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去；
当时，由，得，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值，
因为当时，，，所以，
当时，，
若函数无零点，则，得，
令，，
则，所以函数在上单调递减，又，
由，得，则．
综上，a的取值范围为；
（3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
因为有两个实根，所以不妨令，
则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以
即证，因为，即证，
令，
所以，
所以在上单调递减，故，即，
所以成立，即成立.
28．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，．
(1)验证1是否为和在上的同步斜率；
(2)若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围；
(3)证明：当且时，．
【答案】(1)是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意知，只需证时，，然后分别构造函数，，利用导数判断其单调性，从而可证得结论；
（2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，对函数求导后，分和两种情况分析函数的单调性求解即可；
（3）由（2）知在区间上恒成立，令，得，然后利用累加法可证得结论.
【详解】（1）1是和在上的同步斜率，
证明如下：
由题意知，只需证时，．
令，则，
所以时，，在上单调递增，
又因为，所以时，，即在上恒成立．
令，则恒成立，所以在上单调递减，
又因为，所以，即，所以时，，
即1是和在上的同步斜率．
（2）解：由题意知恒成立，
令，则在区间上恒成立，
，
当即时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，，符合条件；
当，即时，时，，
在区间上单调递减，
所以存在，使，不符合条件．
综上，a的取值范围为．
（3）证明：令，由（2）知在区间上恒成立，
当且时，，令，得．
所以
即当且时，．
29．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)记方程的根为，证明：.
【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可求解函数的单调性，
（2）根据关于对称，将问题转化为求解的情况，求导后，构造函数，证明进而得在上单调递增，求解的最小值即可求解，
（3）对取自然对数得，进而利用导数证明不等式：时，，利用该不等式，分别令，，结合裂项相消法相加即可求解.
【详解】（1）的定义域为，，
令，则，
当在单调递减，当在单调递增，
故的单调递增区间为，递减区间为.
（2）设，则，
所以关于对称，不妨研究时的图象性质.
，
令，显然时，，
下面证明时，
，
由于时，，此时，所以在上单调递增，则，
所以当时，均有，因此在上单调递增，
所以，故，
（3）由题意知：且，两边取自然对数得，
先证明：时，，
设，
则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号，
故，
所以，所以，
所以
在中，令，得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
当时，在中，令，得，
所以时，，
当时，，所以，得证.
30．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围；
（3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小.
【详解】（1）因为，则，所以，又
所以在处的切线方程为，即.
（2）令，其中，则，
由，可得.
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；
当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，
故，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增，
先比较与的大小，即比较与的大小关系，
令，其中，所以，
故函数在上单调递增，
因为，所以，即，
即，故，
31．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.
（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；
（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ）
【分析】（1）求导后根据参数的范围分类讨论可得；
（2）（i）由互补函数的定义结合代入可得；
（ii）由互补函数的定义构成方程组解出的表达式，再构造函数求导，二次构造和求导分析单调性和最值可得.
【详解】（1）∵，∴，
①当时，，∴在上单调递减，
②当时令得，令得，
③当时令得，令得.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）∵与为“互补函数”，
∴存在，使，
（ⅰ）若，则即，
∴，.
（ⅱ）设，则，
即即，
∴①+②得③，
①-②得④，
得，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
设，，则，
设，则，
设，则在上恒成立，
∴在上单调递增，∴
∴在上恒大于0，∴在上单调递增
∴，∴在上恒成立
∴在上单调递增，
∴，
∴的最小值为.
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专题02 函数与导数
2大高频考点概览
考点01导数的基本概念及运算
考点02导数的综合应用
一、单选题
1．（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
2．（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知，若，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
4．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·山东青岛·期中）函数，则（ ）
A． B． C．0 D．
8．（24-25高二下·山东德州·期中）已知是函数的导函数，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·山东德州·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图像开口向下，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，则（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
14．（23-24高二下·山东日照·期中）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．（24-25高二下·山东济宁·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（ ）
A．21 B．20 C．18 D．16
16．（22-23高二下·山东济南·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
17．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数 B．
C．函数的图象关于点对称 D．
18．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定是函数的极值点
19．（23-24高二下·山东潍坊·期中）下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（21-22高二下·辽宁·期中）下列函数中，求导正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
三、填空题
21．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______．
22．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数，则______.
23．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则______．
四、解答题
24．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求：
(1)m的值；
(2)的值；
(3)的值．
25．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
一、单选题
1．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，在处有极值
C．当时，
D．当时，曲线关于点中心对称
5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ）
x 2 3
1 2 0
A．在是减函数
B．在定义域上有两个极值点
C．若，则函数有两个零点
D．若在上的最大值为2，则
6．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数与轴有三个不同的交点
B．函数存在最小值但没有最大值
C．若当时，，则的最大值为
D．若方程有1个实根，则k∈
7．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是（）
A．的取值范围是
B．不可能有两个零点
C．当时，过点作曲线的切线有且仅有两条
D．当时，的图象与图象交点的纵坐标之和为
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____.
四、解答题
10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数在点处的切线斜率为5．
(1)求实数m和n的值；
(2)方程在有解，求实数t的取值范围．
11．（24-25高二下·山东德州·期中）已知在时有极值0.
(1)求常数a，b的值；
(2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数.
12．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知.
(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；
(2)当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
13．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
14．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围．
15．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，证明：．
17．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，曲线在处的切线斜率为．
(1)求a的值；
(2)求在区间上的最值．
18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
19．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若函数在处有极值，求函数的单调区间
(3)当时，求证.
20．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数．
(1)若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)当时．
证明：（i）若，则恒成立；
（ii）若，则恒成立．
21．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知在上的最小值为2，求k的值；
(3)若恒成立，求k的取值范围.
22．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数.
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)记.
（i）证明：曲线为中心对称图形；
（ii）若函数有三个零点，求的取值范围.
23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数.
(1)若时，曲线与直线相切，求实数的值；
(2)若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.
①求的取值范围；
②求证：.
24．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数．
(1)设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程；
(2)在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
25．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，其中．
(1)讨论的零点个数；
(2)若是在上的零点，证明：．
26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数．
(1)若为上的单调函数，求的取值范围；
(2)若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围．
27．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数．
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若无零点，求a的取值范围．
(3)若，有两个实数根，，证明：
28．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，．
(1)验证1是否为和在上的同步斜率；
(2)若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围；
(3)证明：当且时，．
29．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)记方程的根为，证明：.
30．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由.
31．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.
（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；
（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.
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