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专题02 数列综合
6大高频考点概览
考点01 通项公式和数列求和基本量计算
考点02 错位相减求和
考点03裂项求和
考点04分组求和
考点05 恒成立和不等式证明
考点06 数列新定义
1．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）因为，
所以.
2．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
有，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由(1)知，
，
所以，又，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
3．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)在等比数列中，
(1)已知，求和；
(2)已知，求和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
当时，；
当时， ，
满足上式，所以，对任意的，
因此，.
（2）设等比数列的公比为，
由，得，
解得或.
当时，；
当时，，
4．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和．
【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值．
【详解】（1）解：选①，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选②，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
选③，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，，所以，
所以当时，取得最大值为．
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列的前n项和为，且，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前n项和．
【详解】（1）证明：因为，时，，得
所以当时，，
两式作差得，
所以，
又，所以，
即，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
（2）证明：由（1）可知，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
（3）由（2）可知，即，
根据题意得，
则，
所以，
两式相减得，
即，
所以．
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)数列满足．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【详解】（1）由，得，
，，
，则是首项为2，公比为4的等比数列，
则，
则；
（2）由，
所以，
设数列和的前项和分别为，
则，①
， ②
：
，
则，
而，
所以.
3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
则，即有，
即，因此，，而，解得，又，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，
，
，
所以数列的前项和.
4．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为，求.
【详解】（1）因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【详解】（1）由题意可知，
当时，
累加得
当时，满足上式.
.
当时，，且，
两式相减得，
，即
数列是首项为1，公比为的等比数列，.
（2）
②
①-②得
，
.
6．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【详解】（1）由已知可得，
则，
当时，，
所以.
（2）由（1）可知, ，
则，
，
两式作差相减，可得：
，
则.
7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知正项数列的前项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）对于正项数列，令得，解得，
即可得，，
两式相减得到，
即，
故，于是是常数列，
可得，
故．
（2）由（1）可得，
故，
，
两式相减得到
8．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知数列的前n项和满足为常数，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【详解】（1）由条件可知，，得，
即，当时，，得，
当时，，
所以，
得，
当时，成立，
所以；
（2）因为，
所以，
，
，
，
所以.
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列的前n项和为，且满足
(1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
【详解】（1）由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
（2）由，则，
所以，
所以，
所以.
10．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列，，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）由，知，，
所以，又，
所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，；
（2）由（1）得，
所以，
，
所以
，
所以．
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，记数列的前项和为，求证．
【详解】（1）因为，①
当时，，②
由①②得，即，
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为2，
所以；
（2）由（1）得，，所以，
所以，
所以
所以．
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求的值.
【详解】（1）由等差数列的公差，且是与6的等差中项
则，
即，解得，
所以等差数列的通项.
（2）
.
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)已知公比大于1的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，，求的前项和．
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
则有，所以的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
所以
.
5．(24-25高二下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)已知数列满足．
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和．
【详解】（1）在数列中，，当时，，
所以.
（2），，
当时，，
两式相减得，则，而满足上式，
所以的通项公式是.
（3）由（2）知，，
所以.
1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
【详解】（1）由题干条件，当时，，
当时，，
与已知式子相减得，因为，所以，
又也符合上式，故；
（2）由已知得，
故.
2．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)在数列中，，设．
(1)求证：为等比数列，并求通项公式；
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）由，又，所以
因为，所以，
所以，因．则，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
可得；
（2）由（1）知，记数列的前项和为，
．
3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，
∵，∴，解得，故.
设等比数列的公比为，则，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴
.
4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
.
5．(24-25高二下·江西景德镇乐平第三中学·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
因为，
所以，即，
，即，则，
所以，整理可得即，
解得或（舍去）.
所以，则，解得或（舍去），故.
所以，.
（2）由（1）知，，则.
.
1．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列．
(1)若为好数列，且，请写出所有可能的取值；
(2)若为好数列，且，求最大的可能值；
(3)证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有．
【详解】（1）则或21，
当时，；当时，或41，
综上，，18或41
（2）因为，故，故，故
故，
故．
此时，经检验满足要求．
故最大为
（3）由于为正整数列，故其中必存在一项为整个数列中最小的正整数，设其为．
若为奇数，则，得到，故．归纳可得此时为常数列，满足题意．
若为偶数，则为奇数，故得到．
故或4．
若，则，且
取，对，都有，满足题意
若则，且
取，对，都有，满足题意
综上所述，存在，满足题意．
2．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以 ，解得 .
（2）由（1）知： ，所以，
因为当时，，所以，于是 = ，
所以 .
3．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知数列满足，数列的前项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）由，可得当时，，
两式相减可得：，
当时，可得，
所以，也满足，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为.
（2）由（1）可知，则，
则，
，
两式作差得 ，
则，
由不等式对一切恒成立，
可得为奇数时，恒成立，
由单调递增，可得最小值为，即有，可得；
为偶数时，恒成立，
由单调递增，可得最小值为，即有，
综上可得：.
4．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2；
（2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为 ，
即，因为，
所以 ，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.
5．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
【详解】（1）设的公差为，则，所以，
又为，的等比中项，则，
解之得，故；
（2）由上可知，
所以
，
易知，
令，显然定义域上单调递减，，
所以，故.
6．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)已知数列的前n项和为．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为1的等差数列；
（2）①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
，
．
②对任意的恒成立，
，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，．
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
(2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前2024项和．
【详解】（1）设的公差为，则，
解得 ，
数列为；
（2）因为构成首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
所以当时取得最大值，且.
（3）因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
①，，，，，，，，，，；
②，，，，，，，，，，；
因为，
对于①，当时；
当时
，
所以；
对于②，当时；
当时
，
所以.
2．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 .
(1)若 ，求 (直接写出答案)；
(2)求满足不等式 的正整数的最小值；
(3)求数列的通项公式.
【详解】（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5；
第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5；
故.
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，
所以，
其中数列经过1次“和扩充”后，得到，，
故，，
故是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，故，
又，则，即，解得.
所以的最小值为10.
（3）因为，
，
依次类推，，
故
.
3．(24-25高二下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
【详解】（1）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（2）的特征方程为，解得.
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
（3）证明：的特征方程为，解得，
所以的通项公式为.
由题意可得解得
所以的通项公式为.
当时，，满足.
当时，.
.
综上，.
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专题02 数列综合
6大高频考点概览
考点01 通项公式和数列求和基本量计算
考点02 错位相减求和
考点03裂项求和
考点04分组求和
考点05 恒成立和不等式证明
考点06 数列新定义
1．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
3．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)在等比数列中，
(1)已知，求和；
(2)已知，求和.
4．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和．
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值．
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列的前n项和为，且，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前n项和．
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)数列满足．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为，求.
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
6．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知正项数列的前项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
8．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知数列的前n项和满足为常数，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知数列的前n项和为，且满足
(1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
10．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列，，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，记数列的前项和为，求证．
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求的值.
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)已知公比大于1的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，，求的前项和．
5．(24-25高二下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)已知数列满足．
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和．
1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
2．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)在数列中，，设．
(1)求证：为等比数列，并求通项公式；
(2)求数列的前项和．
3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
5．(24-25高二下·江西景德镇乐平第三中学·期中)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
1．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列．
(1)若为好数列，且，请写出所有可能的取值；
(2)若为好数列，且，求最大的可能值；
(3)证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有．
2．(24-25高二下·江西赣州大余县部分学校·期中)已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
3．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知数列满足，数列的前项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
4．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
5．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
6．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)已知数列的前n项和为．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
(2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前2024项和．
2．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 .
(1)若 ，求 (直接写出答案)；
(2)求满足不等式 的正整数的最小值；
(3)求数列的通项公式.
3．(24-25高二下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)已知数列{an}满足 定义 为{an}的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关.设特征方程的两个根为x ，x ，若x ≠x ，则数列{an}的通项公式为 若 则数列{an}的通项公式为 其中A，B均为实数.
(1)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足 且 求{an}的通项公式；
(3)若数列{an}满足 且 记 为数列{bn}的前n项和，证明：
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