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专题02 计数原理
3大高频考点概览
考点01 分类加法、分步乘法计数原理
考点02 排列组合
考点03 二项式定理
(
地
城
考点01
分类加法、分步乘法计数原理
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）温州景山公园有3个大门，现要求从一个门入，从另外一个门出，则不同的走法种数是（ ）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
【答案】C
【分析】根据分步计数原理可求不同的走法种数.
【详解】由题设，入门有3种选法，出的门有2种选法，故不同的走法种数为6，
故选：C.
2．（23-24高二下·浙江温州·期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．12 C． D．
【答案】B
【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.
【详解】根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，
故选:B
3．（23-24高二下·浙江·期中）“笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分步乘法原理即可得到答案.
【详解】每个班都有3种选择，利用分步乘法计数原理，
共有种不同选法.
故选：A
4．（24-25高二下·浙江·期中）有五名大学生参加为期两天的志愿者服务，每天安排两人参加服务，则恰有1人连续两天参加服务的种数为（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
【答案】D
【分析】利用排列组合的知识求解即可.
【详解】先选出连续两天参加服务的学生，有种情形，则只需从剩下4人中选出2人安排在2天，故共有.
故选：D.
5．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数是（ ）
A．36 B．30 C．25 D．20
【答案】A
【分析】根据取横坐标、纵坐标分步，然后由分步乘法计数原理可得.
【详解】第一步：从中任取一个数记为横坐标有6种取法；
第二步：从中任取一个数记为纵坐标有6种取法.
所以，不同的点共有个.
故选：A
6．（24-25高二下·浙江·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．80种 C．90种 D．100种
【答案】B
【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.
【详解】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
则一共有种选法.
故选：B.
7．（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．18 B．21 C．35 D．36
【答案】D
【分析】运用分类加法原理计算即可.
【详解】按照百位数字进行分类讨论：
当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种；
当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种；
当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种；
当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种；
总共有种.
故选：D.
8．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】合理分步，应用分步乘法原理计算即可.
【详解】第一步，从9个球中任意取一个，有 种取法；
第二步，从与第一步所取球颜色不同的6个球中任意取一个，有种取法；
第三步，剩下的球中与第一步颜色相同的球有2个，与第二步颜色相同的球也有2个，从这4个球中任意选一个，有 种取法；
根据分步乘法计数原理，结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有种.
故选：D .
二、填空题
9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成_____________个无重复数字的“好数”.
【答案】20
【分析】讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应好数的个数，最后加总即可.
【详解】当首位为2，中间位置为1有3个好数；
当首位为3，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；
当首位为4，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数；
当首位为5，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数；
综上，共有20个无重复数字的好数.
故答案为：20
10．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则，区域涂同色的概率为_____________．
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
综上可得不同的涂色方案有种.
其中与颜色相同的有种，
所以，区域涂同色的概率.
故答案为：
11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有__________种．
【答案】396
【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解.
【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情：
第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
按照分类加法计数原理得，共有种.
故答案为：396.
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点，，，的点，记.若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点个数为______.（用具体数字作答）
【答案】10
【分析】设，分到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所有点，即可得答案.
【详解】设，情况如下：
①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，
由具有对称性，不妨讨论，，
满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上，
即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，此时，满足要求，如图两点，
同理，，，，和，，也各有2个满足题意的点，故共6个；
②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，
若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和（舍），此时，满足要求；
若到的距离和到中的两个距离一样，由具有对称性，
不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图，
同理，和也各有1个满足题意的点，共4个；
综上，共有10个满足题意的点.
故答案为：
(
地
城
考点02
排列组合
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江台州·期中）学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（ ）
A．10种 B．35种 C．105种 D．210种
【答案】B
【分析】由组合数的定义即可求解.
【详解】由组合数的定义可知共有种选法.
故选：B.
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用组合数的性质可得出的值，再利用组合数公式可求得的值.
【详解】由题意可知，因为，则，解得，
因此，.
故选：C.
3．（24-25高二下·浙江·期中）某同学逛书店，发现本喜欢的书，决定至少买其中两本，则不同的购书方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】对该同学所买的书的数量进行分类讨论，利用分类加法计数原理和组合计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，该同学可买其中的本书、本书、本书，
因此，不同的购书方法种数为种.
故选：B.
4．（24-25高二下·浙江·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．54
【答案】C
【分析】分三位数中含有0，和不含0两种情况，利用排列组合知识进行求解，相加可得答案.
【详解】若三位数中含有0，则从1,3,5中选2个奇数，有种方法，
0可以放在个位或十位，故组成没有重复数字的三位数个数为，
若三位数中不含有0，从2,4中选一个偶数，从1,3,5中选2个奇数，进行全排列，
有种方法，
综上，共有个没有重复数字的三位数.
故选：C
5．（24-25高二下·浙江温州·期中）某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（ ）
A．560种 B．616种 C．672种 D．728种
【答案】C
【分析】根据题意，至少有2名经理包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，利用分类，分步乘法原理求解.
【详解】“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，
情况一，选2名经理和4名员工，选法有：种；
情况二，选3名经理和3名员工，选法有：种；
情况三，选4名经理和2名员工，选法有：种；
所以不同的选择方案共有：.
故选：C.
6．（24-25高二下·浙江·期中）现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（ ）有种？
A．20 B．38 C．70 D．74
【答案】B
【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可求解.
【详解】由甲、乙、丙、丁四人是好友关系，至少有一名好友相伴，可分为两类，
（1）把4名好友分在同一个社区，另4人在一个社区有2种不同的方法，
（2）有两名好友在1个社区，另2名好名在另一个社区有种，
综上所述：共有种不同的分配方法.
故选：B.
7．（24-25高二下·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（ ）
A．360 B．180 C．90 D．60
【答案】D
【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙，
首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种；
再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种；
最后将剩下的两本给丙即可，
按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法.
故选：D
8．（24-25高二下·浙江·期中）某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】先将必须相邻的环节捆绑，再考虑不相邻环节的排列，最后根据排列组合的乘法原理计算出总的安排方式．
【详解】因为环节A、B必须相邻，所以将A、B看作一个整体，考虑A、B之间的排列顺序，则A、B的排列方式有种．
此时相当于有两个元素（捆绑后的A、B和E）进行排列，排列方式有种．
经过步骤2的排列后，形成了3个空位，从这3个空位中选2个空位插入C、D，根据排列数公式，其排列方式有种．
所以不同的安排方式一共有种．
故选：B．
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（ ）
A．384 B．360 C．216 D．408
【答案】A
【分析】根据题意，分2种情况分析：①，一排坐1人，另一排坐3人，②，两排各坐2人，结合排列数和组合数公式，由分类计数原理计算即可得答案.
【详解】依根据题意，分2种情况分析：
①，一排坐1人，另一排坐3人；
先选一排坐三人不相邻（只能排第一列、第三列、第五列），
再把另外一人安排另一排的符合题意（第二列、第4列）的位置：有种情况，
②，两排各坐2人，先确定这两排不相邻位置，再安排人，
记第一排五个位置为，第二排五个位置为，则符合题意的位置有
，共12种，再让四位同学坐有，
此时有种情况，
综上共有种排法.
故选：A．
10．（24-25高二下·浙江·期中）某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（ ）
A．55 B．66 C．78 D．132
【答案】C
【分析】由题意减去担任负责人的两人，再将三人看作一人，利用隔板法，可得答案.
【详解】从位同学中抽取两人当负责人，则还剩人，
若按学号从小到大分成大三组人数分别为，其中，
则，解得，
由隔板法可得两位负责人的选取方法种数是.
故选：C.
11．（24-25高二下·浙江台州·月考）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
【答案】B
【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论.
【详解】第一：选派2名快递员的时候：
首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种，
所以不同安排方案有：种；
第二：选派3名快递员的时候：
先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法，
所以不同安排方案有：种.
综上，不同安排方案有：种.
故选：B
12．（23-24高二下·浙江·期中）2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．132 B．144 C．150 D．168
【答案】C
【分析】分学生甲、乙选的景点没有其他人选与有其他人选两大类，采用先分组、再分配的方法计算可得.
【详解】若学生甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙），
当为时，则有种选法；
当为（其中为甲、乙）时，则有种选法；
若学生甲、乙选的景点有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙与另一学生），
当为时，则有种选法；
当为（其中为甲、乙与另一学生）时，则有种选法；
综上可得一共有种不同的选法.
故选：C
13．（24-25高二下·浙江·期中）如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（ ）种.
A．24 B．20 C．12 D．6
【答案】C
【分析】先将除甲之外的名游客进行分组，再将分好的组全排列安排到剩下的个车站．
【详解】因为每个车站至少有一名游客下车，所以要将乙、丙、丁名游客分成组．
从名游客中选个人为一组，剩下个人为一组，则分组方法有种．
将分好的组全排列，安排到龙翔桥站和风起路站这个车站，则排列方法有种．
前面分组有种方法，排列有种方法，所以这名游客下车的不同方案有种．
又因为甲已经确定在定安路站下车，这是一种确定的情况，不需要参与组合排列计算，所以最终的方案数就是种（乘是因为甲在定安路站下车后，剩下人分组排列后可以看作是另外两个站的人员分配情况，而对于这两个站的顺序有种情况）．
这名游客下车的不同方案有12种．
故选：C．
二、多选题
14．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）下列有关排列数 组合数的等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据组合数和排列数的公式逐个判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B, 因为，所以，故B错误；
对于C, 因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
15．（24-25高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．
C．4个人排成一排，则甲不站首位的排法有18种
D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙不相邻共有12种排法
【答案】ACD
【分析】利用排列数的运算可判断A；利用组合数的运算判断B；先求甲在首位的排法，再求甲不站首位的排法可判断C；先求甲乙相邻的排法，再求甲乙不相邻的排法判断D.
【详解】对于选项A，排列数公式解得（舍去），故选项A正确；
对于选项B， ，，相加得，而，显然不相等，故选项B错误；
对于选项C，4人排成一排的总排法为种，甲在首位的排法有种，因此甲不在首位的排法为种，故选项C正确；
对于选项D，4人排成一排的总排法为种，甲乙相邻的排法可视甲乙为一个整体，共有种（3个元素排列后内部交换甲乙），因此甲乙不相邻的排法为种，故选项D正确.
故选：ACD.
16．（24-25高二下·浙江·期中）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．共有种不同的放法
B．恰有两个盒子不放球，共有360种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种
D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种
【答案】BC
【分析】A应用分步乘法判断；B、C、D应用分步分类计数原理及排列组合数判断；
【详解】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错；
B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种，
最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对；
C：从四个编号中选2个放同编号的球有种，
若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法，
所以，共有种，对；
D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错.
故选：BC
17．（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案.
【详解】根据题意，依次分析选项:
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
18．（24-25高二下·浙江·期中）现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为__________种.
【答案】
【分析】根据题意，先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列，结合排列数的计算公式，即可求解.
【详解】先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列，
则甲，乙两位同学相邻的排法种数为种不同的排法.
故答案为：.
19．（23-24高二下·浙江·期中）小明的生日是07年10月27日，他打算从这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有__________种.
【答案】
【分析】根据数字1，2不相邻，利用插空法得到答案.
【详解】因为数字1，2不相邻，所以先排列，再将1，2进行插空，所以共有种情况.
故答案为：120.
20．（23-24高二下·浙江·期中）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 _______种．
【答案】36
【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
【详解】将4个不同的小球分成3组，有种分组方法，
然后全排列放入3个不同的盒子，所以不同的放法共有种．
故答案为：36．
21．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法.
【答案】504
【详解】依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种，
“礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种，
所以符合要求的排法种数为.
故答案为：504
22．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有______种不同的排法.
【答案】
【分析】根据甲在中间位置以及最后一个位置，结合排列组合，即可由计数原理求解.
【详解】若甲在第2，3，4位置中选择一个位置安排甲，有种选择，
接下来安排乙，则有种方法，
再安排剩余三个人，有,
故一共有种方法，
若甲在最后一位，则由种方法，
因此一共有,
故答案为：
23．（23-24高二下·浙江·期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为_____________．
【答案】216
【分析】按照先分组再分配的步骤安排分配方法.
【详解】第一步，将六名志愿者分成4组，要求甲、乙在同一组，戊、己不在同一组，
若分为3，1，1，1的四组，甲、乙必须在3人组，有种分组方法，
若分为2，2，1，1的四组，甲、乙必须在两人组，有种分组方法，
则一共有种分组方法：
第二步，将分好的四组全排列，分配到4个乡镇，有种，故总的分配方法有种．
故答案为：216
24．（23-24高二下·浙江·期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________．
【答案】100
【分析】先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排.
【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，
此时分组方法有：；
然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，由于甲不能参加课程，
此时分配方法有：；
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为，
故答案为：.
25．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种．
【答案】36
【分析】先分析出甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能，再按照先选后排的原则写出式子计算即可.
【详解】由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数
有3，1，1和2，2，1两种可能，
①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校，
另外两人各到一所学校，有种方案；
②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校，
剩余2人去另一所学校，有种方案，
因此，所有的分配方案共有种，
故答案为：36.
26．（24-25高二下·浙江杭州·期中）用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有______个．
【答案】
【分析】分四个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，两个不同数字各出现两次和一个数字出现四次，五种情况讨论即可.
【详解】当四个不同数字各出现一次时，有个；
当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是，
则有个；
当一个数字出现三次，另一个数字出现一次时，则重复出现的数字只能是，
则有个；
当两个不同数字各出现两次时，则重复出现的数字只能是，
则有个；
当一个数字出现四次时，则仅有数字符合条件，则有个，
综上所述，满足条件的四位数共有个.
故答案为：.
四、解答题
27．（23-24高二下·浙江台州·期中）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.
(1)若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种;
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.
【答案】(1)26
(2)70
【分析】（1）根据题意，得到两种可能:“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，结合组合数的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到两种可能:“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”， 结合组合数的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：
“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种.
（2）解：若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：
“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，
故不同的取法有种.
28．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）从等人中选出人排成一排.
(1)三人不全在内，有多少种排法？
(2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
(3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答）
【答案】(1)1800
(2)144
(3)1560
【分析】（1）根据全排列，去掉在内的情况即可由排列和组合求解，
（2）根据相邻和不相邻问题，利用捆绑法和插空法即可求解，
（3）分四类情况即可求解.
【详解】（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，三人全在内有种不同排法，
由间接法可得三人不全在内共有种不同排法；
（2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，
由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法；
（3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有1560种不同排法.
29．（24-25高二下·浙江·期中）在五一小长假期间，要从5人中选出若干人在5天假期中值班（每天只需一人值班）.
(1)若每人都只安排一天值班，要求甲不排在1号，乙不排在5号，求所有可能的安排方式种数.
(2)若不出现同一人连续值班2天，求所有可能的安排方式种数；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正难则反的解题思想，由总数减去不符合题意的情况，结合容斥原理，可得答案；
（2）根据分步乘法原理，结合题意，可得答案.
【详解】（1）用间接法可得，所有可能的安排方式种数为种.
（2）由题意可知1号有5种排法，其余4天的排法有种，
所以所有可能的安排方式种数为种.
30．（24-25高二下·浙江台州·期中）某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(3)如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）特殊元素优先法，先排工序，其余工序全排列；
（2）首先排工序和工序，，其余工序全排列；
（3）相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空法.
【详解】（1）因为工序不能放在最后，
首先排工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（2）因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，
首先排工序和工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（3）如果和工序相邻，和不能相邻，
把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，
再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
31．（24-25高二下·浙江宁波·期中）（1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）
【答案】（1）40；（2）108；（3）960；
【分析】（1）相同元素分配问题，采用隔板法处理即可得恰有一个空盒子的放法的种数；
（2）数字问题，根据要求分两大类个位上的数字是0和5，结合分类加法原理与分步乘法原理求解即可；
（3）排队问题，根据相邻元素“捆绑法”，不相邻元素“插空法”即可得符合要求的方法种数.
【详解】（1）恰有一个空盒子，插板分两步进行：
先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，
故共有种放法.
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位上的数字是5的四位数有个，
故满足条件的四位数的个数共有（个）.
（3）先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法；
最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，
则有种排法.所以共有种不同的排法
32．（24-25高二下·浙江·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．
(1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）
(2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
【答案】(1)34
(2)490
(3)300
【分析】（1）方法一：直接发，分类讨论女性的人数，结合组合数运算求解；方法二：间接法，在所以组合中排除没有女性的组合；
（2）先选4名航天员，分类讨论人数配比，结合组合数运算求解；
（3）先选2名航天员，然后安排甲、乙两人，最后安排剩下的2人，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】（1）方法一：“直接法”，分成3种情况讨论：
恰有1名女性，共有种选法；恰有2名女性，共有种选法；
恰有3名女性，共有种选法；所以共有种选法；
方法二：“间接法”，总共有种，没有一名女航天员有种，
所以共有种选法．
（2）先选4名航天员，有种，然后先分组再分配，可分两类：
若分为2，2的两组再分配，有种；
若分为1，3的两组再分配，有种；
所以共有种选法．
（3）先选2名航天员，有种；然后安排甲、乙两人，有种；
最后安排剩下的2人，有种；
所以共有种选法．
(
地
城
考点0
3
二项式定理
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A． B．160 C． D．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求解即可.
【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项，
是.
故选：B.
2．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中的系数为，则（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】利用二项展开的通项写出含的项，即可得.
【详解】易知展开式中含的项为，
解得.
故选：B
3．（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，可得出的值.
【详解】因为，
令可得.
故选：C.
4．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式通项判断即可.
【详解】二项式展开式第项的二项式系数为.
故选：C.
5．（24-25高二下·浙江温州·期中）在的展开式中项的系数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】先求出每部分含的系数，再利用组合数求解即可.
【详解】由于的展开式中的系数是，
而.
故选：B.
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理分别求出，再求和得解.
【详解】显然，
在的展开式中，，，
所以.
故选：C
7．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】运用通项公式分析计算即可.
【详解】可先求展开式通项公式，.
当中与展开式相乘时，令，，，系数为.
当中与展开式相乘时，令，，，系数为.
将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12.
故选：C.
8．（24-25高二下·浙江宁波·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．17 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】利用二项式展开式的通项公式分别求出的指数为的项，再和中相应的系数相乘，即可得到所求的常数项.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，该项为，
令，得，该项为.
所以的展开式中的常数项为.
故选：A.
9．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．60 B．20 C．-20 D．-60
【答案】D
【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.
【详解】，展开式的通项公式为，
令，故，
的展开式的通项公式为，
令，则，
故的系数为，
故选：D.
10．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．1139 B．1140 C．1329 D．1330
【答案】C
【分析】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为
、、，根据组合式求和即可.
【详解】因为的展开通项为，
所以的展开式中含项的系数分别为
、、，其系数和为，
则，
其中，，，依次类推，
得出.
故选：C.
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二项式展开式项的系数特征列不等式求解.
【详解】由的展开式中唯有第5项的系数最大，
得，而，解得，即，
所以t的取值范围是.
故选：D
12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，则除以10的余数为（ ）
A．0 B．1 C．8 D．9
【答案】A
【分析】逆用二项式定理,可得，再利用二项式定理展开，即可得除以10的余数.
【详解】由可得，
，
则得，，
即.
故m除以10的余数为0.
故选：A.
13．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
【答案】C
【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以若既能被7整除，则，故
又，
所以
，
所以若既能被9整除，则，故，
对于A，若，则由可知无解，故A错误；
对于B，若，则由可知无解，故B错误；
对于C，若，则由和得，故C正确；
对于D，若，则由可知无解，故D错误.
故选：C.
二、多选题
14．（23-24高二下·浙江台州·期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）.
A．展开式共7项 B．含项的系数为480
C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128
【答案】CD
【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解.
【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误.
对于：由二项式，可得展开式的通项为：，.
令，可得，则项的系数为，所以选项错误.
对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确.
对于：二项式系数和为，所以选项正确.
故选：.
15．（24-25高二下·浙江·期中）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ）
A． B．展开式中所有项的系数和为32
C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为121
【答案】ACD
【分析】由判断A，写出二项式展开式通项公式求常数项判断C；应用赋值法求相关系数和判断B、D.
【详解】由题设，则展开式通项为，，
令，则展开式中所有项的系数和为，A对，B错；
令，则常数项为，C对；
若，由B分析，
令，则，故x的奇次项的系数和为，D对.
故选：ACD
16．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】分别令，，即可判断AB；求出展开式的通项，进而可判断CD.
【详解】令，则①，故B正确；
令，则②，
由①②得，故A正确；
展开式的通项为，
令，则，所以，故C错误；
令，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
17．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中常数项的系数为1
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，利用二项式定理求解判定AB；利用二项式系数的性质计算判定C；仿照二项式定理的组合意义，研究三项式的展开中的常数项，即可判定D.
【详解】第3项对应 ，第7项对应 ，根据组合数的性质 ，解得 .因此选项A正确；
展开式中 项的系数为 ，而选项B中给出的系数为56，因此选项B错误；
奇数项的二项式系数和为 ，当 时，和为 ，因此选项C正确；
在 的展开式中，常数项仅在所有括号中都选择1时产生，因此常数项系数为 ，选项D正确.
故选： ACD.
18．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D.
【详解】由已知有，故，.
所以.
对于A，取得，取得，
所以，A错误；
对于B，对求导得，
取得，B正确；
对于C，在中用替换，
得.
所以，特别地对有，C错误；
对于D，由有.
在中取得，
所以，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果.
19．（24-25高二下·浙江·期中）设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．，，，…，中最大的是 D．
【答案】ABC
【分析】设，利用通项公式求得含的系数判断A，利用赋值法求解判断BD，结合二项式系数的单调性及系数的正负判断系数最大项即可判断C.
【详解】设，则，
二项式的展开式通式，由，选项A正确；
令，则，选项B正确；
因为，当时，系数为正，
所以系数最大的是，选项C正确；
令，则，令，
则，，选项D错误.
故选：ABC.
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中含项的系数为324，若，则（ ）
A． B．
C． D．当时，被6除的余数为1
【答案】ABD
【分析】由二项式定理写出展开式的通项，根据指定项的系数，建立方程，可得A的正误；根据通项，结合题干中的指定项，可得B的正误；根据赋值法，分别赋值与，相减可得C的正误；利用二项式定理展开式，由的倍数，可得D的正误.
【详解】由，则其展开式的通项为，
令，则，即，解得（舍负），故A正确，
由，则，故B正确；
令，则，
令，则，
两式相减可得，故C错误；
当时，，
由为的倍数，则被6除的余数为1，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
21．（23-24高二下·浙江·期中）若二项式的展开式中的系数是160，则实数_____．
【答案】2
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．
【详解】根据二项式的展开式，
令，解得，
则的系数为，解得．
故答案为：2．
22．（23-24高二下·浙江·期中）的展开式中的常数项为___________.
【答案】2160
【分析】根据二项式定理得展开式的通项，确定的取值即可得的展开式中的常数项.
【详解】展开式的通项为，
则可得的展开式中的常数项为.
故答案为：.
23．（24-25高二下·浙江台州·期中）的展开式中的系数为__________．
【答案】14
【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数.
【详解】，
的展开式中含的项为
的展开式中的系数为14.
故答案为：14
24．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为_____________．
【答案】
【分析】将视作为，再利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】,
所以展开式的通项公式为，
因为要求的系数，所以.
所以，
所以展开式的通项公式为，
因为要求的系数，
令，则，
所以的系数为.
故答案为：.
25．（24-25高二下·浙江台州·期中）在的展开式中，项的系数为_____．
【答案】25
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再结合指定项指数求解.
【详解】二项式展开式的通项，
因此项为，
所以项的系数为25.
故选：25
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专题02 计数原理
3大高频考点概览
考点01 分类加法、分步乘法计数原理
考点02 排列组合
考点03 二项式定理
(
地
城
考点01
分类加法、分步乘法计数原理
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）温州景山公园有3个大门，现要求从一个门入，从另外一个门出，则不同的走法种数是（ ）
A．12个 B．9个 C．6个 D．3个
2．（23-24高二下·浙江温州·期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．12 C． D．
3．（23-24高二下·浙江·期中）“笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·浙江·期中）有五名大学生参加为期两天的志愿者服务，每天安排两人参加服务，则恰有1人连续两天参加服务的种数为（ ）
A．90 B．80 C．70 D．60
5．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数是（ ）
A．36 B．30 C．25 D．20
6．（24-25高二下·浙江·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．80种 C．90种 D．100种
7．（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．18 B．21 C．35 D．36
8．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题
9．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成_____________个无重复数字的“好数”.
10．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则，区域涂同色的概率为_____________．
11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有__________种．
12．（24-25高二下·浙江·期中）已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点，，，的点，记.若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点个数为______.（用具体数字作答）
(
地
城
考点02
排列组合
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江台州·期中）学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（ ）
A．10种 B．35种 C．105种 D．210种
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·浙江·期中）某同学逛书店，发现本喜欢的书，决定至少买其中两本，则不同的购书方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（24-25高二下·浙江·期中）从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．54
5．（24-25高二下·浙江温州·期中）某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（ ）
A．560种 B．616种 C．672种 D．728种
6．（24-25高二下·浙江·期中）现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（ ）有种？
A．20 B．38 C．70 D．74
7．（24-25高二下·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（ ）
A．360 B．180 C．90 D．60
8．（24-25高二下·浙江·期中）某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（ ）
A．384 B．360 C．216 D．408
10．（24-25高二下·浙江·期中）某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（ ）
A．55 B．66 C．78 D．132
11．（24-25高二下·浙江台州·期中）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
12．（23-24高二下·浙江·期中）2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．132 B．144 C．150 D．168
13．（24-25高二下·浙江·期中）如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（ ）种.
A．24 B．20 C．12 D．6
二、多选题
14．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）下列有关排列数 组合数的等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．
C．4个人排成一排，则甲不站首位的排法有18种
D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙不相邻共有12种排法
16．（24-25高二下·浙江·期中）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．共有种不同的放法
B．恰有两个盒子不放球，共有360种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种
D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种
17．（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
18．（24-25高二下·浙江·期中）现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为__________种.
19．（23-24高二下·浙江·期中）小明的生日是07年10月27日，他打算从这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有__________种.
20．（23-24高二下·浙江·期中）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有 _______种．
21．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法.
22．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有______种不同的排法.
23．（23-24高二下·浙江·期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为_____________．
24．（23-24高二下·浙江·期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________．
25．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种．
26．（24-25高二下·浙江杭州·期中）用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有______个．
四、解答题
27．（23-24高二下·浙江台州·期中）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.
(1)若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种;
(2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.
28．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）从等人中选出人排成一排.
(1)三人不全在内，有多少种排法？
(2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
(3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答）
29．（24-25高二下·浙江·期中）在五一小长假期间，要从5人中选出若干人在5天假期中值班（每天只需一人值班）.
(1)若每人都只安排一天值班，要求甲不排在1号，乙不排在5号，求所有可能的安排方式种数.
(2)若不出现同一人连续值班2天，求所有可能的安排方式种数；
30．（24-25高二下·浙江台州·期中）某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(3)如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？
31．（24-25高二下·浙江宁波·期中）（1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）
32．（24-25高二下·浙江·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．
(1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）
(2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(
地
城
考点0
3
二项式定理
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A． B．160 C． D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中的系数为，则（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
3．（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·浙江温州·期中）在的展开式中项的系数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（24-25高二下·浙江宁波·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．17 B．16 C． D．
9．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．60 B．20 C．-20 D．-60
10．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．1139 B．1140 C．1329 D．1330
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，则除以10的余数为（ ）
A．0 B．1 C．8 D．9
13．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
二、多选题
14．（23-24高二下·浙江台州·期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ）.
A．展开式共7项 B．含项的系数为480
C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128
15．（24-25高二下·浙江·期中）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ）
A． B．展开式中所有项的系数和为32
C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为121
16．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中常数项的系数为1
18．（23-24高二下·浙江·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（24-25高二下·浙江·期中）设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．，，，…，中最大的是 D．
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中含项的系数为324，若，则（ ）
A． B．
C． D．当时，被6除的余数为1
三、填空题
21．（23-24高二下·浙江·期中）若二项式的展开式中的系数是160，则实数_____．
22．（23-24高二下·浙江·期中）的展开式中的常数项为___________.
23．（24-25高二下·浙江台州·期中）的展开式中的系数为__________．
24．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为_____________．
25．（24-25高二下·浙江台州·期中）在的展开式中，项的系数为_____．
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