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专题02一元函数的导数及其应用
15大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
1．(24-25高二上·浙江宁波九校·期末)下列求导正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D.
【详解】，A不正确；
，B不正确；
，C不正确；
，D正确.
故选：D.
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性.
【详解】选项A: ，故A错；
选项B: ，故B对；
选项C：，故C对；
选项D: ，故D对.
故选：A.
3．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)函数的导数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用自然对数和常数求导即可求解.
【详解】求导得：，
故选：A.
4．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数求导公式求解判断.
【详解】依题意，.
故选：C
5．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知函数，则________．
【答案】
【分析】利用导数运算法则求解即得.
【详解】函数，求导得.
故答案为：
考点02 极限问题
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据导数定义计算求解.
【详解】因为，则 .
故选：D.
2．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可.
【详解】由题意得，则，
得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确.
故选：B
3．(24-25高二下·北京育英学校·期中)设在处可导，且，则等于（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
4．(23-24高二下·北京育英学校·期中)设函数的导函数为，若，则______．
【答案】
【分析】利用导数的定义可求得.
【详解】因为，则.
故答案为：.
5．(22-23高二下·北京丰台区·期中)如图，直线是曲线在点处的切线，则________．

【答案】1
【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
考点03 导数求值
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)下列函数中，在处的导数值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误.
【详解】函数，，则，所以A错误.
函数在不可导，所以B错误.
函数，，则，所以C错误.
函数，，则，
故选：D.
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】求导得，计算即可.
【详解】由，可得，
所以.
故选：D.
3．(22-23高二下·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】对原函数求导得，再把代入，即可求解.
【详解】函数，
，
.
故选：D.
4．(24-25高二下·北京第一七一中学·期中)已知函数，则_____．
【答案】2
【分析】求导得，代入即可求解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：2.
5．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知，则当时的导数值=______.
【答案】
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数计算即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
考点04 导数的切线方程
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可.
【详解】易知函数的定义域为，
设切点坐标为，则可得，
此时切线斜率为，因此切线方程为，
代入点可得，即，
解得，即切点坐标为.
故选：C
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果.
【详解】令则直线的斜率为
则.
故选：B.
3．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)函数的图像关于原点对称，且在其点处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为________．
【答案】
【分析】先根据函数图像关于原点对称得出函数为奇函数，再利用奇函数的性质求出点关于原点对称点的坐标，最后根据奇函数导数的性质求出对称点处的切线方程.
【详解】已知点，可得点关于原点的对称点的坐标为.
因为点在切线上，将代入切线方程可得，所以的坐标为.
因为的图像关于原点对称，所以是奇函数，即.
对两边同时求导，根据复合函数求导法则可得：，即，这表明奇函数的导函数是偶函数.
已知函数在点处的切线方程为，可得.
因为是偶函数，所以，即函数在点处的切线斜率为.
根据点斜式方程可得函数在点处的切线方程为，即，化简可得.
故答案为： .
4．(23-24高二下·北京通州区·期中)已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为______.
【答案】
【分析】对函数求导并求出导函数的最小值及切点坐标，再由点斜式方程即可得出结果.
【详解】由可得，
再由二次函数性质可得，当时，函数取得最小值，
因此可得切线斜率最小值为，此时切点为，
所以切线方程为，即.
故答案为：
5．(24-25高二下·北京师范大学第二附属中学未来科学城学校·期中)已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．
【答案】B
【分析】首先设切点为，根据得到切点为，再根据求解即可.
【详解】设切点为，，，所以，
即切点为，
所以，解得，.
故选：B
考点05 求已知函数的单调性
1．(24-25高二下·北京第五中学·期中)下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】对于A：在上不单调，故A错误；
对于B，因为，则，所以在区间上恒成立，
则函数在区间上为增函数，故B正确；
对于C，因为，则，
所以当或时，当时，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
则在区间上不单调，故C错误；
对于D，因为，则，当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
则在区间上不单调，故D错误．
故选：B
2．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间内单调递增；
(3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程；
（2）只需证明在上恒成立，根据和，依次判断即可得出结果；
（3）设，，当时满足不等式，时不满足不等式，计算即可得出结果.
【详解】（1）因为，，
所以，又，所以切线方程为；
（2），，
当时，，，所以，
当时，，又，所以，
所以，所以在区间内单调递增；
（3）由洛必达法则可知，，
由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示，
设，，
，，
要使得在区间内恰有一个整数解.
只需满足
由得；由得.
所以的取值范围是 .
3．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)已知函数，求：
(1)函数的图象在点处的切线方程；
(2)求的单调递增区间．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，再整理成一般式方程即可；
（2）求出函数导数后，解不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以函数的图象在点处的切线斜率，
因为，所以切线方程为，即.
（2）由已知可得. 令，解得或，
所以的单调增区间为和.
4．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)已知函数 ，其中为常数，且.
(1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，然后根据导数的几何意义求解切线方程，即可求解斜率；
（2）求出导函数，按照和分类讨论，解导数不等式即可求解单调区间；
（3）根据（2）的单调减区间，利用区间关系列不等式求解即可得解.
【详解】（1）当 时，函数，令得，即切点坐标为 ，
又 则 即切线斜率 ，
故切线方程为 ，即，
则曲线在点处的切线的斜率为2.
（2）函数的定义域为 ，，
①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ；
②当 时， 令 解得 ，
，随x的变化情况如下表:
x
0
单调递增 y极大值 单调递减
所以函数的单调增区间为，单调减区间为
综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ；
当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为
（3）因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且，
解得 ，所以.
5．(21-22高二下·北京第五中学·期中)已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析．
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）求出导函数，对分类讨论：和三种情况分别求出单调区间．
【详解】（1）当时， ，则，
以， ，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）．由得．
当时，解得．
故当时， ，当时， ．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，解得或．当时， ；当时，；
当时， ．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和．
当时，解得或．当时， ；当时，；
当时， ．
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和．
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
考点06 已知函数的单调性求参数
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知函数，则“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由已知假设函数在区间上不单调，对函数求导，则令，得或（舍去），则，解得实数的取值范围即可得结论.
【详解】假设在其定义域内的子区间上不单调，
由，得或（舍去），
所以，解得，所以的取值范围为.
所以“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的充分不必要条件.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根据题意，将函数在区间上单调递增，转化成在上恒成立，利用分离参数法结合函数单调性求出最值即可得到的取值范围.
【详解】由题意，函数求导可得，
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即，分离参数可得，
因为函数在上单调递减，所以，则.
故选：D.
3．(24-25高二下·北京景山学校·期中)已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】因为的定义域是，
所以，
当时，，在上为增函数，即在上是单调函数.
所以 在上为单调函数，是充分条件；
反之，在上为单调函数 或，不是必要条件.
故选：A.
4．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)设，若的单调减区间为，则______，______.
【答案】 /
【分析】由题意可得，的解集为，利用三个二次的关系。将其转化为方程的两根为，最后利用韦达定理即可求得.
【详解】由可得，
依题意，的解集为，
即的解集为，
也即，有两根为，
故得：解得.
故答案为：；.
5．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数，，其中实数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：若且，都有．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；
（2）求出及导数，利用给定的单调性出的范围.
（3）设，要证，即证，进而证明函数在上单调递增即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得或；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）依题意，在上单调递增，
则，恒成立，
而当时，，当且仅当时取等号，则，
所以a的取值范围为.
（3）不妨设，则，要对，都有，
只需恒成立，即恒成立，
因此不等式恒成立，即函数在上为增函数，由（2）知，
而，则函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有.
考点07 求已知函数的极值
1．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值点和极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值；
（2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值.
【详解】（1）若，则的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知函数在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为.
（2）因为函数的定义域为，且，，
令，解得或，
若，则，
可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为；
若，则，
当时，；当时，；
可知函数在内单调递减，在内单调递增，
所以函数在内的最小值为；
且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为.
2．(24-25高二下·北京第十四中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值，没有极小值.
【分析】（1）首先对函数求导，进而可得到切线的斜率，然后求出切点的坐标，从而可求出切线方程.
（2）首先对函数求导，然后判断函数在定义域内的单调性，并求出极值点，进而可求出极值.
【详解】（1）因为，所以对函数求导得：
，.
所以，而，
所以函数在点处的切线方程为.
（2）对函数求导得：
，.
当时，即时，，此时在上单调递增；
当时，即时，，此时在上单调递减；
令，则.
所以函数在处取极大值，极大值为，没有极小值.
3．(23-24高二下·北京朝阳区北京中学·期中)已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)指出极值点的个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)在，单调递增，在单调递减
(3)2个，理由见解析
【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）由（1），求得，结合和，即可求解；
（3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即.
（2）解：由（1）知，可得，
令，即，解得或，
当，；当，；当，，
所以函数在，单调递增，在单调递减.
（3）解：函数有2个极值点，理由如下：
由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使；
②当时，函数在区间上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使；
③当时，在区间上单调递增，
且，恒有，故该区间内无零点，
综上可得：当，；当，；当，，
所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点.
4．(23-24高二下·北京建华实验亦庄学校·期中)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，判断零点个数，并说明理由．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；
（2）依题意可得，令，则判断的零点个数，即判断的零点个数，利用导数说明的单调性，求出，再令，，利用导数说明的单调性，即可求出，从而得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
且，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，
又，
所以当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值；
（2）令，即，
因为，所以，
令，
所以判断的零点个数，即判断的零点个数，
又，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，
则，因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时有一个零点，即有一个零点，
当时无零点，即无零点，
综上可得当时，有一个零点；当时，无零点.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数.
5．(24-25高二上·广东深圳外国语学校高中园·期末)已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值；
（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
考点08 已知函数的极值求参数
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)若函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意将极值点问题转化为导函数有变号零点的问题，再结合判别式可求得结果.
【详解】易知函数的定义域为，则，
依题意可得导函数在上存在变号零点，
即有实数根，且不能是两个相等的实根，
因此，解得或；
即实数的取值范围为.
故选：B
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)“”是函数“存在极大值和极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求导后令，结合判别式和韦达定理分析可得.
【详解】，，
令，即，
，，
若，则函数有两个正根，即有两个变号零点，
此时函数存在极大值和极小值；
当时，方程无正根或仅有一个重根，
此时函数不可能同时存在极大值和极小值；
综上，“”是函数“存在极大值和极小值”的充分必要条件.
故选：C
3．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若函数在处取得极小值，求实数，的值；
(2)求在上的值域；
(3)已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可；
（2）求导，分，，三种情况讨论，分别求出的单调区间，作出图象，数形结合讨论即可求解；
（3）由（2）可求出函数的极值，通过讨论极值即可判断零点个数.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得，
此时，由，得到或，
当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到极小值，符合题意.
所以.
（2），令，则或，
若时，恒成立，此时在上单调递增，
则在上单调递增，又，，
此时在上的值域为，
因为当时，，由，得到或，
当时，，
由，得到，即，
解得或，
若，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
不妨假设，其图象如图1，
当，此时；
当，即时，
在上的最小值为，
最大值为；
当，即时，
又，
所以在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
若，当或时，，当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，不妨假设，其图象如图2，
当，此时；当，即时，
在上的最小值为，最大值为，
当，此时；当，即时，在上的最小值为，最大值为，
当，即时，又，
所以在上的最小值为，最大值为，
当，即时，在上的最小值为，最大值为，
综上，当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为.
（3）由（2）可知，当，的单调递增区间为，；单调递减区间为，
当时，函数取到极大值，即，所以，
当时，函数取到极小值，即，
又当时，，当时，，
所以当，即时，有1个零点；
当，即时，有2个零点；
当，即时，有3个零点.
4．(24-25高二下·北京第二十二中学·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，直接写出的取值范围（无需解答过程）.
【答案】(1)
(2)最大值为11，最小值为
(3)
【分析】（1）根据极值的定义求出，再进行检验即可.
（2）根据导数的几何意义求出单调性，利用单调性求最值即可；
（3）根据函数的单调性，结合方程的根与函数图象的关系列式即可求解.
【详解】（1），所以，
由题意得，解得，
所以，
当时，，
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值.故.
（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在区间上的最大值为11，最小值为.
（3）方程有三个不同的实数根，
即与函数有3个不同交点，
由（1）（2）得在和上单调递增，在上单调递减，
且，所以的取值范围是.
5．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数．
(1)若在处有极值，求的值；
(2)当时总是在轴上方，求的取值范围；
(3)写出的零点个数（结论不要求证明）．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用极值的性质建立方程，求解参数，再代回检验即可.
（2）对参数范围进行讨论，利用导数结合排除法求出参数范围即可.
（3）对参数范围进行讨论，并结合零点存在性定理逐个情况求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处有极值，所以，
解得，此时，，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
此时在处有极值，符合题意.
（2）由题意得当时总是在轴上方，
则在上恒成立，
而，当时，，
此时在上单调递增，且，
故此时在上恒成立，满足题意，
当时，我们对的范围分类讨论，当时，解得，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
得到，
令，则令，而，
令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，且，
则，则，故，与题意不符，故排除，
当时，解得，令，，
此时在上单调递增，且，
故此时在上恒成立，满足题意，
由已知得当时，在上单调递增，
则，故此时在上恒成立，满足题意，
故，综上可得的取值范围为.
（3）令，则，
当时，，此时在上单调递增，
而，故此时有一个零点，
当时，由已知得在上单调递减，在上单调递增，
而，故此时有一个零点，
当时，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，则在上有一个零点，
得到，
由已知得，故，当时，，
则由零点存在性定理得在上有一个零点，
故此时有两个零点，
当时，令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，则在上有一个零点，
由已知得，
同理可得，当时，，
则由零点存在性定理得在上有一个零点，
故此时有两个零点，
综上可得，当或时，有一个零点，
当且时，有两个零点.
考点09 求已知函数的值域与最值
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，下列结论中正确的是________．
①函数仅有1个零点；
②函数有极大值，也有极小值；
③函数有最小值，无最大值；
④函数的图象与直线有2个交点．
【答案】①②③
【分析】根据函数的性质，借助导数工具和函数图像，分别对函数的零点、极值、最值以及与直线的交点情况进行分析判断.
【详解】令，因为恒成立，所以，解得，即函数仅有个零点，故①正确.
对求导，则.
令，即，因为恒成立，所以，解得或.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以是极大值点，是极小值点，函数有极大值，也有极小值，故②正确.
由上述单调性分析可知，在处取得极小值，也是最小值，.
当时，，所以函数无最大值，故③正确.
，，且当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的图象与直线有3个交点，故④错误.
故答案为：①②③.

2．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数.
(1)当m＝1时，
①求的单调区间；
②求在区间上的最小值与最大值；
(2)若在区间上单调递增，求m的取值范围.
【答案】(1)①函数的单调递增区间为，单调递减区间为
②，
(2)
【分析】（1）①求出函数的导数，根据导数的正负即可得出单调区间；②由函数的单调性求闭区间上的最值即可；
（2）根据单调性，建立关于导数的不等式，分离参数求解即可.
【详解】（1），
①当时，，
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
②由①知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以.
（2）由题意，在上恒成立，
即，在上恒成立，
所以，即.
所以m的取值范围.
3．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值；
(3)若对恒成立，直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为
(2)，
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）可得在上的单调性，求出函数的极值与端点处的函数值，即可得解；
（3）结合（2）只需，即可.
【详解】（1）因为，
则，
当或时，当时，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
且，，，
故当时，，.
（3）因为对恒成立，则，
因此，实数的取值范围是.
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
【答案】(1)；
(2)极大值为，极小值为；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究单调性，即可得极值；
（3）由题设有 ，，再讨论、确定对应最大值.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以曲线在点处的切线方程，则；
（2）由（1）有，
或时，，则在、上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以函数极大值为，极小值为.
（3）在区间上， ，显然，
若，则，此时的最大值为0；
若，则，此时的最大值为.
5．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案；
（2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案；
（3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，，所以切点，
，，
所以函数在点处的切线方程为.
（2），，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，列表如下：
单调递减 单调递增
函数的最小值为.
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为.
（3）由（2）知，当时，，
①当时，令可得或，令可得，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
②当时，，
在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点.
③当时，令解得，
即在上只有一个零点，
④当时，令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点.
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上:当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为1，
当时，函数的零点个数为2.
考点10 已知函数的值域最值求参数
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案.
【详解】当时，，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，
注意到，故当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
当时，，其在上单调递增，且，
要想无最小值，需满足，即，解得，
故答案为：
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围．
【答案】(1)在和单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）求导可得，令，可求单增区间，令，可求单减区间；
（2）利用（1）的单调性，结合，，，的值，可求实数的取值范围．
【详解】（1）由，可得，
令，可得，解得或，
令，可得，解得，
所以在和单调递增，在上单调递减；
（2）因为，
又，又由（1）可知在上单调递增，
由在区间上的取值范围是，所以，
又在上单调递减，且，
又在上单调递增，且，所以，
所以实数的取值范围为．
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值.
【详解】（1）函数的定义域为，
又
令，解得 ，令，则或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间.
（2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
则，解得，
所以，又，，
所以在区间上的最小值为.
4．(22-23高二下·北京第二十五中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；
(3)若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可得出实数的取值范围；
（3）设，分析可知，函数在上单调递增，对实数的取值进行分类讨论，结合对任意的恒成立，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，，则，
所以曲线在点处切线的倾斜角为.
（2）解：函数的定义域为，
当时，，
令，可得或.
①当时，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是；
②当，即时，
若，则，此时函数在上单调递减，
当时，即，此时函数在上单调递增，
所以，在上的最小值是，不合题意；
③当，即时，对任意的时，，
则在上单调递减，
所以在上的最小值是，不合题意.
综上可得，故的取值范围为.
（3）解：设，则，
对任意、，，且恒成立，
等价于在上单调递增.
而，
①当时，，此时在单调递增；
②当时，只需在恒成立，
因为，只要，则需要，
二次函数的对称性为直线，
只需，即.
综上可得，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
5．(22-23高二下·北京朝阳区·期末)已知函数 ．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的一个极值点，求的单调递增区间；
(3)是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间；
（3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值.
【详解】（1）当时，，所以．
因为，所以．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）函数的定义域为，则，
因为是的一个极值点，所以．解得．
所以，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，是的极大值点．
此时的单调递增区间为．
（3）①当时，
因为，，
所以在区间上单调递增．
此时．
若，则，不合题意．
②当，即时，
令，解得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
此时．
若，则，符合题意．
综上，当时，在区间上的最大值为．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值问题，第（3）问解题有关键是分和讨论导数的正负，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值，考查计算能力，属于较难题.
考点11 求已知函数的零点
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知，函数，给出下列四个结论：
①对任意，函数存在唯一极值点；
②当时，函数没有零点；
③存在，使得曲线过原点的切线有且只有一条；
④当时，函数的最小值为1.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②④
【分析】对于①，求导，再次求导发现在R上单调递增，结合函数值可确定存在唯一极值点；对于②，当时，结合单调递增即，可分析函数单调性，发现确定函数没有零点；对于③，设切点，利用斜率构建关系式，转化为函数的零点个数问题，求导分析单调性可确定有2个解，故有2条这样的切线；对于④，由函数为偶函数，再分析时的单调情况可确定函数最小值.
【详解】对于①，求导，令，
，所以在R上单调递增，
又当时，，当时，，
故存在唯一极值点，故①正确；
对于②，当时，，，
由①知存在唯一的极值点，又，所以，
即在单调递减，在单调递增，
所以，故函数无零点，②正确；
对于③，因为，所以原点不在曲线上，且切点为，
则切线斜率，
整理得，令，
，，，
所以在单调递减，在单调递增，故，
又当时，，当时，，
所以有两个解，
故对任意，曲线过原点的切线有2条，故③错误；
对于④，，为偶函数，当时，，
，结合①知在R上单调递增，
所以，即在单调递增，
又为偶函数，所以在单调递减，
，故④正确；
故答案为：①②④
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①若恰有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数.，使得恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【分析】把求零点问题转化函数图象交点问题，求出导函数判断单调性并求出极值，画出图像利用数形结合判断①②③④
【详解】令，
易知，
当时，，
所以在单调递减，
当时，，
令，
所以在上单调递减；在上单调递增；
所以在取得极小值，
又，
画出和在同一坐标系下的图象如下所示：
由图可知当时，恰有2个零点，故①正确；
存在负数，当时，使得恰有1个零点；故②对；
存在负数，当时，使得恰有3个零点；故③对；
当时，使得恰有2或1或0个零点，故④错；
故答案为：①②③
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数，，给出下列四个结论：
①当时，有1个极值点；
②当时，存在极值点；
③当时，有1个零点；
④当时，存在实数，使得有3个零点．
其中所有正确结论的序号为________．
【答案】①④
【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理得到直线与曲线的关系.
【详解】对①：当时，，，
则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故对任意，有1个极大值点，故①正确；
对②：当时，，
若存在极值点，则有变号零点，则必须有解，
令，
则，
故当时，，当时， ，
故在、上单调递增，在上单调递减，
又时，，，
即恒成立，故当时，无解，故②错误；
对③：当时，，
当时，，此时函数无零点，故③错误；
对④：当时，若存在，使得有3个零点，
则直线与曲线有三个不同交点，
由直线过点，曲线过点，
又，是偶函数，且在上单调递减，
故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点，
同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点，
过点作曲线的切线，设切点为，
则切线方程为，
即，则，
由，则，即，
即，即，
故当时，存在，
使曲线有过点的切线，且切点为，
当时，切线斜率为，
则当时，有，又，
则存在，使，
此时函数单调递减，而恒成立，
故存在，使，
即当时，存在，使得有3个零点，
同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④正确.
故答案为：①④.
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：）
(3)请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)2条；1条；3条，理由见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，得解；
（2）求出函数导数，得出导函数的零点，列表可得函数单调区间及极值，再由零点存在性定理得证；
（3）设出切点，根据导数几何意义得到切线方程，将代入，得到，构造函数，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理得到根的个数，从而确定过点且与曲线相切的直线有2条，同理可得过，且与曲线相切的直线条数.
【详解】（1），
，，
所以切线方程为．
（2）．
，令，解得；
所以，x，，的关系如下表：
x
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为；
因为，所以，
因为，，
根据零点存在定理，在，，上各自存在一个零点，得证.
（3）分别有2条；1条；3条.理由如下：
，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，
因为切线过点，故，
，即，
令，
则
，，
其中令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，，，
故由零点存在性定理得在上分别存在一个零点，
故过点且与曲线相切的直线有2条；
同理，切线过点时，故，
即，
令，
故，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递减，
其中，，，
由零点存在性定理得在上存在唯一零点，
故过点且与曲线相切的直线有1条；
同理，当切线过点时，故，
即，
令，
，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，，，
，
由零点存在性定理得在，，内分别有1个零点，
故过且与曲线相切的直线有3条.
5．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，，使得；
(3)当时，求函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)当时，，此时函数有2个零点，
当时，，此时函数有1个零点，
当时，，此时函数无零点.
【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程；
（2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明；
（3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数.
【详解】（1）当，，则，
，
即曲线在点处的切线方程为.
（2）证明：当时，，
令，解得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
即当时，，使得，
（3）由（2）知，
令，则，
即，，
所以，，
令，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又，
所以的解为，的解为，
即当时，，此时函数有2个零点，
当时，，此时函数有1个零点，
当时，，此时函数无零点.
考点12 已知函数的零点求参数
1．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数与的图象有且只有两个公共点，则（ ）
A． B． C．或 D．以上答案均不是
【答案】C
【分析】由可得，令，则直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的值.
【详解】由可得，即，
令，其中，则，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的极大值为，极小值为，
由题意可知，直线与函数的图象有两个公共点，如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点.
综上所述，或.
故选：C.
2．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果.
【详解】
当时，，则．
由得，所以在上单调递减；
由得，所以在上单调递增．
当时，，当时，，
当时，，
当时，取得极小值，．
又当时，，所以函数的大致图象如图．
由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数b的取值范围是，
故选：D．
3．(24-25高二下·北京通州区·期中)若函数恰有两个零点，则满足条件的一组的值可以是__________.
【答案】（答案不唯一，满足或，且即可）
【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性，结合单调性分析零点即可.
【详解】因为的定义域为，且
若，则，可知在定义域内单调递增，
则至多有1个零点，不合题意；
若，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且当x趋近于时， x趋近于；当x趋近于时， x趋近于；
若函数恰有两个零点，则或，
即或；
综上所述：或，且，例如.
故答案为：（答案不唯一，满足或，且即可）.
4．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，
(3)若有三个零点，写出的范围（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意得到求解即可；
（2）通过二次求导，确定函数单调性即可求证；
（3）求导，确定导数为0的点，通过单调性，极值的正负，进而可求解.
【详解】（1）
由题意可得：，
即，
所以
（2）由（1），
求导可到，
令，则，
易知当时，恒成立，
即在单调递增，又，
所以恒成立，
所以在单调递增，又，
所以，得证；
（3）有三个零点，
需满足有两个变号零点，
令，
即，
构造函数，求导可得：，
易知当时，，此时在单调递增，
当时，，此时在单调递减，
在取得最小值，
且当时，，且，
当时，，
函数图像如下：
所以即有两根，
需满足，即，
设两根为，由图可知，
当时，，当，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以极大值，极小值，
所以当，函数存在三个零点.
5．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)在区间上有两个零点，求m的范围.
【答案】(1)
(2)单调递增区间，，单调递减区间.
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程.
（2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间.
（3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围.
【详解】（1）因为，所以.
又 ，所以.
所以在处的切线方程为：即.
（2）因为.
由 或；由 .
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增.
且，，.
所以在区间上有两个零点，即在上有两个解，
可得.
即的取值范围为：
考点13 函数与不等式
1．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造，利用导数研究其单调性，结合充分条件与必要条件的定义即可求解.
【详解】设，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
若，且在上单调递增，
则，即，故充分性成立，
若，即，则或，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)设函数，则下列选项错误的是（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，，
当时，，当或时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
故是函数的极小值点，A正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误；
对C，当时，，
而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，C正确；
对D，当时，
，
所以，D正确；
故选：B.
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值.
【详解】由，都有,
转化为，
构造在上单调递减，
求导在上恒成立，
则，解得,
故，即的最小值为.
故选：D.
4．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知函数，则的定义域为______，不等式的解集为______.
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求解即可；结合导数的运算法则求解不等式即可.
【详解】由，解得且，
所以函数的定义域为；
由，，得，
由，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：；.
5．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)若，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】由不等式构造函数，根据可导函数取极值的必要条件，结合圆与直线的位置关系，可得答案.
【详解】由，则，
令，易知，
由，则函数在处取得极小值，
由，则，
所以点在直线上，而可表示为点到原点的距离的平方，
故易知的最小值为原点到直线的距离的平方，即.
故答案为：.
考点14 不等式恒成立有解问题
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知，，则下列说法正确的有___________．
①的值域为； ②时，恒有极值点；
③恒有零点； ④对于，恒成立．
【答案】②③④
【分析】设，通过函数求导可推得，即可判断①；由函数的单调性分析易得为函数的极值点，判断②；利用函数与方程思想，判断有实根即可，可根据参数和分类讨论，结合函数的图象判断与有交点得到③；由，换元后构造，利用其单调性即可判断④.
【详解】设，则即，则，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，即得，
即的值域不是，故①错误；
由①可知，时，是的极值点，故②正确；
若有零点，则有实根.
当时，与恒有交点；
当时，由①知，，
且在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数与在第三象限有交点；
当时，函数与在第四象限有交点，
故与恒有交点，故③正确；
因，设，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故，
即恒成立，故④正确.
综上可得，说法正确的有②③④.
故答案为：②③④.
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)已知函数．
(1)当时，求过点的切线方程．
(2)求的单调区间．
(3)若，使成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(3)或.
【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程；（2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断；（3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况.
【详解】（1）当时，，对求导得.
设切点为，则切线斜率.
根据点斜式方程可得切线方程为.
因为切线过点，所以将代入切线方程得：
，即
因为恒成立，所以，解得.
则切线斜率，切线方程为.
（2）对求导得.
当时，，所以在上单调递减.
当时，令，即，，，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）在有解，即当时，，
当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得.
此时，，
所以或，得或 （与矛盾舍去）.
当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得.
此时，
所以，得.
综合两种情况，可得的取值范围为或.
3．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数切线方程为
(1)求切点坐标；
(2)若对任意，都有恒成立，求最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义得到，即可求出，从而求出切点坐标；
（2）令，，依题意即对任意的恒成立，分、、三种情况讨， 结合函数的单调性，求出的取值范围，即可得解.
.
【详解】（1）设切点为，由，则，所以，
依题意，解得，
所以切点为；
（2）令，，依题意即对任意的恒成立，
当时恒成立，符合题意；
当时，，
当时恒成立，
所以在上单调递增，时，，所以，不符合题意；
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即，解得；
综上可得，则最大值为.
4．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)设实数使得对恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)3
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由（1）知，，，求导，设，，利用导数分析其单调性，可得，进而求证即可；
（3）令，分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）由，则，
又，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，，，
所以，
令，，
则，
设，，
则
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，
则当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
又，，
所以恒成立，则，
即，所以是上的单调递减函数.
（3）令，
则，
由（2）知，在上单调递减，且，.
当时，若，则，此时函数在上单调递减，
所以满足题意；
若，则，，则，
所以，满足题意；
当时，若，则存在，使得，
则时，，函数单调递增，
此时，不满足题意，即对于，不满足题意；
当时，若，则，此时函数在上单调递增，
则，不满足题意，即对于，不满足题意.
综上所述，，则的最小值为3.
5．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间，
(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）结合（2）分、、三种情况说明在上的单调性，再由，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，则，，
所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；
（2）函数的定义域为，又，
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时（当且仅当时取等号），
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
综上可得：
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（3）由（2）可知，当时在上单调递增，，
所以当，恒成立，符合题意；
当时，
若，即时在上单调递增，，
所以当，恒成立，符合题意；
若，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，不符合题意；
综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为.
考点15 不等式证明问题
1．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)已知函数.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)若有极大值
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】(1)；
(2)和；
(3)（i）答案见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）当时，求得，判断导函数的正负，进而求得其单调性，再求极小值即可；
（2）时，可得，也即的两根的大小是确定的，进而确定在不同区间，导函数函数值的正负，从而求得函数的单调增区间；
（3）（i）对参数进行分类讨论，在时，分别求得其单调性，进而判断是否满足题意，从而求得参数范围；
（i）根据（i）中的求解的参数范围，在时，求得极大值，直接判断其与的大小即可；
当时，求得,再构造函数，判断其单调性，求得最小值，即可判断其与的大小关系，进而实现证明.
【详解】（1）由题意知.
若，则，所以.
令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于.
（2）因为，所以，
由，即，解得或，
所以在和单调递增；
由，即，
解得，所以在单调递减；
故的单调增区间为和.
（3）（i）当时，由（2）知，在和单调递增，在单调递减，
此时有极大值为；
当时， 恒成立，故在上单调递增，没有极大值；
当时，，令 ，解得或，
令 ，解得，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
此时，有极大值；
当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，没有极大值；
综上所述，若有极大值，则；
（ii）证明：当时，由上述分析可知，；
当时，；
令，所以，
在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，综上所述，.
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)证明：是曲线与曲线存在唯一交点的充要条件；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导得出单调性可证明充分性成立，构造函数并证明该函数有唯一零点，即可得出必要性成立，可证明出结论；
（2）根据（1）中的结论可得，再由对数运算法则计算可得结果.
【详解】（1）充分性：
当时，记，.
当时单调递减，
当时单调递增，
在处函数有极小值也是最小值，即，
所以在上有唯一的一个零点.
故曲线与曲线存在唯一交点.
必要性：
曲线与曲线存在唯一交点等价于方程在上有唯一解，即有唯一解.
记，
当时单调递减，
故当时单调递增，
在处有极小值也是最小值，
，故.
令，则，
当时，单调递增，
故当时，单调递减，
故，
所以存在唯一解，所以有唯一解.
综上，是曲线与曲线存在唯一交点的充要条件.
（2）由（1）知，，
令，则，
故，
故，
.
【点睛】方法点睛：在证明充要条件时，要将充分性和必要性证明分别成立即可，此题的关键还在于将函数图象交点问题转化为函数零点或方程根的问题进行求解即可.
3．(24-25高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为函数的极值点，求实数a的值；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，分析和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）根据题意，得到，求得，再结合函数极值与极值点的定义，即可求解；
（3）设，求得，结合零点的存在性定理，可得存在唯一，使，且，得出的单调性，求得，得到，结合，即可得证.
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上可得：
当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：因为是函数的极值点，可得，解得，
若时，，则，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，所以.
（3）解：设，
则，
因为，因为，，
所以存在唯一，使，且，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以当时，，
又由，所以当时，.
4．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；
（2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解.
【详解】（1）因为，由题知，所以的值为.
（2）易知定义域为，因为，
令，则，
当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增，
当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增，
当，即时，由，得到 ，
①时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
②时，，此时时，，时，，
在上单调递增，在单调递减上.
综上，当时，在区间上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在单调递减上.
（3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且，
要证，即证，
又
，
即证，即证在区间上恒成立，
令，则，
令，则在恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以时，，
则在区间上单调递减，
所以，即当时，
又，所以当时，，故命题得证.
5．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设，函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)求证：当时，不等式在区间上恒成立；
(3)时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)可能，理由见解析
【分析】（1）先设，求其导数，再根据取值不同，分析正负，从而确定单调区间.
（2）当时，设，求导数，判断上正负，确定单调性，求出最小值，若最小值大于等于，则不等式恒成立.
（3）假设是切线，设出切点，根据切线斜率和切点在切线上、曲线上列方程，求解方程，若有解则可能是切线.
【详解】（1）设，其定义域为.
对求导得：
.
当时，.
令，即，因为，所以，解得；
令，解得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，.
令，即，解得或；
令，解得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，设，.
对求导得：.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，.
.
所以，即，所以在区间上恒成立.
（3）假设直线是曲线的切线，设切点为.
，则切线斜率 ①，
且 ②.
由①得，即，解得或.
当时，代入②得，符合题意，
所以当时，直线有可能为曲线的切线.
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专题02一元函数的导数及其应用
15大高频考点概览
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
考点02 极限问题
考点03 导数求值
考点04 导数的切线方程
考点05 求已知函数的单调性
考点06 已知函数的单调性求参数
考点07 求已知函数的极值
考点08 已知函数的极值求参数
考点09 求已知函数的值域与最值
考点10 已知函数的值域最值求参数
考点11 求已知函数的零点
考点12 已知函数的零点求参数
考点13 函数与不等式
考点14 不等式恒成立有解问题
考点15 不等式证明问题
考点01 基本初等函数与复合函数的导数
1．(24-25高二上·浙江宁波九校·期末)下列求导正确的（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)函数的导数（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知函数，则________．
考点02 极限问题
1．(24-25高二下·北京大兴区·期中)若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
3．(24-25高二下·北京育英学校·期中)设在处可导，且，则等于（ ）
A．6 B． C． D．2
4．(23-24高二下·北京育英学校·期中)设函数的导函数为，若，则______．
5．(22-23高二下·北京丰台区·期中)如图，直线是曲线在点处的切线，则________．

考点03 导数求值
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)下列函数中，在处的导数值为1的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．(22-23高二下·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．-1
4．(24-25高二下·北京第一七一中学·期中)已知函数，则_____．
5．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知，则当时的导数值=______.
考点04 导数的切线方程
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)函数的图像关于原点对称，且在其点处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为________．
4．(23-24高二下·北京通州区·期中)已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为______.
5．(24-25高二下·北京师范大学第二附属中学未来科学城学校·期中)已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．
考点05 求已知函数的单调性
1．(24-25高二下·北京第五中学·期中)下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间内单调递增；
(3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围．
3．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)已知函数，求：
(1)函数的图象在点处的切线方程；
(2)求的单调递增区间．
4．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)已知函数 ，其中为常数，且.
(1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围.
5．(21-22高二下·北京第五中学·期中)已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
考点06 已知函数的单调性求参数
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知函数，则“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C． D．1
3．(24-25高二下·北京景山学校·期中)已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)设，若的单调减区间为，则______，______.
5．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数，，其中实数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：若且，都有．
考点07 求已知函数的极值
1．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值点和极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
2．(24-25高二下·北京第十四中学·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
3．(23-24高二下·北京朝阳区北京中学·期中)已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)指出极值点的个数，并说明理由.
4．(23-24高二下·北京建华实验亦庄学校·期中)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，判断零点个数，并说明理由．
5．(24-25高二上·广东深圳外国语学校高中园·期末)已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
考点08 已知函数的极值求参数
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)若函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)“”是函数“存在极大值和极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若函数在处取得极小值，求实数，的值；
(2)求在上的值域；
(3)已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数．
4．(24-25高二下·北京第二十二中学·期中)已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，直接写出的取值范围（无需解答过程）.
5．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数．
(1)若在处有极值，求的值；
(2)当时总是在轴上方，求的取值范围；
(3)写出的零点个数（结论不要求证明）．
考点09 求已知函数的值域与最值
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，下列结论中正确的是________．
①函数仅有1个零点；
②函数有极大值，也有极小值；
③函数有最小值，无最大值；
④函数的图象与直线有2个交点．
2．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数.
(1)当m＝1时，
①求的单调区间；
②求在区间上的最小值与最大值；
(2)若在区间上单调递增，求m的取值范围.
3．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值；
(3)若对恒成立，直接写出实数的取值范围.
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
5．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明）
考点10 已知函数的值域最值求参数
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________．
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围．
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
4．(22-23高二下·北京第二十五中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；
(3)若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.
5．(22-23高二下·北京朝阳区·期末)已知函数 ．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的一个极值点，求的单调递增区间；
(3)是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
考点11 求已知函数的零点
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知，函数，给出下列四个结论：
①对任意，函数存在唯一极值点；
②当时，函数没有零点；
③存在，使得曲线过原点的切线有且只有一条；
④当时，函数的最小值为1.
其中所有正确结论的序号是______.
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数，给出下列四个结论：
①若恰有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数.，使得恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数，，给出下列四个结论：
①当时，有1个极值点；
②当时，存在极值点；
③当时，有1个零点；
④当时，存在实数，使得有3个零点．
其中所有正确结论的序号为________．
4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：）
(3)请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案）
5．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，，使得；
(3)当时，求函数的零点个数.
考点12 已知函数的零点求参数
1．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)函数与的图象有且只有两个公共点，则（ ）
A． B． C．或 D．以上答案均不是
2．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·北京通州区·期中)若函数恰有两个零点，则满足条件的一组的值可以是__________.
4．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)设函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，
(3)若有三个零点，写出的范围（直接写出结果）
5．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)在区间上有两个零点，求m的范围.
考点13 函数与不等式
1．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(24-25高二下·北京第五十七中学·期中)设函数，则下列选项错误的是（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)已知函数，则的定义域为______，不等式的解集为______.
5．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)若，则的最小值为______．
考点14 不等式恒成立有解问题
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)已知，，则下列说法正确的有___________．
①的值域为； ②时，恒有极值点；
③恒有零点； ④对于，恒成立．
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)已知函数．
(1)当时，求过点的切线方程．
(2)求的单调区间．
(3)若，使成立，求a的取值范围．
3．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)已知函数切线方程为
(1)求切点坐标；
(2)若对任意，都有恒成立，求最大值．
4．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)设实数使得对恒成立，求的最小值.
5．(24-25高二下·北京师范大学附属中学·期中)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间，
(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
考点15 不等式证明问题
1．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)已知函数.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)若有极大值
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
2．(24-25高二下·北京通州区·期中)已知函数.
(1)证明：是曲线与曲线存在唯一交点的充要条件；
(2)证明：当时，.
3．(24-25高二下·北京陈经纶中学·期中)已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为函数的极值点，求实数a的值；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，.
4．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
5．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)设，函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)求证：当时，不等式在区间上恒成立；
(3)时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由.
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