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专题03 导数及其简单应用
5大高频考点概览
考点01 导数的概念及几何意义
考点02 利用导数判断函数的单调性
考点03导数与函数图像问题
考点04 极值和最值问题
考点05 不等式和恒成立问题
一、单选题
1．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据导数的定义结合题意求解即可.
【详解】因为函数在处可导，且，
所以.
故选：B
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案.
【详解】因为，所以，
则
故选：D
3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)设函数在处可导，且，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因，故-3，由导数的定义可得，所以，应选答案C．
4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)设，若，则（ ）
A． B． C．1 D．In2
【答案】C
【分析】对函数求导，由将代入，即可求得.
【详解】函数，，则，
又，即，解得.
故选：C.
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即可得到时，的正负，然后对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由是奇函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是偶函数，
又当时，，所以时，，
由是偶函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是奇函数，
当时，，当时，，
对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，故A错误；
对于B，当时，，则，故B正确；
对于C，由时，，可得，故C错误；
对于D，由时，，可得，故D错误；
故选：B
6．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
【答案】D
【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.
【详解】解：因为，
所以，由，解得或（舍去），
所以切点为，
因为切点在切线上，解得，
所以切线方程为，
，设切点为，
由题意得，解得，
所以，
故选：D
7．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A． B．2 C．-4 D．4
【答案】D
【分析】求得函数在处的切线的斜率，由此求得的值.
【详解】，依题意有.
故选：D
【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题.
8．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
9．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】利用导数的求导法则得出，利用可求出值，再求函数值即可.
【详解】由求导，得，
则，得，则，
所以.
故选：D.
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知（ ）
A．0 B．2x C．6 D．9
【答案】B
【分析】由基本导数公式可得答案.
【详解】因，则.
故选：B
11．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)曲线与曲线的公切线的斜率为（ ）
A．或 B．e或 C．1或e D．1或
【答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义分别为求切线方程，进而列式求解即可.
【详解】对于，则，
设切点为，则切线斜率，
可得切线方程为，即；
对于，则，
设切点为，则切线斜率，
可得切线方程为，即；
由题意可得，
由可得，
则，整理可得，解得或，
所以公切线斜率为或.
故选：B.
12．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-5
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论.
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以.
故选：D.
13．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可.
【详解】，
故选：C.
14．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知曲线在点处切线的斜率为8，
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】y′=4x3+2ax
由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,
∴a=-6.故选D.
二、多选题
15．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据导数运算法则及复合函数导数的求法逐项判断可得结果.
【详解】令，，
因为，，所以，故A正确；
因为为常数，所以，故B错误；
令，，
因为，，所以，故C正确；
因为，所以 ，故D错误.
故选：AC.
16．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】CD
【分析】利用求导公式求导，逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，，则，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，由，得，D正确.
故选：CD
17．(24-25高二下·江西萍乡·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
令，则，又，，
则，故D正确.
故选：BD.
18．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知，则下列函数在处的导数值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据导数计算公式，即可求解.
【详解】对于A，设，，，故A正确；
对于B，设，，，故B正确；
对于C，设，，
所以，故C错误；
对于D，设，，
所以，故D正确.
故选：ABD
19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】BD
【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
三、填空题
20．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，则=__________.
【答案】
【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解.
【详解】，
则，得，
所以，
故.
故答案为：
21．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解.
【详解】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
22．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________；
【答案】
【分析】先根据题中给出的结论确定函数的对称中心，再结合函数的对称性求值.
【详解】因为，所以，.
由 .
又，所以点是函数的拐点，也就是函数的对称中心.
所以，
所以，，…，，，
所以 .
故答案为：
单选题
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】B
【分析】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，.
所以对函数求导得：.
令，则，解得.
又，所以.
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】令，则，
当时，，则单调递增，所以，
即，则；
令，则，当时，，单调递增，
所以，即，即．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案.
【详解】由题意得在R上单调递增，
在上单调递增，
又，，故，
，，故，
，故，
故.
故选：B
4．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可.
【详解】因为函数，所以，
又函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上，，则.
当时，不恒为零，也符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意， ，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，可得，
当
所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点，
结合图象可得实数的取值范围.
故选：B.
6．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为，又，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B
7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，即可求得最小值，再求出函数在的端点处的函数值，比较大小，可求得最大值，进而得出函数的值域.
【详解】由求导，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
又，
所以函数在上的最大值为，
因此函数在上的值域是.
故选：C
8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，令，解不等式即可.
【详解】，定义域为，，
令，解得.
故答案为：D
9．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值．
【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.
故选：B.
多选题
10．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．当，时，函数在定义域上单调递减
C．若，且，a的最小值是
D．曲线是中心对称图形
【答案】ACD
【分析】利用对数的性质求函数的定义域，结合对数复合函数的单调性判断的单调性，对求导，问题化为在上恒成立求参数最小值，依次判断A、B、C；由判断D.
【详解】由解析式，即定义域为，A对；
若，，则，
而在上单调递增，且在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，B错；
若，则，故，
由，即在上恒成立，
而时取得最大值为，即，C对；
由，
所以，即关于中心对称，D对.
故选：ACD
填空题
11．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围.
【详解】由题可得，函数最多只有一个零点.
若零点存在，则，解得，
又由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且当时，，
所以最多有两个零点.
因为有三个零点，所以有两个零点，
则，
解得，所以实数的取值范围为.
综上可得：实数的取值范围为.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象.
【详解】由的图象可得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增.
则仅有选项C符合以上要求.
故选：C
2．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图可知f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x＞0和x＞0时，导函数均为负，从而可得答案
【详解】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，
∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
故选：D
3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求导得到，根据奇偶性排除，特殊值计算排除得到答案.
【详解】，则，则函数为奇函数，排除；
，排除；
故选：.
【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.
4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
5．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断．
【详解】解：因为，所以，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，
当时，，故排除C，
，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；
故选：．
6．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)如图，直线l是曲线在点处的切线，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据图可得直线l的斜率，结合导数的几何意义即可得结果.
【详解】由图可知：直线l过点和，则直线l的斜率，
由导数的几何意义可得.
故选：D.
7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可排除A、D；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论.
【详解】因为，故排除A、D；
令
在是减函数,
在是增函数,
存在，使得
单调递减，
单调递增,
所以选项B错误，选项C正确.
故选：C.
二、多选题
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递减 B．有极小值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
【答案】ABC
【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.
【详解】由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
【答案】ABD
【分析】根据导函数的图象判断的符号，进而确定的区间单调性和极值，即可得答案.
【详解】由图知：在区间上，即递增；
在区间上，即递减；
所以、处取极大值，处取极小值，
综上，A、B、D错，C对.
故选：ABD
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
【答案】AD
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
11．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．是的极小值点
D．是的极小值点
【答案】AC
【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解.
【详解】由图可知：当时，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误；
又由图可知，且在左边导数，
所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确.
故选：AC
一、单选题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，
∴.
故选：C.
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解.
【详解】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选：C.
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果.
【详解】，，
∴或，
当时，，
令，得或；令，得；
从而在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，不合题意，
当时，经检验，满足题意；
综上，.
故选：C
二、多选题
4．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增．
B．在上两个零点
C．当 时，恒成立，则
D．若函数只有一个极值点，则实数
【答案】ACD
【分析】求出导函数，由确定增区间，判断A，然后可得，再利用导数确定的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B，构造函数，由在上递减，求得范围，判断C，利用导数研究的单调性与极值点，得的范围，判断D．
【详解】，令，
得，故A正确
，
，令得，得，
故在上为减函数，在上为增函数．
当时，；当时，且
的大致图象为
只有一个零点，故B错．
记，则在上为减函数，
对恒成立
对恒成立
．
故C正确．
，
，设，
只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．
，
在上为增函数，令，得，
当时，；当时，．
在上为减函数，在上为增函数，
，
时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：
直线与它只有一个交点，则．故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可．
【详解】已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
若函数在区间内有最小值，
此时，解得，
当，即时，
整理得，解得或，
所以，
综上，满足条件的取值范围为，．
故选：CD．
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
【答案】ABC
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可.
【详解】对于A，，令，得或，有“巧值点”；
对于B，，令，得，有“巧值点”；
对于C，，令，作出与的图象，如图，
结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；
对于D，，令，无解，无“巧值点”.
故选：ABC.
8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若在上单调递增，则
C．若，则恒成立
D．若在上恒成立，则
【答案】AD
【分析】利用导数结合极值点求出判断A；利用导数结合单调性求出的范围判断B；利用函数最小值判断C；利用恒成立的不等式求出的范围判断D.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，由是函数的极值点，得，解得，
此时，显然是在上的变号零点，因此，A正确；
对于B，在上单调递增，则，，
而函数在上单调递增，恒成立，因此，B错误；
对于C，由，得，，，
当时，，递减，当时，，递增，
因此，而，C错误；
对于D，，，
令，求导得，当且仅当取等号，
因此函数在上单调递增，，所以，D正确.
故选：AD
三、填空题
9．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解
【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，
又，令，则有两个不同的实数根，
令，则，
令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.
且当时，当时，且，，
故作出图象.
可得当有两根时
故答案为：
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的极值点为，则实数__________.
【答案】
【分析】先求导函数，利用极值条件求得的值.
【详解】，，得，
此时.
当时，在上单调递减；
时，，在上单调递增.
所以在处取得极小值，符合题意.
故答案为：.
11．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数在处取得极值，则实数的值为______．
【答案】
【分析】由函数可导，则在极值点处导函数为，可得，即可得解.
【详解】由，
可得，
所以.
故答案为：
一、单选题
1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式.
【详解】由可得，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
且，
由可得，
即，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
2．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解.
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
3．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求导，令解不等式即可，注意函数定义域.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为
A．（-∞，1-e] B．（-∞，-3] C．（-∞，-2] D．（-∞，2- e2]
【答案】B
【解析】化简得到，根据化简得到答案.
【详解】根据题意：.
设，则，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.
根据，，故.
故选：.
【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.
5．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】令，
对任意的、，当时，都有，
即，即，
所以，函数在上为减函数，且，
参变分离可得，令，其中，则，
由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，故，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
6．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
又数列满足，
所以，，即，
即，解得.
故选：C.
二、多选题
7．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，直线，则下列说法不正确的有（ ）
A．
B．若有两个不等实根，则
C．若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为
D．当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方
【答案】ABC
【分析】求导函数由单调性即可判断AB，结合函数图象可得即可判断C，利用相切时的切线斜率即可判断D.
【详解】，故当时，，此时单调递减，
当时，,此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，
故，又，，
画出的大致图象如图：
对于A，由于在上单调递减，故，故A不正确，
对于B，若有两个不等实根，则，故B不正确，
对于C，由于直线恒过定点，
若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方,则只有2个整数解，
结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故解得，
故C不正确，
对于D，当直线与相切于第一象限时，设切点为，
所以切点为的切线方程为，在切线上，
此时，故，
故切点处的横坐标为，故当，
当时，即，此时，在y轴右侧直线恒在曲线上方，正确.
故选：ABC
三、填空题
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可.
【详解】由题意，原不等式可变形为，
即，设，则当时，恒成立，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，则，所以，，
因为在上单调递增，
所以要使，只需， 在上恒成立，取对数，得，
因为，所以．令，，因为，
所以在上单调递增，所以，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构思想得到， 在上恒成立，再分离参数，利用导数求出最值即可.
9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)若不等式有解，则实数的取值范围为___________.
【答案】.
【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果.
【详解】由不等式有解，可得，
令，
则，
令，解得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
且，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：.
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据已知条件化简，再构造函数设，结合函数单调性得出函数最值即可求参.
【详解】由，得，由，得，
设，则，
设，则，
知在上单调递增，且，
则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
又，
所以当时，，则在上单调递减，
所以，所以.
故答案为：.
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专题03 导数及其简单应用
5大高频考点概览
考点01 导数的概念及几何意义
考点02 利用导数判断函数的单调性
考点03导数与函数图像问题
考点04 极值和最值问题
考点05 不等式和恒成立问题
一、单选题
1．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．1
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)设函数在处可导，且，则等于
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)设，若，则（ ）
A． B． C．1 D．In2
5．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
7．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)若函数在处的切线与直线垂直，则实数的值是（ ）
A． B．2 C．-4 D．4
8．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
9．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知，若，则（ ）
A． B． C． D．1
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知（ ）
A．0 B．2x C．6 D．9
11．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)曲线与曲线的公切线的斜率为（ ）
A．或 B．e或 C．1或e D．1或
12．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-5
13．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
14．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知曲线在点处切线的斜率为8，
A． B． C． D．
二、多选题
15．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
17．(24-25高二下·江西萍乡·期中)下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知，则下列函数在处的导数值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
19．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
三、填空题
20．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，则=__________.
21．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.
22．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________；
单选题
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
2．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高二下·江西萍乡·期中)函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题
10．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．当，时，函数在定义域上单调递减
C．若，且，a的最小值是
D．曲线是中心对称图形
填空题
11．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______.
一、单选题
1．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
B．
C． D．
2．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
5．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)如图，直线l是曲线在点处的切线，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递减 B．有极小值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
9．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（ ）
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
11．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．是的极小值点
D．是的极小值点
一、单选题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
二、多选题
4．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增．
B．在上两个零点
C．当 时，恒成立，则
D．若函数只有一个极值点，则实数
5．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
7．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若在上单调递增，则
C．若，则恒成立
D．若在上恒成立，则
三、填空题
9．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．
10．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)函数的极值点为，则实数__________.
11．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)函数在处取得极值，则实数的值为______．
一、单选题
1．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为
A．（-∞，1-e] B．（-∞，-3] C．（-∞，-2] D．（-∞，2- e2]
5．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，直线，则下列说法不正确的有（ ）
A．
B．若有两个不等实根，则
C．若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为
D．当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方
三、填空题
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________．
9．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)若不等式有解，则实数的取值范围为___________.
10．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
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