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专题03 导数及其应用小题综合
7大高频考点概览
考点01导数的基本计算
考点02导数的几何意义（切线方程）
考点03导数与函数的单调性
考点04构造函数比较大小（一）
考点05构造函数比较大小（二）
考点06利用导数研究恒成立与能成立问题
考点07利用导数研究零点与方程的根
(
考点01
导数的基本计算
)
一、单选题
1．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)如果函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】根据导数的定义运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
2．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.
【详解】由，则，
.
故选：C.
3．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)设是可导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用导数的定义来求解即可.
【详解】由可得：，
因为，所以，
故选： A．
4．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数的定义即可求解.
【详解】，
故选：D.
5．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知且，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用基本初等函数的求导公式计算，再利用导数的定义将目标化简为即可.
【详解】由，得，则，
故.
故选：C
6．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选：C
7．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，则在处的切线斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】对函数进行求导，将代入结合导数的几何意义即可得结果.
【详解】由得，
所以，即，
所以在处的切线斜率为，
故选：B.
8．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出瞬时速度.
【详解】函数，求导得，
所以质点在时的瞬时速度为.
故选：C
9．(24-25高二下·安徽滁州·期中)在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解.
【详解】因为，所以，令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为.
故选：C.
10．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数减法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误.
故选：B.
11．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求导，计算，最后计算即可.
【详解】由有，
所以，
所以，
故选：A.
12．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数的求导逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C.
13．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：B
14．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的导数关系可判断AB选项；利用导数的运算法则可判断C选项；利用复合函数的求导法则结合导数的运算法则可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
15．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)下列函数的求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数求导法则，逐项求导判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：C
(
考点02
导数的几何意义（切线方程）
)
单选题
16．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)6．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件和复合函数的导数公式，求，以及，再根据到底几何意义写出切线方程.
【详解】令，则，得，
，，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：B
17．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可.
【详解】因为，所以，
所以在点处，所以在点处的切线方程为，
所以切线方程为.
故选：A.
18．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)8．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求；
【详解】，
则斜率，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
19．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)9．若直线与曲线相切，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可.
【详解】设切点为，由可得，则，
所以，解得，即.
.故选：D.
20．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可.
【详解】设切点坐标为，求导得，
依题意，，即，解得或，
则切点坐标为或，切线与直线的距离即切点到该直线距离，
当切点为时，，
当切点为时，，
由，即点到直线的距离最大.
故选：D
21．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解.
【详解】由，
可得：，
即，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，
故选：B
22．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可.
【详解】因为，所以，
令，得到，解得，
代回原函数得到，
而，故切点为，
而，，
设曲线在处的切线斜率为，
由导数的几何意义得，
故切线方程为，化简得，
令，得到，所以与轴交点为，
令，得到，所以与轴交点为，
且设三角形面积为，故，故B正确.
故选：B
多选题
23．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．直线上存在满足要求的点 D．直线上存在满足要求的点
【答案】BD
【分析】由题意将问题转化为过点的切线方程存在3个切点，根据选项，列式求解.
【详解】A.，则，设切点，，
所以切线方程为，切线过点，
所以，则，则，此时只有唯一切点，所以过点的切线只有1条，不满足条件，故A错误；
B.若点，在由A可知，，整理为
，设，，
得或，当，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
所以函数的极大值是，极小值是，
所以与轴有3个交点，即方程有3个实数根，即有个切点，所以过点的切线有3条，满足条件，故B正确；
C. 设，则，整理为
，得，设，，所以单调递增，
则与只有1个交点，即方程只有1个实数根，即只有1个切点，1条切线，所以直线上不存在满足要求的点，故C错误；
D. 设，则，整理为
，得，，设，，
得或，
，得或，
，得，或或，
所以函数的增区间是和，
减区间是和 和
如图画出函数的图象，由图象可知，与存在3个交点，即方程存在3个实数根，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由切线个数转化为切点个数，即转化为方程实数根问题.
填空题
24．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数在点处的切线方程为，则_____.
【答案】3
【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解.
【详解】∵，∴，.
∵函数在点处的切线方程为，
∴，，
解得，，∴.
故答案：.
25．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知，求在处的切线方程：______．
【答案】
【分析】对函数求导得，令，可求得，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
令，则，解得，
所以，
所以在处的切线方程的斜率为，
又，
所以切线方程为：，即或.
故答案为：
26．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知直线与曲线相切，则__________
【答案】
【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为，
因为，则，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入可得，解得，
所以.
故答案为：.
27．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为_______．
【答案】
【分析】利用赋值法令，可得，结合为偶函数可得，由，令可得，由为偶函数可得，再由直线的点斜式方程可得结果.
【详解】因为，所以，即，
令，有，所以，
因为为偶函数，所以，
由，令得，所以，
因为为偶函数，所以，
所以在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
(
考点03
导数与函数的单调性
)
28．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，可得在恒成立，参变分离，结合函数单调性分析求解即可．
【详解】因为，
由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立，
又因为在内单调递减，
可得，可得，
所以a的范围为.
故选：D．
29．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可知的符号，故可得的解集.
【详解】由图可知当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：A
30．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，，则的最大值为______.
【答案】
【分析】对函数进行求导，判断出单调性即可求出最值.
【详解】因为，所以，，
令得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以的最大值为，
故答案为：.
31．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数在区间单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在上恒成立，再根据分离参数求最值即可求出．
【详解】因为，定义域为，
所以，
则函数在区间上单调递增，
即在上恒成立，
又，所以问题转化为在上恒成立，
设，
则，
所以在上单调递增，
则，
故，即，
所以的最小值为：.
故选：A.
32．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式.
【详解】由可得，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
且，
由可得，
即，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
33．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解.
【详解】由得，
由函数单调递减可得恒成立，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B
34．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)函数在上单调递增的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果.
【详解】由题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，有极大值，即最大值，，
所以.
故选：A
35．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知在上是增函数，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】求出函数的导数，再利用给定的单调区间建立恒成立的不等式求解.
【详解】函数，求导得，
由函数在上是增函数，得，，
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此，而，解得，
所以的最小值是.
故答案为：
(
考点04
构造函数比较大小（一）
)
36．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论.
【详解】由可得，
令函数，
可得即在上单调递减，
因此可得，即，所以.
故选：B
37．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)（多选）已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果．
【详解】设，则，
因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增；
因为，所以，则，所以A错误；
因为，所以，则，所以B正确；
因为，所以，则，所以C正确；
因为，所以，则，所以D错误；
故选：BC．
38．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答.
【详解】令函数，而函数是偶函数，则，
即函数是奇函数，当时，求导得，
即函数在上递增，则在上递增，
因为，所以，即，
所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.
故选：D.
(
考点05
构造函数比较大小（二）
)
单选题
39．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意设立函数，利用导函数得到函数单调性，通过比较函数值的大小逐项判断即可.
【详解】设函数，则，
当时，单调递增；当时，单调递减.
对于A，因为，所以，即，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，即，
所以，故B正确；
对于C，设函数，则，等于0不恒成立，
故是R上的增函数，
因为，所以，即，故C正确；
对于D，设函数，则，等于0不恒成立，
故是R上的增函数，
因为，所以，即，故D错误.
故选：D.
40．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可.
【详解】，，
，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，即，
所以在单调递减，因为，所以，
即，所以.
故选：D
41．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性可得，构造函数，利用导数可得时，函数单调递减，进而有可得，即得.
【详解】因，故，故，
设，则，
令得，故当时，，
即函数在区间上单调递减，
因，故，
得，即，故，
故选：D
(
考点0
6
利用导数研究恒成立与能成立问题
)
单选题
42．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若在上恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】分参得到，进而求得的最大值，即可求解.
【详解】由得，所以在上恒成立，
构造，
求得可得：，
由可得：，由，可得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得最大值为，所以，
故的最小值为，
故选：D.
多选题
43．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】CD
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，参变分离后结合余弦函数的性质即可得k的取值范围，从而得所求．
【详解】定义在上的函数满足，则为奇函数，
所以，所以，
则当时，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
所以在上递增，
不等式转化为：，
所以，即，
因为，所以，则，故
故选：CD.
填空题
44．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在，使成立，从而分离出，构造函数，并利用导数得到取值范围，得到关于的不等式，解得的范围.
【详解】对任意都存在使成立，
而，所以，
即存在，使，
此时，，所以，
因此将问题转化为：存在，使成立，
设，，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，
由题意，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
45．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意，得到，令，则，其中 求得恒成立，得到在递增，转化为，转化为，令，得到在为单调递增函数，得到，得到，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
即，
令，则，其中
又由恒成立，则在单调递增，
所以，即，即，所以，
令，可得，
所以在为单调递增函数，所以，即，所以，
又因为，所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
46．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解．
【详解】由，得，
即，
设，则，
因为函数在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，则，
所以，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
47．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解.
【详解】不等式，可化为，，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，，所以，，则，
所以不等式，即为，
，即对恒成立，
令，则，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
，则，即的取值范围为.
故答案为：.
48．(24-25高二下·湖北十堰六县一中教联体·期中)已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
故答案为：.
(
考点0
7
利用导数研究零点与方程的根
)
单选题
49．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数的定义域，求导，根据函数有3个零点，可得在有两个变号零点，结合二次函数根的分布列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域满足：，解得，
则函数的定义域为，
，
要使得函数有3个零点，则在有两个变号零点，
令，整理得，所以，
解得，故实数的取值范围为.
故选：B.
50．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程有三个根转化为两个函数有三个交点的问题，参变分离得到，再构造函数，利用导数求函数的单调性并作出图象，即可得到满足条件的实数a的取值范围.
【详解】对于方程，当时，不成立，所以不是方程的解.
由题意关于x的方程存在三个不等的实数根，
等价于存在三个不等的实数根.
令，则，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增.
时，；时，；时，，
函数图象如图，
令，则，
所以在上，单调递增；
在上，单调递减.
时，；时，；时，，
图像如图，
令，则，
由于在上恒成立，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增，且.
从的函数图象可以看出，
当时，；当且时，.
函数大致图象如图，
则存在三个不等的实数根，.
故选：D.
多选题
51．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数与轴有两个不同的交点
B．函数既存在最大值又存在最小值
C．若当时，，则的最大值为
D．若方程有1个实根，则
【答案】AC
【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得.
【详解】由题意可知：定义域为，
对于选项A：令，则，解得，
所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确；
对于选项B：因为，
当时，；当时，；
可知在，上单调递减，在上单调递增；
则的极大值为，极小值为，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
可知函数有最小值，无最大值，故B错误；
对于选项C：因为函数有最小值，
若当时，，则，
所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，
结合图象可知：，故D错误.
故选：AC.
52．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)函数，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．没有零点 D．最大值为2
【答案】ABC
【分析】根据导数运算法则求导函数可判断A正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断B正确，结合函数单调性及最小值可知C正确，D错误.
【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确；
令得，即，令得，即，
因此在单调递增，在单调递减，且，
因此没有零点，即BC正确，D错误.
故选：ABC
53．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数可能无零点
B．若，则函数可能存在最值
C．若函数存在两个极值点，则且
D．若是函数的极大值点，则
【答案】ACD
【分析】求导，根据导数分情况讨论函数的单调性与极值情况，进而判断各选项.
【详解】函数的定义域为，.
当时，在上无零点，A选项正确；
当时，在上恒成立，
所以在单调递增，函数无最值，B选项错误；
若函数存在两个极值点，则在上存在两个变号零点，
令，则需，，，
整理得且，C选项正确；
若是函数的极大值点，则由可得，
所以，所以，所以，D选项正确；
故选：ACD.
54．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知函数，则（ ）
A．总有两个极值点
B．时，只有一个零点
C．点是曲线的对称中心，则
D．是的极小值点
【答案】ABD
【分析】确定的导函数零点情况判断A；求出函数的极值判断B；由对称性求出判断C；利用导数求出极小值点判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得
对于A，方程中，，则函数总有两个变号零点，
因此总有两个极值点，A正确；
对于B，当时，，，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值极小值为，即当时，，
而，因此只有一个零点，B正确；
对于C，由点是曲线的对称中心，得，
即，则，C错误；
对于D，函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，是的极小值点，D正确.
故选：ABD
55．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由可得，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，逐项判断即可.
【详解】由可得，即，
所以，关于的方程在上有唯一实根，
令，其中，
则，
因为，令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在使得，即，
且当时，，则，故函数在上单调递减，
当时，，则，故函数在上单调递增，
所以，，
由题意可知，直线与函数的图象有唯一公共点，如下图所示：
故，AD错，BC对.
故选：BC.
56．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．可能有2个零点
B．一定有极小值，且0是极小值点
C．时，
D．若存在极大值点，且，其中，则
【答案】BD
【分析】首先讨论的情形，再分的正负讨论函数的单调性和极值，由此可判断ABC的正误，；对于D，容易得到极大值点的值，再代入，得到关于的一元三次方程，此方程已经有一解，故可以因式分解求出，由此可判断D选项.
【详解】函数的定义域为，当时，为二次函数，
由抛物线性质可知存在极小值点，极小值为，此时无零点；
当时，可求得导函数，令，得或，
当时，可求得当时，；当时，，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
故此时存在极小值点，极小值为，
存在极大值点，极大值为；
当时，可求得当时，；当时，，
所以在和上单调递增，，在上单调递减，
故此时存在极小值点，极小值为，
存在极大值点，极大值为；
对于A，当时，无零点；
当时，因为在上单调递增，在和上单调递减，
而极小值为，所以只有1个零点；
当时，因为在和上单调递增，在上单调递减，
而极大值为，极小值为，所以只有1个零点，故A错误；
对于B，由以上分析，不论取何值，一定有极小值，且0是极小值点，故B正确；
对于C，当时，即时，此时在上单调递减，
又，所以，故C错误；
对于D，由上述分析可知，则，
由题意知，即，
此方程已有一根，故可因式分解为，
解得与相异的根，则，故D正确；
故选：BD.
填空题
57．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】求导，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于的方程有三个不等的实根转化为有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，结合二次方程根的分布，求得答案.
【详解】由题意得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
又时，，时，，
可知函数的图象如下图所示，
令，，由方程有三个不等的实根，
即有两个不等的实根，
即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，
令，，
则有两个不等的实根，设为，
则，所以不妨令，
则，，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
58．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解.
【详解】因为，所以，
依题意，函数在上有两个变号零点，由，得，
令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点，
而，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，又，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，

观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
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专题03 导数及其应用小题综合
7大高频考点概览
考点01导数的基本计算
考点02导数的几何意义（切线方程）
考点03导数与函数的单调性
考点04构造函数比较大小（一）
考点05构造函数比较大小（二）
考点06利用导数研究恒成立与能成立问题
考点07利用导数研究零点与方程的根
(
考点01
导数的基本计算
)
一、单选题
1．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)如果函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
2．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)设是可导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知且，求（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，则在处的切线斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．4.5
9．(24-25高二下·安徽滁州·期中)在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)下列函数的求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(
考点02
导数的几何意义（切线方程）
)
单选题
16．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)6．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)8．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
19．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)9．若直线与曲线相切，则实数（ ）
A． B．
C． D．
20．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
多选题
23．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．直线上存在满足要求的点 D．直线上存在满足要求的点
填空题
24．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数在点处的切线方程为，则_____.
25．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知，求在处的切线方程：______．
26．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知直线与曲线相切，则__________
27．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为_______．
(
考点03
导数与函数的单调性
)
28．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
30．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，，则的最大值为______.
31．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数在区间单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
33．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)函数在上单调递增的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
35．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知在上是增函数，则的最小值是______．
(
考点04
构造函数比较大小（一）
)
36．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)（多选）已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
38．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A． B．
C． D．
(
考点05
构造函数比较大小（二）
)
单选题
39．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
40．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
41．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
(
考点0
6
利用导数研究恒成立与能成立问题
)
单选题
42．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若在上恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
多选题
43．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
填空题
44．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______.
45．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.
46．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________.
47．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.
48．(24-25高二下·湖北十堰六县一中教联体·期中)已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
(
考点0
7
利用导数研究零点与方程的根
)
单选题
49．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
50．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
51．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数与轴有两个不同的交点
B．函数既存在最大值又存在最小值
C．若当时，，则的最大值为
D．若方程有1个实根，则
52．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)函数，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．没有零点 D．最大值为2
53．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数可能无零点
B．若，则函数可能存在最值
C．若函数存在两个极值点，则且
D．若是函数的极大值点，则
54．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知函数，则（ ）
A．总有两个极值点
B．时，只有一个零点
C．点是曲线的对称中心，则
D．是的极小值点
55．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
56．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．可能有2个零点
B．一定有极小值，且0是极小值点
C．时，
D．若存在极大值点，且，其中，则
填空题
57．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________.
58．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________.
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