资源简介

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专题03 计数原理与概率统计
7大高频考点概览
考点01排列组合
考点02二项式定理
考点03统计
考点04统计案例
考点05概率综合
考点06正态分布
考点07随机变量及其分布
(
考点01
排列组合
)
1．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)从3名男生和5名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种（用数字做答）；
【答案】30
【分析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有5种方法，根据分步计数原理求得结果.
【详解】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有5种方法，
根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为，
故答案为：30.
2．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种.
【答案】150
【分析】分值班人数为2人或3人，结合分类计数原理可得答案.
【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为：；若人数为3，则每人值一天班，故方法数为；故总的方法有30+120=150种.
故答案为：
3．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．1440 B．2880 C．480 D．960
【答案】B
【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可.
【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，
所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，
与剩下4名学生进行排列有种排法，
又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法，
因此根据乘法原理得所求种数为，
故选：B
4．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分）
【答案】
【分析】由相邻问题捆绑法求解排列问题即可.
【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到，
当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，
此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，
所以最终满足题意的排法为.
故答案为：
5．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ）
A．40 B．32 C．24 D．23
【答案】D
【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，结合组合计算，再除去不合题意的即可.
【详解】可得，从集合中任取三个不同元素，且，异号，
若，共有条，若，共有条，总共种.
又因为当，，和，，时，都表示直线，
所以符合条件的直线的条数为种.
故选：D.
(
考点02
二项式定理
)
6．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)展开式中的常数项为_____．
【答案】
【分析】写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
即展开式中的常数项为.
故答案为：
7．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)的展开式中的系数为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式的通项可求得的展开式中的系数.
【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数，
又二项式的展开式的通项为，
令，可得，则的系数为.
故选：D.
8．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对变形为，再利用二项式定理求出通项，进而求出指定项的系数即可.
【详解】易得，且，
则，
由二项式定理得展开式的通项公式为，
令，.
故选：A.
9．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．在的展开式中二项式系数和为32
B．在的展开式中常数项为
C．在的展开式中系数最大的项是第5项
D．在的展开式中各项系数的和为
【答案】ABD
【分析】对于A：根据二项式系数和为分析判断；对于B：根据二项式定理分析判断即可；对于C：分析可知第项的系数为，即为二项式系数，结合二项式系数的性质分析判断；对于D：令即可得展开式中各项系数的和.
【详解】对于选项A：因为，所以二项式系数和为，故A正确；
对于选项B：的展开式常数项为，故B正确；
对于选项C：的展开式通项为，
可知第项的系数为，即为二项式系数，
所以当，即第6项的系数最大，故C错误；
对于选项D：令，可得展开式中各项系数的和为，故D正确；
故选：ABD.
10．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)有可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列数定义可得结果.
【详解】由排列数公式可得，
故选：D.
11．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为__________.
【答案】12
【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到总项数为13，进而得到答案.
【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，即，解得.
故答案为：12.
12．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)已知，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可.
【详解】对于A，取，得，故A错误；
对于B，的展开式中第7项为，
所以，故B错误；
对于C，取得，
所以，故C错误；
对于D，由，
取得，
取得，
所以，故D正确.
故选：D
13．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)若.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)242
(2)
【分析】采用“赋值法”即可求解.
【详解】（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴.
（2）∵，
令，可得①，
令，可得②，
结合①②可得：
(
考点03
统计
)
14．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)下列5个数据，，1，，的第40百分位数为______.
【答案】0.9/
【分析】根据百分位数可得答案.
【详解】从小到大排列后，得到，由于，则求与1的平均数为0.9.
则第40百分位数为0.9.
故答案为：0.9.
15．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越差
B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．一组数，，，…，的平均数为a，若再插入一个数a，则这个数的方差变大
【答案】AC
【分析】利用决定系数的性质判断A，利用两点分布的方差公式判断B，利用正态分布的对称性判断C，举反例判断D即可
【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确，
残差为，故B错误；
若随机变量服从正态分布，，
由正态分布性质得，故C正确，
我们令，，，此时平均数，
方差为，插入一个数2，
此时平均数为，方差为，
方差显然变小了，即再插入一个数a，则这个数的方差可能变小，故D错误．
故选：AC
16．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)（多选）2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ）
A．2020至2024年我国快递业务量逐年增长
B．2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件
C．2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4％
D．估计我国2019年的快递业务量大于500亿件
【答案】ABD
【分析】根据统计图表中的数据的增长趋势，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B正确；根据极差的计算方法，可判定C错误；设2019年的快递业务量为亿件，得出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，根据统计图表，可得2020至2024年我国快递业务量逐年增长，所以A正确．
对于B中，2020至2024年我国快递业务量分别为，
可得数据的中位数为亿件，所以B正确；
对于C中，2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差为 ，所以C错误．
对于D中，设我国2019年的快递业务量为亿件，
则，可得，所以D正确．
故选：ABD.
17．(24-25高二下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.
【答案】(1)从该校高一、高二学生中各抽取的人数为120人和80人.
(2)
【分析】（1）根据分层抽样的原理，按各层人数占总人数的比例来确定抽取人数；
（2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数.
【详解】（1）已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人.
现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例.
高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人.
同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为,
分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为.
那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即.
已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.
18．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图可得；
（2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数；
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案.
【详解】（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
(
考点04
统计案例
)
19．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【分析】根据回归方程及相关概念判断AB，由散点图及相关系数概念判断C，利用决定系数概念判断D.
【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；
对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误；
对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故选：ABD.
20．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则；
B．若事件相互独立，，则；
C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；
D．若决定系数越大，则模型的拟合效果越好.
【答案】B
【分析】利用正态曲线可判断A选项；利用并事件的公式计算判断B选项；利用经验回归方程过样本中心点计算C选项；根据决定系数的意义判断D选项.
【详解】对于A选项，随机变量服从正态分布，均值，
正态曲线的对称轴为，
，，
由对称性知，，，故A正确；
对于B选项，若事件相互独立，
则，故B错误；
对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，
，解得，故C正确；
对于D选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：B.
21．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)0.035；41.5岁
(2)表格见解析；有关
(3)；1
【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案；
（3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案
【详解】（1），
，
，
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；
（2）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
青少年组有人，中老年组有人，
参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下；
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，
，
根据独立性检验，可以认为零假设不成立，
即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关；
（3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，
将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
所以，．
22．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表：
新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性 100 20
女性 50 30 80
总计 50 200
(1)求；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望.
附：.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)
(2)可以认为选购车的款式与性别有关
(3)1
【分析】（1）根据列联表的数据直接求解即可；
（2）先零假设，然后计算，再进行独立性检验即可；
（3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】（1），；
（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联，
根据列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；
（3）随机抽取1人购买款车的概率为：，
的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，，
因此，.
(
考点05
概率综合
)
23．(24-25高二下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据古典概型概率公式即可求解.
【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为.
故选：B.
24．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用概率的乘法公式计算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：B
25．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62
【答案】C
【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得.
【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”，
则，，，
又根据题意可得，，，
∴由全概率公式可得：
，
∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51.
故选：C.
26．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期中)学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果．
【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，
注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法，
故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为，
第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法；
再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法；
最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法，
故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为，
因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，
第四裁判员是男生的概率为，
故选：A.
27．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．
【答案】 0.1/ 0.3/
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可.
【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，
则，，，
B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得：
，
由贝叶斯公式得：.
故答案为：0.1；0.3.
28．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示：
4月21日 4月22日 4月23日
0.2 0.3 0.5
若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用全概率公式分别求得，，再由，解不等式即可求解.
【详解】设甲、乙两人在同一天到达上海的概率为，甲、丙两人在同一天到达上海的概率为．
根据全概率公式可得：
，
．
由，得，即，
又，
所以．
故选：C.
29．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【分析】根据二项分布概率公式构造不等式组，解题即可.
【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以.
根据条件概率公式，可得.
再根据条件概率公式，可得.
所以随机变量，
令，解得，因为，所以当时，取得最大值.
故选：C.
30．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，， 次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率. 用全概率公式得到与的递推关系.
对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式. 把代入表达式，算出的值.
【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为.
由题意知，，，
因为，所以.
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
故选：A.
31．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
(1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
(2)求第3次操作取到红球的概率；
(3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
【答案】(1)
1 3
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件得出盒中红球的个数的可能值，分别求出概率，即可得出分布列；
（2）方法一：设出第次取到红球的事件，即可求出第3次操作取到红球的概率；方法二：根据（1）中第二次的情况，即可求出第3次操作取到红球的概率；
（3）求出当为奇数和偶数时盒中球的情况，得出递推公式，证明是等比数列，即可求出通项公式，进而得出的前n项和.
【详解】（1）由题意，
的所有可能取值为1,3，
,
故的分布列为
1 3
（2）由题意，
（方法一）设事件表示第次取到红球，
则
（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．
（3）由题意及（1）（2）得，
设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，
当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
故．
即
(
考点0
6
正态分布
)
32．(24-25高二下·湖南郴州宜章县第一中学·期中)已知随机变量，且，则的最小值为______.
【答案】
【分析】先根据正态分布的性质得出，再结合常值代换应用不等式求出最值即可.
【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，解得，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为．
故答案为：.
33．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；
A．这次考试等级分的标准差为5
B．这次考试等级分超过70分的约有45人
C．
D．这次考试等级分在内的人数约为48人
【答案】AD
【分析】根据的含义易判断A，B两项，对于C，D，先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.
【详解】对于A，因，则，故A正确；
对于B，因，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误；
对于C，因，故C错误；
对于D，
因，
故这次考试等级分在内的人数约为人，故D正确，
故选：AD
34．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：若随机变量，则
A．曲线关于直线对称
B．曲线在处达到峰值
C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高”
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断ABC，根据正态分布原则计算可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，所以曲线关于直线对称，故A正确；
对于B，因为当时，单调递增，则单调递增，
当时，单调递减，则单调递减，故曲线是单峰的.
又，则，因此，当且仅当时，等号成立，即曲线在处达到峰值，故B错误；
对于C，由选项B可知，当越小时，峰值越大，则曲线越“瘦高”，当越大时，峰值越小，则曲线越“矮胖”，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：AD.
(
考点0
7
随机变量及其分布
)
35．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)若随机变量服从二项分布，，则______.
【答案】7
【分析】根据二项分布期望公式以及性质，求解即可.
【详解】由于X服从二项分布，所以，故.
故答案为：7
36．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)下列命题中，正确的命题为（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好
【答案】AD
【分析】根据二项分布的均值和方差公式列式计算判断A，根据方差的含义判断B，根据正态分布的对称性求解概率判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】A选项：，，，正确；
B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误；
C选项：随机变量服从正态分布，则，
若，则，则，错误；
D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确.
故选：AD
37．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________.
【答案】0
【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【详解】因为随机变量X服从两点分布，，
所以，
所以，
因为，所以
故答案为：0.
38．(24-25高二下·湖南长沙长郡中学·期中)下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量，则
C．若，且，则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】BC
【分析】由分位数的计算方法即可判断A；由正态分布曲线的对称性即可判断B；根据条件概率公式及对立事件即可判断C；根据独立性检验即可判断D选项．
【详解】对于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位数据6，故A错误；
对于B，，
则，故B正确；
对于C，，
由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故选项C正确；
对于D，没有充分证据推断X与Y有关联，故D错误．
故选：BC．
39．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________.
【答案】/
【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
【详解】由题可知，，即，解得，
则X的可能取值为，
，，
，，
所以.
故答案为：.
40．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)下列说法正确的是（ ）
A．正方体的表面积和体积是相关关系
B．已知函数，则
C．若，且，则
D．已知随机变量，若，则函数为偶函数
【答案】CD
【分析】根据函数关系判断A，根据除法导数运算律计算判断B，根据二项分布及数学期望性质判断C，根据正态分布的性质结合偶函数定义判断D.
【详解】A是确定的函数关系，所以错误；
B选项，∵，∴.故B错误；
C选项，因为，所以.又，所以，故C正确；
D选项，若，则区间和关于直线对称，
∴，则，
∴函数为偶函数.
故选：CD.
41．(24-25高二下·湖南长沙长沙铁路第一中学·期中)下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量的均值，则
C．若随机变量的方差，则
D．随机变量，则
【答案】ABC
【分析】A选项由超几何分布的定义可判断；B选项，利用公式可得；C选项，利用公式可得；D选项，利用二项分布和组合数的对称性可得.
【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C正确；
D选项：因为，所以，
根据组合数的对称性可知，，故D错误.
故选：ABC
42．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.
（2）根据超几何分布的知识求得X的分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为；
（2）X的可能取值为
则，
，
，
.
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
.
43．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示．
(1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）；
(2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率；
(3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)，56.7
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率之和为1建立方程求得，利用中位数的概念列方程求解即可.
（2）根据分层抽样求得男生和女生人数，结合组合数的运算利用古典概型概率公式求解即可.
（3）根据题意得，根据二项分布的概率公式及期望的计算公式求解即可.
【详解】（1）根据题意可得，解得；
因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，，
所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得，
所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7.
（2）慢跑时长在分钟内有人，
因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人，
记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件，
所以.
（3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为，
随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
.
44．(24-25高二下·湖南郴州宜章县第一中学·期中)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据情境求出离散型随机变量的取值，以及相应的概率，写出分布列，根据期望公式求解即可；
（2）根据递推公式，结合等比数列的定义证得为等比数列，再利用累加法和等比数列前n项和公式求得的通项公式．
【详解】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
因此，数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以，当时，
，
当时，上式也成立，
综上所述：.
45．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分.已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为.
(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
(2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.求乙在答题过程中使得分最大的答题方式，并写出最大得分.
【答案】(1)
(2)乙同学选择双选AC时得分最大，最大值为分
【分析】（1）先设事件A为“该题的正确答案是2个选项”，B为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，再求，，再利用全概率公式计算即可；
（2）先计算正确答案是两选项、三选项的概率，再分类讨论乙同学做出的决策：单选，双选，三选，分别求其期望值.
【详解】（1）设事件A为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”，
即，.
设事件B为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，
则，，
所以，
则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为.
（2）由题知选项B，D不能同时选，则乙同学可以选择单选、双选、三选，
正确答案是两选项的可能情况为AB，AD，BC，AC，CD，每种情况出现的概率均为；
正确答案是三选项的可能情况为ABC，ACD，每种情况出现的概率为.
若乙同学做出的决策是：
①单选，则（分），
（分）；
②双选，则（分），
（分）；
③三选，则（分）.
经比较，乙同学选择双选AC时得分最大，最大值为分.
46．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.
(1)若型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为.已知型服务机器人第一次检测成功的概率为，求型服务机器人第二次检测成功的概率；
(2)试产型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时，型合格的概率分别为，第二次检测时，型合格的概率分别为.两次检测相互独立，设经过两次检测后，型服务机器人合格的种类数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设出事件， 用条件概率公式分别求和，再根据互斥事件概率加法求.
（2）分情况讨论， ，， ， ，用独立事件乘法公式计算概率，进而得到的分布列和期望.
【详解】（1）记型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功”，型服务机器人第二次仿成年人拿水杯检测成功”，
则.
因为，所以，
因为，所以，
则.
（2）三类不同型号的服务机器人检测合格的概率分别为：
，
由题意随机变量的可能取值为，则，
，
.
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
47．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律.统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种.统计人员在区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果.记第次试验中I种的数目为随机变量.设该区域中I种的数目为，II种的数目为.
(1)（i）求在第1次试验中随机变量的分布列.
（ii）假设每一次试验均相互独立，统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差.记随机变量.采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）.
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为.随机变量与满足.若随机变量与相互独立，则.
(2)假设统计人员每次随机捕获一只该鸟，统计种类，再将捕获的鸟放回，重复进行次.“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
【答案】(1)（i）分布列见解析（ii），
(2)，合理性说明见解析；
【分析】（1）（i）根据超几何分布写出分布列即可；
（ii）根据超几何分布的期望和方差公式求出、，再结合题中给的参考公式即可求、，进而列出关于的方程组；
（2）求，再求出其单调性，即可得出最大似然估计的参数.
【详解】（1）（i）依题意，均服从完全相同的超几何分布，
故的分布列为，
其中为整数，且.
（ii）由于每一次试验均相互独立，且均服从完全相同的超几何分布，则，
，
则由公式可得，
，
由公式可得，，
即，解得，.
（2）由，
则，
令，得，故，
则，得； ，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的.
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专题03 计数原理与概率统计
7大高频考点概览
考点01排列组合
考点02二项式定理
考点03统计
考点04统计案例
考点05概率综合
考点06正态分布
考点07随机变量及其分布
(
考点01
排列组合
)
1．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)从3名男生和5名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种（用数字做答）；
2．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种.
3．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．1440 B．2880 C．480 D．960
4．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分）
5．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ）
A．40 B．32 C．24 D．23
(
考点02
二项式定理
)
6．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)展开式中的常数项为_____．
7．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)的展开式中的系数为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
8．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)若，则（ ）
A． B． C． D．
9．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．在的展开式中二项式系数和为32
B．在的展开式中常数项为
C．在的展开式中系数最大的项是第5项
D．在的展开式中各项系数的和为
10．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)有可以表示为（ ）
A． B． C． D．
11．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为__________.
12．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)已知，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
13．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)若.
(1)求的值；
(2)求的值.
(
考点03
统计
)
14．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)下列5个数据，，1，，的第40百分位数为______.
15．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越差
B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．一组数，，，…，的平均数为a，若再插入一个数a，则这个数的方差变大
16．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)（多选）2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ）
A．2020至2024年我国快递业务量逐年增长
B．2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件
C．2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4％
D．估计我国2019年的快递业务量大于500亿件
17．(24-25高二下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.
18．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
(
考点04
统计案例
)
19．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
20．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则；
B．若事件相互独立，，则；
C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；
D．若决定系数越大，则模型的拟合效果越好.
21．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
22．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表：
新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性 100 20
女性 50 30 80
总计 50 200
(1)求；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望.
附：.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
(
考点05
概率综合
)
23．(24-25高二下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
25．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62
26．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期中)学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．
28．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示：
4月21日 4月22日 4月23日
0.2 0.3 0.5
若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
30．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，， 次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ）
A． B． C． D．
31．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
(1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
(2)求第3次操作取到红球的概率；
(3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
(
考点0
6
正态分布
)
32．(24-25高二下·湖南郴州宜章县第一中学·期中)已知随机变量，且，则的最小值为______.
33．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；
A．这次考试等级分的标准差为5
B．这次考试等级分超过70分的约有45人
C．
D．这次考试等级分在内的人数约为48人
34．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：若随机变量，则
A．曲线关于直线对称
B．曲线在处达到峰值
C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高”
D．若，则
(
考点0
7
随机变量及其分布
)
35．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)若随机变量服从二项分布，，则______.
36．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)下列命题中，正确的命题为（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好
37．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________.
38．(24-25高二下·湖南长沙长郡中学·期中)下列结论中，正确的有（ ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量，则
C．若，且，则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
39．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________.
40．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)下列说法正确的是（ ）
A．正方体的表面积和体积是相关关系
B．已知函数，则
C．若，且，则
D．已知随机变量，若，则函数为偶函数
41．(24-25高二下·湖南长沙长沙铁路第一中学·期中)下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量的均值，则
C．若随机变量的方差，则
D．随机变量，则
42．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望.
43．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示．
(1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）；
(2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率；
(3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望．
44．(24-25高二下·湖南郴州宜章县第一中学·期中)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
45．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分.已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为.
(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
(2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.求乙在答题过程中使得分最大的答题方式，并写出最大得分.
46．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.
(1)若型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为.已知型服务机器人第一次检测成功的概率为，求型服务机器人第二次检测成功的概率；
(2)试产型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时，型合格的概率分别为，第二次检测时，型合格的概率分别为.两次检测相互独立，设经过两次检测后，型服务机器人合格的种类数为随机变量，求的分布列和数学期望.
47．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律.统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种.统计人员在区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果.记第次试验中I种的数目为随机变量.设该区域中I种的数目为，II种的数目为.
(1)（i）求在第1次试验中随机变量的分布列.
（ii）假设每一次试验均相互独立，统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差.记随机变量.采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）.
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为.随机变量与满足.若随机变量与相互独立，则.
(2)假设统计人员每次随机捕获一只该鸟，统计种类，再将捕获的鸟放回，重复进行次.“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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