资源简介

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专题03计数原理
12大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)若将一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如等；那么用数字可以组成五位“回文数”且这个五位数的各位数字之和为11，则这样的五位“回文数”的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．6
【答案】A
【分析】设五位数的“回文数”为，找满足的所有情况即可.
【详解】设五位数的“回文数”为，其中，
因各位数字之和为11，则，
因为偶数，则为奇数，
若，则，则的组合有，
则“回文数”的个数共有个；
若，则，则的组合有，
则“回文数”的个数共有个；
若，则，则的组合有，
则“回文数”的个数共有个；
若，则，则的组合有，
则“回文数”的个数共有个；
则满足条件的五位“回文数”的个数为.
故选：A
2．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A．12种 B．7种 C．4种 D．3种
【答案】B
【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意，不同的选法为.
故选：B
3．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？（ ）
A．48 B．49 C．258 D．89
【答案】A
【分析】根据条件，利用分类计数原理，即可求出结果.
【详解】因为某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，
所以小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，共有种选择方法，
故选：A.
4．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ）
A．17种 B．34种 C．35种 D．70种
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理直接求解即可.
【详解】由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有种，故A正确.
故选：A
5．(24-25高二上·北京第八中学·期中)某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
1．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地共有的路线条是（ ）
A．8 B．11 C．14 D．48
【答案】C
【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.
【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；
如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；
因此，从甲地到丁地共有14种不同的路线.
故选：C
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合条件可将张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，根据分类加法计数原理求结论.
【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，
选购一种商品的方法有种，
选购两种商品的方法有种，
选购三种商品的方法有种，
由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有种，
故选：D.
3．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．24种 B．10种 C．9种 D．15种
【答案】D
【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】依题意可知，有两类衣服可选，
第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；
第二类：选择连衣裙，共有中选择；
所以共有种选择.
故选：D
4．(22-23高二下·北京大学附属中学·期中)某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
【答案】D
【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地派2名女生，有种情况；
若甲地分配1名女生，有种情况，
则甲地的分派方法有种方法；
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，
由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种.
故选：D.
5．(22-23高二下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是________．（用数字作答）
【答案】14
【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.
【详解】当不涂红色时，有种，当红色方格数为2时，有种，
所以共有：.
故答案为：.
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)___________．
【答案】
【分析】由排列数公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)计算：______
【答案】9
【分析】根据排列组合公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：9
3．(24-25高二下·北京第五十中学·期中)若，则________．
【答案】
【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案.
【详解】若，则，
解得，或舍去.
故答案为：.
4．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知，则等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据组合数计算公式计算即可.
【详解】，，，则（舍）或.
故选：A.
5．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】A
【分析】根据组合数的性质即可求解.
【详解】由可得或，解得或，
故选：A
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为______.（用数字作答）
【答案】
【分析】先将5人分成3、1、1或1、2、2分成三组，再安排给3个不同的场馆，即可求解.
【详解】将5人分成3、1、1或1、2、2分成三组，
有，
再分配到3个场馆有，
故答案为：
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为________.
【答案】
【分析】根据分组分配的方法，即可求解.
【详解】5个人分成3组，第一种情况是1,1,3，有种方法，第二种情况是1,2,2，有种方法，所以共有25种分组的方法，
再分配到3个项目，有种方法.
故答案为：
3．(24-25高二下·北京通州区·期中)4名同学选报天文、合唱、羽毛球三个社团，每人报一个，仅有2名同学报同一社团的报名种数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．72
【答案】C
【分析】利用分组分配先将4人分成三组，再进行全排列即可得出结果.
【详解】4名同学选报三个社团，仅有2名同学报同一社团，
可将4名同学分成3组，共有种分法，
再将三组同学选报三个社团，共有种报法，
因此总的报名方式共有种.
故选：C
4．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ）
A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种
【答案】D
【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解.
【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论：
①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人，
剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能；
②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可，
共有种可能，
根据分类加法计算原理，共有种可能.
故选：D.
5．(23-24高二下·北京中央工艺美术学院附属中学（北京国际美术学校）·期中)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据题意，先安排小明跟小李，然后剩余3人分两组，再分配，即可得到结果.
【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有种情况，
然后分配到两个吉祥物的安装又种情况，
则共有种情况.
故选：C
1．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用捆绑法及古典概型的概率公式求解即可.
【详解】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种情况，
要使甲和乙相邻，将甲和乙看作一个整体，再与其他两人进行排列，
因此共有种情况，
所以甲和乙相邻的概率是.
故选：B.
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·月考)春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ）
A．120 B．36 C．24 D．6
【答案】B
【分析】根据捆绑法求解.
【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法，
再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法，
故选：B
3．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有______种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有______种．（用数字作答）
【答案】 48 36
【分析】利用捆绑法计算第一问，利用间接法计算第二问.
【详解】若必修一与必修二相邻，则这两本书看成一个元素，则不同的方法有种方法；
若必修一与必修二和必修三都相邻，则这三本书看成一个元素，必修一在中间，则有种方法，
根据间接法，满足条件的方法种数为种方法.
故答案为：48；36
4．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有_________种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有__________种分配方式.
【答案】 36 100
【分析】利用捆绑法、插空法可得第一空答案；利用间接法、分类讨论可得第二空答案.
【详解】王医生和李医生必须相邻看作一个元素，有种方式，
将这个元素与除张医生外的医生排列，有种方式，此时产生4个空位，
因为张医生和王医生不相邻，
所以张医生只能插入到除了和王医生相邻的空位之外的3个空位中，有种方式，
根据分步乘法计数原理可得站队的总顶点方式共有种；
若五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名
医生，则每组人数可能为或，分配方式共有种，
假设只有张医生去甲地，则剩下的4位医生分成两组分别去另外两地，
两组的人数分别为或，则有种方式，
假设张医生和另外一位医生去甲地，则剩下的3位医生分成两组分别去另外两地，
两组的人数分别为，则有种方式，
假设张医生和另外两位医生去甲地，则剩下的2位医生分成两组分别去另外两地，
两组的人数为，则有种方式，
则张医生去甲地共有种分配方式.
所以张医生不去甲地，则共有种分配方式
故答案为：①36；②.
5．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)从这5人中选出4人，其中不相邻，则不同的安排方法有______种．
【答案】84
【分析】由间接法，先求得没限制条件的方法数，减去情况即可.
【详解】解：从这5人中选出4人，其中A，B不相邻，
先在这5人中选出4人进行全排，然后减去相邻的情况即可，
即不同的安排方法有种．
故答案为：
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．420 B．340 C．260 D．120
【答案】A
【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数.
【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种，
若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种，
同理同色、不同色也有120种，
若的颜色互不相同，则有种，
综上，共有种.
故选：A
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)在某种设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂三个格子（如图），要求每种颜色都要有，李明共有多少种不同的填涂方法？（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】每个格子填涂都有两种颜色可选，计算出所有情况，再去掉三个格子填涂颜色相同的情况，即可得出结果.
【详解】因为每个格子填涂都有两种颜色可选，
所以三个格子填涂颜色一共有种情况，
又因为三个格子颜色相同时有2种情况，
所以李明共有种不同的填涂方法.
故选：B.
3．(24-25高二下·北京东城区北京汇文中学·期中)如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】D
【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法.
故选：D.
4．(23-24高二下·北京陈经纶中学·期中)用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
【答案】A
【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.
【详解】如下表
顶点 V A B C D
种数 4 3 2 C与A同色1 2
C与A不同色1 1
总计
故选：A．
5．(22-23高二下·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
【答案】C
【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.
【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；
第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；
第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；
第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；
若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；
则区域E可选择的花卉有种，
故不同的种植方法种数是.
故选：C
1．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式求解.
【详解】先排数学课有2种方法，再排余下3门课程有种方法，
所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
故选：C
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（ ）
A．300 B．120 C．96 D．72
【答案】C
【分析】由分类计数加法原理计算即可．
【详解】若未被选中，则有种安排方法，
若被选中，则有种安排方法，
故共有种安排方法，
故选：C．
3．(23-24高二下·北京第一零九中学·期中)某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类 2个歌唱类 1个小品类 1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（ ）
A．336种 B．360种 C．408种 D．480种
【答案】C
【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.
【详解】利用间接法：
第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，
第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，
所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，
故选：C.
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有______种.（用数字作答）
【答案】72
【分析】教师人数的安排为2,2,1，先安排张老师，选择1人和张老师为一组，并安排一个兴趣小组，然后再考虑其他3人，结合排列组合知识进行求解.
【详解】教师人数的安排为2,2,1，
先从除张老师剩余的4名教师中选择1人和张老师为一组，有种，
再从3个兴趣小组中选择1个安排给张老师这组，有种，
再将剩余3人分为2组，安排到另外2个兴趣小组，有种，
综上，不同的教师带队方案有种.
故答案为：72
5．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答）
【答案】144
【分析】利用分步计数原理，结合优先特殊元素或特殊位置来解决问题.
【详解】第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种；
第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种；
第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种，
利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种，
故答案为：.
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列数的定义即得.
【详解】要求用1，2，3，4，5排成数字不重复的三位数的个数，相当于从1，2，3，4，5中任取出三个数字在三个数位上的排列数，即.
故选：D.
2．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（ ）
A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】B
【分析】分百位数是3和百位数是4讨论，结合排列的应用即可求解.
【详解】当百位数是3时，则十位和个位共有种排法；
同理可得当百位数是4时，十位和个位共有12种排法，
所以比300大的三位数的个数为.
故选：B.
3．(24-25高二下·北京第二十七中学·期中)用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数.
【答案】
【分析】分析可知五位数的首位不能排，然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，结合分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】由题意可知，五位数的首位不能排，有种选择，
然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，
因此，满足条件没有重复数字的五位数的个数为.
故答案为：.
4．(24-25高二下·北京景山学校·期中)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有___________个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有__________个.（用数字作答）
【答案】 36 18
【分析】对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位奇数的个位有3种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空：按个位数字分2种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】对于第一空：分2步分析：
要求是没有重复数字的三位奇数，其个位是1、3或5，有3种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况，
则有符合题意的三位奇数；
对于第二空：分2种情况讨论：
当其个位为3时，十位数字只能是1，2，百位数字有3种情况，此时有个符合题意的三位数；
当其个位为5时，十位数字可以是1、2、3，4，百位数字有3种情况，
此时有个符合题意的三位数；
则有个符合题意的三位数；
故答案为：36；18
5．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______．
【答案】
【分析】由分步乘法计数原理计算可得.
【详解】分步完成，
第一步，首位数字不能为零，有种取法；
第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有种取法；
所以一共有种，即可组成无重复数字的四位数共个.
故答案为：.
1．(22-23高二下·北京景山学校·期中)一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】分两个节目放在相邻的位置，和两个节目不相邻两种情况讨论，结合插空法即可得解.
【详解】当两个节目放在相邻的位置，有种结果，
当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，
故选：C．
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)12名同学合影.站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________.
【答案】840
【分析】分两步，先选择后排列.第一步，从后排8人中抽2人，第二步，将这2人插入前排4人中，再按照分步计数原理相乘即可.
【详解】分两步，第一步，从后排8人中抽2人有种方法，
第二步，将这2人插入前排4人中，且保证其他人的相对顺序不变，
先从4人产生的5 个空中插入1人，有5种插法，
剩余的1人再插入5人产生的6个空中，有6种插法，
所以这2人有种插法，
所以不同调整方法的种数为种.
故答案为：840.
3．(22-23高二下·北京东直门中学·期中)2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有____________种不同的排法．
【答案】360
【分析】根据定序问题即可得出答案.
【详解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，
∴共有种不同排法，
故答案为：360.
4．(24-25高二下·北京第五十中学·期中)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起;
（2）全体排成一行，男、女各不相邻;
（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;
（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．
【答案】(1)720;(2)144;(3)3720;(4)840.
【详解】分析：（1）相邻问题用捆绑法，即将男生看成一个整体，进行全排列 （2）不相邻问题用插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，（3）特殊位置先排列，分情况讨论，最后用加法原理求排列数，（4）定序排列.先求全排列，再除以顺序数即可.
详解：
(1)捆绑法. 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列. 共有种.
(2)插空法. 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有种.
(3)位置分析法. 先排最右边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种，但应剔除乙在最右边的排法数种.则符合条件的排法共有种.
(4)定序排列. 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此， ∴ 种.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
5．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人．
(1)从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
(2)从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？
(3)活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
(4)现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
【答案】(1)8；
(2)16；
(3)360；
(4)540.
【分析】（1）由分步乘法计数原理计算即可；
（2）分两种情况采用分步乘法计数原理计算即可；
（3）定序问题使用除法计算即可；
（4）分三所学校人数为三种情况，结合分堆法和分类加法计数原理计算即可.
【详解】（1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法；
（2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况：
第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法，
第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法，
故总共有种选法；
（3）活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
（4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法.
1．(24-25高二下·北京三里屯一中·期中)的展开式中常数项为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】应用二项展开式的通项公式赋值，即可求出常数项.
【详解】二项式展开式通项为，，
由 ，则.
故选：B
2．(23-24高二下·北京通州区·期中)在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．10 D．40
【答案】D
【分析】利用二项式定理求出展开式中含的项，即可得出其系数.
【详解】根据二项展开式可得含有的项为，
所以的系数为.
故选：D
3．(21-22高二下·北京十一学校·期中)已知，展开式中的系数为56，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先写出的展开式，结合的系数为，即可求出.
【详解】解：由题知，
故项的系数为，又，解得.
故选：B.
4．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)二项式的展开式的第4项的系数是________.
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式结合组合数公式计算求解.
【详解】二项式的展开式的第4项的系数是.
故答案为：.
5．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)的展开式中的常数项为________．
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
，
令，则，所以展开式中常数项为.
故答案为：.
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)若，则（ ）
A．64 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】直接由二项式定理计算即可.
【详解】因为展开式的通项为，
所以.
故选：A.
2．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知，则________．
【答案】365
【分析】赋值得到，，相加得到.
【详解】中，
令得①，
令得②，
式子①+②得.
故答案为：365
3．(24-25高二下·北京朝阳区青苗学校·期中)如果，那么等于____________．
【答案】
【分析】利用赋值法分别令，，化简求值即可.
【详解】令，则原式，
令，则原式，
所以.
故答案为：
4．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令可求的值；
（2）分别令和求各项系数和，两式相加计算即可；
（3）通过二项式的通项公式分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，可得出，即可得解.
【详解】（1）令，则，所以；
（2）令，得①.
令，得②，
由①②，得，
所以.
（3）的展开式通项为，
则，其中且，
当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
，由（2）知，，
所以．
5．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知，，若的展开式中，所有二项式系数的和为32.
(1)求的值；
(2)求的系数；
(3)求的值.
【答案】(1)5
(2)40
(3)
【分析】（1）由二项式展开式所有系数和的性质求解可得；
（2）由二项展开式的通项计算可得；
（3）令和赋值计算可得.
【详解】（1）由题意可得.
（2），
所以的系数为40.
（3）令，可得，
令，可得，
两式相减可得.
1．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知的展开式二项式系数和为64．
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1)
(2)60
(3)
【分析】（1）根据二项式系数和公式得到方程，求出答案；
（2）得到展开式通项公式，进而得到展开式中的常数项为；
（3）二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知，得到答案.
【详解】（1）由题意得，故；
（2）的展开式通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中的常数项为；
（3），展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项，
由（2）可知，
故展开式中二项式系数最大的项为.
2．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)在的展开式中.
(1)求各项的二项式系数之和；
(2)求第3项的系数；
(3)求的系数；
(4)求常数项；
(5)求二项式系数最大的项.
【答案】(1)64；
(2)240；
(3)160；
(4)60；
(5)160.
【分析】（1）根据展开式中各项的二项式系数之和的公式即可得解；
（2）根据展开式的通项公式求得即可得出系数；
（3）根据展开式的通项公式求得，然后令的指数等于3，即可得出的值，从而得到系数；
（4）由（3）得，令的指数等于0，即可得出的值，从而得到常数项；
（5）结合二项式系数的性质即可求出结果.
【详解】（1）的展开式中各项的二项式系数之和为
（2）因为；
所以第3项的系数为240；
（3），令，解得,
所以，所以的系数为160；
（4）由（3）得，令，解得,
所以；所以常数项为60；
（5）由二项式系数的性质可知，二项式系数最大的项为第4项，由（3）得，，
所以二项式系数最大的项为.
3．(24-25高二下·北京景山学校·期中)在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项.
问题：已知二项式，若___________（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项.
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）若选①，则由可算出，进而二项式系数最大为；若选②，则由算出，进而二项式系数最大为；若选③，写出二项展开式的通项，进而赋值可求，进而二项式系数最大为；
（2）写出二项展开式的通项，令的指数为整数即可求出有理项.
【详解】（1）若选①：由，解得（负值舍去）；
若选②：由，解得；
由得，展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；
若选③：设第项为常数项，，由及，得.
由得，展开式的二项式系数最大为，，
则二项式系数最大项为，；
（2）若选①或选②：
设第项为有理项，由，
因为，，所以，，，.
所以有理项为
，，，.
若选③：
设第项为有理项，由，
因为，，所以.
所以有理项为，.
4．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)6
(2)1
(3)
【分析】（1）应用各项二项式系数和列式求参；
（2）应用赋值法计算系数和；
（3）应用二项式系数性质计算求解.
【详解】（1）由题意可得解得
（2）取，故展开式中所有项的系数和，
（3）由于，故展开式中二项式系数最大为，
故二项式系数最大的项为
．
5．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知，，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，完成下列问题.
(1)直接写出n的值；
(2)求含项的系数；
(3)求的值.
条件①：展开式中只有第6项的二项式系数最大；
条件②：展开式中第4项与第8项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有二项式系数的和为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.
（2）由通项公式即可求解；
（3）通过赋值法即可求解.
【详解】（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，
所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，
所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
（2）在二项展开式中，含的项是
，
所以含项的系数是；
（3）由（1）知，
当时，可得；
当时，可得；
所以.
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专题03计数原理
12大高频考点概览
考点01 分类加法计数原理
考点02 分步计数原理
考点03 排列数与组合数
考点04 分组分配问题
考点05 捆绑法与插空法
考点06 染色问题
考点07特殊位置特殊元素优先排列
考点08 排数问题
考点09定序问题
考点10 二项式定理
考点11 （二项式）系数和问题
考点12 （二项式）系数最值问题
1．(24-25高二下·北京通州区·期中)若将一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如等；那么用数字可以组成五位“回文数”且这个五位数的各位数字之和为11，则这样的五位“回文数”的个数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．6
2．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A．12种 B．7种 C．4种 D．3种
3．(23-24高二下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？（ ）
A．48 B．49 C．258 D．89
4．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ）
A．17种 B．34种 C．35种 D．70种
5．(24-25高二上·北京第八中学·期中)某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
1．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地共有的路线条是（ ）
A．8 B．11 C．14 D．48
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．24种 B．10种 C．9种 D．15种
4．(22-23高二下·北京大学附属中学·期中)某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
5．(22-23高二下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是________．（用数字作答）
1．(24-25高二下·北京八一学校·期中)___________．
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)计算：______
3．(24-25高二下·北京第五十中学·期中)若，则________．
4．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知，则等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)若，则的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为______.（用数字作答）
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为________.
3．(24-25高二下·北京通州区·期中)4名同学选报天文、合唱、羽毛球三个社团，每人报一个，仅有2名同学报同一社团的报名种数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．72
4．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ）
A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种
5．(23-24高二下·北京中央工艺美术学院附属中学（北京国际美术学校）·期中)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
1．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·月考)春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ）
A．120 B．36 C．24 D．6
3．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有______种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有______种．（用数字作答）
4．(24-25高二下·北京顺义区第一中学·期中)现有5个医生站成一排，由于专业问题王医生和李医生必须相邻，张医生不和王医生相邻，则站队方式共有_________种；现要把五位医生分配到三个地方医院支援指导工作，每位医生去一个地方，每个医院至少有一名医生，但张医生不去甲地，则共有__________种分配方式.
5．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)从这5人中选出4人，其中不相邻，则不同的安排方法有______种．
1．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．420 B．340 C．260 D．120
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)在某种设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂三个格子（如图），要求每种颜色都要有，李明共有多少种不同的填涂方法？（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．(24-25高二下·北京东城区北京汇文中学·期中)如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
4．(23-24高二下·北京陈经纶中学·期中)用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
顶点 V A B C D
种数 4 3 2 C与A同色1 2
C与A不同色1 1
总计
5．(22-23高二下·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
1．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（ ）
A．300 B．120 C．96 D．72
3．(23-24高二下·北京第一零九中学·期中)某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类 2个歌唱类 1个小品类 1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（ ）
A．336种 B．360种 C．408种 D．480种
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有______种.（用数字作答）
5．(24-25高二下·北京第八十中学·期中)已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答）
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（ ）
A．12 B．24 C．32 D．36
3．(24-25高二下·北京第二十七中学·期中)用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数.
4．(24-25高二下·北京景山学校·期中)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，奇数共有___________个，其中个位数字比十位数字大的奇数共有__________个.（用数字作答）
5．(24-25高二下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)在，，，，，这个数中任取个，可组成无重复数字的四位数的个数______．
1．(22-23高二下·北京景山学校·期中)一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)12名同学合影.站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________.
3．(22-23高二下·北京东直门中学·期中)2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有____________种不同的排法．
4．(24-25高二下·北京第五十中学·期中)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起;
（2）全体排成一行，男、女各不相邻;
（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;
（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．
5．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人．
(1)从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
(2)从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？
(3)活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
(4)现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？
1．(24-25高二下·北京三里屯一中·期中)的展开式中常数项为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
2．(23-24高二下·北京通州区·期中)在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．10 D．40
3．(21-22高二下·北京十一学校·期中)已知，展开式中的系数为56，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)二项式的展开式的第4项的系数是________.
5．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)的展开式中的常数项为________．
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)若，则（ ）
A．64 B． C．16 D．
2．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知，则________．
3．(24-25高二下·北京朝阳区青苗学校·期中)如果，那么等于____________．
4．(24-25高二下·北京第一零一中学·期中)已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
5．(24-25高二下·北京交通大学附属中学第二分校·期中)已知，，若的展开式中，所有二项式系数的和为32.
(1)求的值；
(2)求的系数；
(3)求的值.
1．(24-25高二下·北京顺义区第二中学·期中)已知的展开式二项式系数和为64．
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
2．(24-25高二下·北京第五十中学分校·期中)在的展开式中.
(1)求各项的二项式系数之和；
(2)求第3项的系数；
(3)求的系数；
(4)求常数项；
(5)求二项式系数最大的项.
3．(24-25高二下·北京景山学校·期中)在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项.
问题：已知二项式，若___________（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项.
4．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
5．(24-25高二下·北京丰台区·期中)已知，，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，完成下列问题.
(1)直接写出n的值；
(2)求含项的系数；
(3)求的值.
条件①：展开式中只有第6项的二项式系数最大；
条件②：展开式中第4项与第8项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有二项式系数的和为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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