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专题03 随机变量及其分布列
5大高频考点概览
考点01 条件概率与全概率公式
考点02 随机变量及其分布列
考点03 离散型随机变量的数字特征
考点04 二项分布与超几何分布
考点05 正态分布
(
地
城
考点01
条件概率与全概率公式
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式结合条件即可求解.
【详解】因为，.
故选：D
2．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全概率公式列出方程求解即可．
【详解】，
解得，
故选：B．
3．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的概率公式即可求出.
【详解】用事件表示“第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，，
则，
故在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是.
故选：C.
4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球 B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
【答案】B
【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD.
【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误；
对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确；
对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误；
对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误.
故选：B.
5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件概率和互斥事件概率公式进行计算即可.
【详解】记“最后面试的学生来自2班”为事件B，“最后面试的学生来自3班”为事件C，
显然事件B，C互斥．
记“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D，则．
当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班，
则．
当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班，
则．
所以．
故选：A.
6．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）甲盒中装有2个红球，2个白球，乙盒中装有2个红球，3个白球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒中，再从乙盒中随机取出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出事件，利用全概率公式求出答案.
【详解】设从甲盒中取出的为红球为事件A，从乙盒中随机取出一个球是红球为事件B，
则
.
故选：B
7．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙命中目标的概率为0.6.已知目标恰被命中1次的条件下，是甲命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标恰好被命中1次”，分别计算，并用条件概率公式计算即可.
【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标恰好被命中1次”，
所以,
，
所以.
故选：B.
8．（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设箱中有只残次品，顾客买下该箱玻璃杯，分别求得，以及，结合全概率公式，即可求解.
【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯，
则，
则，
由全概率公式，可得.
故选：D.
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，，则在的条件下，恰有2个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出所有的情况，利用缩小样本空间法求解条件概率即可.
【详解】的非空子集有
共31个，
其中满足情况有：
当集合A只有一个元素时，比如，集合或，
此时共有种情况，
当集合A有两个元素时，比如，集合可取，此时共有种情况，
当集合A有三个元素时，比如，
集合可取，
此时共有种情况，
当集合A有四个元素时，比如，
集合可取
，此时共有种情况，
当集合A有五个元素时，，集合可取除之外的集合，
有种情况，
综上，满足的共有种情况；
恰有2个元素情况有：
当集合A有两个元素时，比如，集合可取，
此时共有种情况，
当集合A有三个元素时，比如，集合可取，
此时共有种情况，
当集合A有四个元素时，比如，
集合可取，此时共有种情况，
当集合A有五个元素时，，
集合可取，有种情况，
综上，满足的共有种情况；
所以在的条件下，恰有2个元素的概率为.
故选：B
10．（23-24高二下·浙江杭州·期中）深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【答案】C
【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论.
【详解】设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”， 表示“甲球员担当组织后卫”， 表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”.
根据题意，则
．
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.
故选：C．
11．（24-25高二下·浙江杭州·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全概率公式即可求解.
【详解】设表示取得的2个球都是黄球，表示选择第一个盒子，表示选择第二个盒子；
所以，
故选：C
12．（24-25高二下·浙江杭州·期中）连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分有个偶数和有个偶数两种情况讨论求出在三次骰子点数之和为偶数的条件下的种数，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，
则偶数的个数为个或个，
若有个偶数，则有种，
若有个偶数，则有种，
故在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为.
故选：D.
13．（23-24高二下·浙江杭州·期中）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设从号仓出发最终从1号仓出的概率为，再根据题意列出的关系求解即可.
【详解】设从号仓出发最终从1号仓出的概率为，所以，
解得.
故选：C
二、多选题
14．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立 D．若，则
【答案】BC
【分析】由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可.
【详解】对于A：，A错；
对于B：，，B对，
对于C：由，，可得，所以与相互独立，所以与相互独立，C对，
对于D：由，可得，
所以，D错，
故选：BC
15．（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据条件概率即可求解AD，根据全概率公式即可求解BC.
【详解】对于A, ,故A错误，
对于B, ,故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D,由于,故，D正确，
故选：BD
16．（24-25高二下·浙江台州·期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件概率及全概率公式计算，逐项判断即可.
【详解】由题意知，，，，
，，
所以，
，
.
故选：AD.
17．（24-25高二下·浙江·期中）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与C互斥 D．事件A与B相互独立
【答案】ABD
【分析】对于A，先写出事件所包含的样本点，再根据古典概型的概率公式计算即可判断；对于B，分别求出，，再根据条件概率的公式计算即可判断；对于C，根据互斥事件的定义判断即可；对于D，根据相互独立事件的概率公式判断即可.
【详解】由题意可知事件，事件，事件，
对于A，因为事件，所以，故A正确；
对于B，因为事件，所以，而，
所以，故B正确；
对于C，因为事件，故事件可以同时发生，
所以事件B与C不互斥，故C错误；
对于D，因为事件，所以，
而，，且，
所以事件A与B相互独立，故D正确.
故选：ABD
18．（24-25高二下·浙江·期中）有大小、形状、质地完全相同的白色、黄色、蓝色小球各3个，红色小球1个，并且将这个红色小球命名为“幸运A9球”，现将这10个小球装在一个盒子里，依次任取3个小球，则下列说法正确的是（ ）
A．“幸运A9球”被选中的概率为
B．每次取后再放回，则第3次才取到“幸运A9球”的概率
C．每次取后不放回，则第3次取到“幸运A9球”的概率最大
D．记事件为“幸运A9球”被选中，事件为“取得的3个小球不同色”，则
【答案】ABD
【分析】A按照古典概型可计算；B利用独立事件的概率公式即可；C按照古典概型可计算；D按照条件概率的概率公式计算.
【详解】A，从盒子中任选3个小球共有种，其中红球被选中共有种，
则按照古典概型可知，“幸运A9球”被选中的概率为，故A正确；
B，每次取1个球，该球是红球的概率为，则不是红球的概率为，
则第3次才取到“幸运A9球”的概率，故B正确；
C，从盒子中依次取3个小球共有种，
其中第1、2、3次取到红球分别有、、种，
则按照古典概型可知，第1、2、3次取到“幸运A9球”的概率均为，故C错误；
D，由题意可知，，
则，故D正确.
故选：ABD
19．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于
【答案】ACD
【分析】利用列举法，求得第2次、3次传球后的所有可能，在利用古典概型的概率计算公式，可判定A正确，B不正确；设次传球后球在甲手上为，则有，令，利用相互独立事件的概率及条件概率的公式，得到，得到数列是等比数列，进而求得的通项公式，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结构为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4个结果，且它们等可能，其中2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2个结果，所以概率为，所以A正确；
对于B中，3次传球后的所有结果为：
甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，且它们等可能，
其中3次传球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3个结果，
所以3次传球后球在乙手上的概率是，所以B不正确；
设次传球后球在甲手上的事件为，则有，
令，则，
所以，
所以，则，
因为第一次有甲传球后，求不可能在甲手中，所以，则，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
因为，可得，所以，所以D正确；
当时，可得，所以C正确.
故选：ACD.
三、填空题
20．（24-25高二下·浙江·期中）设随机事件，已知，，，则______．
【答案】/0.25
【分析】直接利用条件概率求解即可
【详解】
故答案为：
21．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则________
【答案】
【分析】利用古典概型及条件概率公式计算即可.
【详解】易知，
，即，
所以.
故答案为：
22．（23-24高二下·浙江温州·期中）一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则______．
【答案】/0.3125
【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可.
【详解】由题意，，
所以.
又，
所以，
所以.
故答案为：
23．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知事件，满足，，，则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】化简题干信息得出，再设，，进而得出，构造关于的函数求值域即可.
【详解】因
，
则，即，
设，，
则，，
则
，
令，，
此为开口朝下的一元二次函数，
则当上单调递增，在上单调递减，
（）
因，，，
则，故的取值范围是
故答案为：
四、解答题
24．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可；
（2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，，
由全概率公式，得
.
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是乙厂生产的概率为
.
25．（23-24高二下·浙江台州·期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；
(2)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题设的可能值为，并计算出对应概率即得分布列，进而可求数学期望.
（2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意，的可能值为.
，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，
则，
，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：.
26．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出甲箱中任取2个产品和这2个产品只有1个是次品的方法数，然后根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果.
【详解】（1）令事件“这2个产品只有1个是次品”， ；
（2）令事件“从乙箱取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，则两两互斥，且，
则，，
则
27．（24-25高二下·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，结合，即可求解；
（2）（i）因为是对立事件，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解；
（ii）由（i）得到，第次独立试验结束的概率为，结合条件的概率的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件．
则，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）解：（i）因为是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
（ii）由（i）得，
设为第次独立试验结束的概率，则
所以设题设概率为，则.
28．（24-25高二下·浙江·期中）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
(1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
(2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号 第1题 第2题 第3题
得分 2分 4分 6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅰⅰ）
(2)
【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算.
（ii）运用贝叶斯公式进行计算.
（2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率.
【详解】（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
29．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率；
(3)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，，利用全概率公式及条件概率的概率公式计算可得；
（3）记事件=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为，再利用全概率计算可得.
【详解】（1）记“这个产品都是次品”为事件，则.
（2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，则“第次从乙箱中取到正品”，，
则，，，，
因此，
所以.
（3）令事件=“从乙箱取一个正品”，
事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且，
，，
则
，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是.
30．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
(1)它是第1台机床生产的概率是多少
(2)它是次品的概率是多少．
(3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大 用具体数据说明．
【答案】(1)
(2)0.048
(3)3，说明见解析
【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得答案；
（2）根据全概率公式，即可求得答案；
（3）根据贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论.
【详解】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，
它是第1台机床生产的概率；
（2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，
，
，
现任取一个零件，它是次品的概率
（3），
，
，
而，所以它是第3台机床生产的可能性最大．
31．（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为.
(1)求，，的大小；
(2)求概率，，满足的关系式；
(3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值.
【答案】(1)，，
(2)
(3)的最大值为，最小值为
【分析】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得；
（2）由全概率公式即可得解；
（3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解.
【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”，
则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”，
易得，，故
，；
（2）；
（3）由（2）有，即，（，）
所以，即，
设，解得，.
所以为等比数列，公比为的等比数列，
所以，所以，
当n为偶数时，，由于单调递减，
∵，∴最大值为；
当n为奇数时，，由于单调递增，
∵，∴最小值为；
综上，的最大值为，最小值为.
(
地
城
考点02
随机变量及其分布列
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量，满足，且，则（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【分析】根据，之间的关系计算即可求得结果.
【详解】由可得，
所以.
故选：C.
2．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.
【详解】.
故选：D.
3．（22-23高二下·浙江·期中）随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得.
【详解】因为，
所以，，，，
则，解得，
所以，，
所以.
故选：A
二、多选题
4．（23-24高二下·浙江·期中）随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值．
【详解】解：随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P a b c
，且a，b，①
，b，c成等差数列，
，②
联立①②，得，，
所以，
，
可以为 ，， ，
故选：ABC
三、填空题
5．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列，则______．
【答案】/
【分析】根据分布列的性质概率之和为可求.
【详解】已知（），
则由分布列的性质可得
，
解得，
故答案为：.
6．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是________人．
【答案】7
【分析】设该兴趣小组的人数是，再求出分布列计算即可.
【详解】由题意，可能的取值为0，1，2，
设该兴趣小组的人数是，，则
，，
故，即，则，
故，即，因为为整数，故.
故答案为：7
四、解答题
7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
(1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
(2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)公平，理由见解析
【分析】（1）首先判断奇函数的个数，则的可能取值为、、、、、、，求出相应的概率，即可求出分布列；
（2）得到、为奇函数，其余只能由奇函数奇函数得到奇函数，利用组合数公式及古典概型的概率公式计算可得；
（3）计算甲赢的概率，即可判断.
【详解】（1）由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率；
（3）游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
8．（24-25高二下·浙江·期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用表示编号与盒子编号相同的小球数，求的分布列．
【答案】答案见解析
【分析】由题可知可取0,1,2,4，分别求得对应概率即可求解分布列．
【详解】由题可知，可取0,1,2,4，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 4
9．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．
(1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．
(2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”,利用条件概率公式能求出小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率
(2)X的可能所有取值为:1,2,3,4,5分别求出相应的概率,由此能求出的分布列即可.
【详解】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则
．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 .
（2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5．
，
，
，
，
，
则X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
10．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；
（2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列.
【详解】（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
(
地
城
考点0
3
离散型随机变量的数字特征
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江丽水·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分的均值是（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.16 D．0.5
【答案】B
【分析】根据期望公式计算可得.
【详解】依题意可得，，
所以.
故选：B
2．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列如图，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率之和为1得，即可根据期望的公式即可求解.
【详解】由表可得，故，
故，
故选：D
3．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3，
，，
，，
所以．
故选：A
4．（23-24高二下·浙江·期中）若随机变量满足，其中为常数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意，求得，结合方差的公式，即可求解.
【详解】因为随机变量满足，其中为常数，
所以 ，所以.
故选：A.
5．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列分别为
-2 -1 0 1 2
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
-2 -1 0 1 2
0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的期望和方差公式即可得到答案.
【详解】由题意知，
,
，
.
故选：B.
6．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表：
0 1 2
若，则（ ）
A． B．5 C．7 D．21
【答案】D
【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值.
【详解】由题意：.
所以.
所以.
故选：D
7．（24-25高二下·浙江·期中）某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（ ）
（参考数据：）
A．18 B．22 C．26 D．30
【答案】A
【分析】设逐份化验方式，样本需要检测的总次数，设混合化验方式，每组样本需要化验的次数为(可能取值为1，11)，求得均值，，根据，列不等式并求解式即可确定正确答案.
【详解】设逐份化验方式，样本需要检测的总次数，则，
设混合化验方式，每组样本需要化验的次数可能取值为1，11．
，，
，
所以100组的化验次数的均值为
要使得混合化验方式优于逐份化验方式，需，
即，即，即，
又，，
，．
故选：A.
8．（24-25高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1
其中满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分布列的性质得，再利用期望、方差的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，可得，
则，
而
，则当时，.
故选：B.
9．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质、期望和方差公式，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意，a，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确；
对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确；
对于C，，所以C错误；
对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确．
故选：C.
10．（24-25高二下·浙江宁波·期中）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知列举出所有的可能值并得到，，进而求出它们的期望和方差，即可得.
【详解】由题设，（无序）可能情况有、、、、、，
分别依次对应（无序）有、、、、、，
所以，上述情况对应依次为、、、、、，
所以，，
故，，
，，
所以.
故选：B
二、多选题
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 5
P a 2a
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，由概率之和为1即可计算求解a；对于B，由均值公式直接计算即可求解判断；对于C，由方差公式直接计算即可求解判断；对于D，由均值性质直接求解判断.
【详解】对于A，由题意得，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，故D错误；
故选：BC
12．（24-25高二下·浙江温州·期中）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由分布列性质求得，再由求概率判断A、B，均值和方差的求法求判断C，由期望和方差的性质求判断D.
【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对；
对于B，由，故B对；
对于C，，
，故C对；
对于D，所以，故D错.
故选：ABC
13．（24-25高二下·浙江·期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当时，则
D．当时，该学生只随机选1个选项时得分表现更优
【答案】ABD
【分析】分别计算出X和Y不同情况下的概率，再求出数学期望，逐项进行计算即可求得.
【详解】由条件可知，X的所有可能取值为0，2，3，
，
，
，所以，
Y的所有可能取值为0，4，6，
，
，
，所以，
若，则，选项A正确；
若，，选项B正确；
无论p为何值，，选项C错误；
当时，，所以该学生只随机选1个选项时得分表现更优，选项D正确.
故选：ABD.
14．（24-25高二下·浙江·期中）高考数学新课标I卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分；若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意依次写出各随机变量的取值，并求出各取值的概率，再结合均值和方差公式计算均值和方差即可判断各选项.
【详解】由题X可取0，2，3；Y可取0，4，6；Z可取0，6.
则，，；
，，；
，.
所以，
，，
，，
，，
所以，，
，，
所以，
故选项ABD正确，选项C错误.
故选：ABD
15．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
【答案】ABD
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
16．（24-25高二下·浙江衢州·期中）甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（ ）
A．“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为
B．“在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为
C．“首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为
D．“甲先掷出点”的概率为
【答案】ABD
【分析】利用古典概型的概率公式可判断AB选项；设首次连续两次出现点的期望次数为，结合题意分析得出关于的方程，解出的值，可判断C选项；求出“甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点”的概率，结合等比数列的求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为，A对；
对于B选项，在甲掷出点后，乙下一次掷出点不受前面的影响，其概率为，B对；
对于C选项，设首次连续两次出现点的期望次数为，分两种情况分析：
若第一次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为，
若第一次掷出点，第二次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为，
若第一次、第二次都掷出点，则期望次数为，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点，
设其概率为，则，所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
数列的前项和为，
当时，，即“甲先掷出点”的概率为，D对.
故选：ABD.
三、填空题
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
【答案】/0.8
【分析】由题意可得随机变量的所有可能取值为0,1,2，然后求出各自对应的概率，即可求出的分布列，从而求出数学期望.
【详解】由题意可得，随机变量的所有可能取值为0,1,2，
，
，
因此的分布列为：
0 1 2
,
故答案为：.
18．（23-24高二下·浙江·期中）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.
【答案】
【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.
【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择，
故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点；
当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，
则满足的个数为.
所以.
故分布列为：
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率.
四、解答题
19．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）盒子中装有4个红球，2个白球.
(1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率；
(2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率；
（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值.
【详解】（1）设“第一次取到红球”，“第二次取到白球"，
第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，
则；
（2）的可能取值为.
所以，，
故分布列为
0 1 2
.
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
(2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型计算概率，利用对立事件的概率计算，可得答案；
（2）由题意明确随机变量的所有取值，根据分布列的计算步骤，结合均值的计算，可得答案.
【详解】（1）从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，
设“4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，
且，所以.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（1）得，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
21．（23-24高二下·浙江杭州·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
(2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由．
【答案】(1)
(2)不会，活动预算的期望为.
【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出，即可得解.
【详解】（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
22．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.
（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可.
【详解】（1）设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以,
所以，所以乙的得分能力更强.
23．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率；
(2)已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解即可；
（2）写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手”为事件A，
，
设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手来自团体”为事件，
则团体选择非种子选手，
，
故选出的4名运动员中恰有2名种子选手，这2名种子选手来自团体的概率为；
（2）由于，所以共有3名种子选手，可取的值为0，1，2，3，
，，
，，
随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
.
24．（23-24高二下·浙江·期中）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
(2)取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
(3)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)均值为，方差为
(3)
【分析】（1）注意取出的一次性筷子的双数为1时是有序的.为2 的时候注意第一双一次性筷子已扔掉.
（2）由（1）的分布列及期望方差公式即可得到结果.
（3）根据条件概率即可求得答案.
【详解】（1）记取出的一次性筷子的双数为，则的可能取值为0，1，2.
则的分布列为
0 1 2
（2）由（1）知
（3）记第2次取出的是非一次性筷子为事件，第1次取出的是一次性筷子为事件，
则，，
则==.
25．（23-24高二下·浙江·期中）袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
(1)任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
(2)任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得，即可利用超几何分布的概率公式求解，
（2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解期望即可.
【详解】（1），得,
故黑球3个，红球5个，白球2个，
事件：取出的3球中恰有2球同色，则
（2）.
的概率分布列
-2 -1 0 1 2 4
.
26．（23-24高二下·浙江·期中）每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数．
(1)举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列；
(2)同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为．
①求同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的均值．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①；②
【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可；
（2）①设出事件，分析可能的情况，并求出概率即可；②写出可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望.
【详解】（1）由题意知：可能取，
，，
，.
所以的分布列为：
X
P
（2）①设“同学停止答题时答对题数为”为事件，
“同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件，
“同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件，
则；；
所以.
②由同学停止答题时答对题数为，
设事件“第次选中竞赛题没答对”；“第次选中竞赛题并答对”；
“第次选中高考题”.
答题结束时答对 2 题的概率为
，
易知可能取，
；
；
.
的分布列为：
0 1 2
P
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得的分布列，从而得解.
27．（23-24高二下·浙江·期中）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；
(2)求第轮比赛甲轮空的概率；
(3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
【答案】(1)
(2)
(3)局
【分析】（1）根据条件概率公式求解；
（2）设事件“第轮甲轮空”，由全概率公式可得的递推公式，利用构造法得的通项公式；
（3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则，前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则，分别求出和的期望，即可求解.
【详解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有：{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}，
设“甲在第i轮获胜”，则；
（2）设事件“第轮甲轮空”，则，
，
，
；
（3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则，
， ，
， ，
前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则
，
，
，
局胜的局数为:（局）.
28．（24-25高二下·浙江杭州·期中）“田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有匹马，田忌有匹马，且这匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：
①且；
②且．
这里，表示“马与马比赛，马获胜”．一天，齐王找田忌赛马，约定：每局比赛双方各出一匹马，比赛过的马不能再次上场，共赛局，并记田忌在局比赛中获胜局数为．
(1)求的分布列与期望；
(2)分别求的通项公式；
(3)求证：．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）首先分析出的可能取值，再写出分布列再计算数学期望即可；
（2）分类计算；；
（3）应用随机变量的数学期望的公式计算，作差证明即可.
【详解】（1）
0 1 2
所以．
（2）记，
不妨将视为平面上个不同的点，作线段当且仅当出现在同一局，
则局比赛不论先后顺序，比完后的对阵可记为集合，
由比赛规则可知，，即为的一个排列，
也即为到的一个一一对应，这样的总共有种取法．
所以即，，也即。故．
记下到的一一对应的取法恰有种．下面且，
任取到的一一对应，
其中为的一个排列．当给定时，
则取或，则为到的一一对应，恰有种．
又考虑的取法恰有种，则的取法共有种．所以所得恰为全体到的一一对应．注意到，，且．
这样，若满足，则满足或．故满足当且仅当满足或．
（ⅰ）若满足，则满足当且仅当，其中且．
此时，当给定时，恰有种取法；又恰有种取法，则该情形下共有种取法．
（ⅱ）若满足，则满足当且仅当或，
其中且．此时，当给定时，恰有种取法；又恰有种取法，则该情形下共有种取法．
综合（ⅰ）（ⅱ），。
所以，即。
进而有，．又，得，即。
故，，
记，则，
即，
得，
也即．
（3）记．任取到的一个一一对应，其中田忌赢的局数为，
这样，
其中代表全体到的一一对应，
上式分子中，每个出现的次数为，又当固定时，当且仅当．所以，全体中取1的项共有．
这样．
又，得．
29．（23-24高二下·浙江杭州·期中）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
(1)写出的分布列并计算；
(2)某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)50
(3)，理由见解析
【分析】（1）第一问就是用相互独立事件同时发生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可计算出结果；
（2）第二问关键是看懂题意，即甲口袋中黑球个数为0个时，，甲口袋中黑球个数不为0个时，，所以要想数列的前100项和最大，则尽最大可能让甲口袋中黑球个数为0，从而得到问题的解法及结果；
（3）第三问关键是找到第次交换球后的概率与第次交换球后的概率关系，有了第次交换球后的概率分布，就可以计算第次甲口袋中黑球期望与第次的期望关系，从而构造成等比数列求出，再用极限思想就可以得到结果.
【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.
从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，
记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，
则，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
即；
（2）根据题设可得不可能同时为1，故，
由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，
这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，
我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，
这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；
（3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率，
则，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的递推关系：，
变形构造为：，由(1)得，所以，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为.
【点睛】方法点睛：本题创新在第二问数列求和的最大值，看似是一个很难很麻烦的问题，但我们能构理解题意，找到问题可能发生的结果，甚至不用计算，就能得到结果。关键就是在于问题的分析能力.
而第三问就重在能找到一个递推关系，而期望是必须研究甲口袋中的黑球个数取时的概率分布列，所以由此想找到的是概率递推关系，从而就可以不断深入研究期望的递推关系，从而解决问题，这个题的亮点就是与数列的递推综合来解决概率问题.
(
地
城
考点0
4
二项分布与超几何分布
)
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式即可求解.
【详解】一枚骰子，出现6点的概率为，
则在30次试验中成功的次数X服从,
故均值为,
故选：C
2．（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，
从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：，
故选：B
3．（23-24高二下·浙江温州·期中）一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分的数学期望等于（ ）
A．5分 B．4.8分 C．4.6分 D．4.4分
【答案】B
【分析】按白球的个数分类，然后换算成得分可能性，计算相应的概率，再用公式求出期望即可.
【详解】设三个白球编号为，黑球编号为，
表示取到个白球，则，
所有取法为种，
则，，，
的可能取值为，
所以，
总得分的数学期望等于分，
故选：B.
4．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案．
【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为，
则的可能取值是0，1，2，3，
则，
，，
故随机变量的概率分布列为：
0 1 2 3
则数学期望为：，
方差为：；
试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，
故，，
故，．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高二下·浙江·月考）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用二次分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由随机变量满足，且，可得，解得，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，因为，即，可得，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：BCD.
6．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】据二项分布的概率公式可判断A，据方差和均值的计算和性质可判断剩余选项.
【详解】因为，则，
，A选项错误；
，，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：.
7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（ ）
A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则
B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则
C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则
D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则
【答案】ABD
【分析】根据独立事件概率乘法公式求解判断A，利用超几何分布列的概率求解判断B，由二项分布的方差公式及方差性质求解判断C；求出的所有可能取值并求出概率，再由公式求得即可判断D.
【详解】对选项A，若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，
则，故A正确；
对选项B，若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，
则，故B正确；
对选项C，若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，记摸到红球次数为X，
则，摸到黄球次数为，则，
所以，故C错误；
对选项D，若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，
则的可能取值为3，4，5，6，7，
则，，，，，
则，故D正确；
故选：ABD
8．（23-24高二下·浙江·期中）下列说法中正确的有（ ）
A．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
B．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
C．设随机变量，则，
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4
【答案】AD
【分析】对A，根据二项分布概念特点即可判断；对B，根据二项分布的期望和方差公式即可判断；对C，有期望和方差的性质即可判断；对D ，将线性方程化回原模型即可判断.
【详解】对A，根据二项分布概念可知，故A正确；
对B，随机变量X服从二项分布，若，，
则，解之可得，故B不正确；
对C，随机变量，所以，
所以，，故C错误；
对D，当，，对比可知，故D正确.
故选：AD
9．（24-25高二下·浙江·期中）已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ）
A． B．，其中
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据二项分布、超几何分布的相关概念及性质，分别计算出、的概率、期望和方差，再逐一分析选项.
【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，
摸次球，则取得红球个数，
所以，故选项A正确.
选项B，方案一中，，.
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，，
则，.
当时，，，
所以，故选项B错误.
选项C，，，所以，故选项C正确.
选项D，，
.
可得，即，故选项D正确.
故选：ACD.
10．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，黑球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为
B．若第一次试验抽到一个黑球，则第二次试验后，试验者手中有黑白球各1个的概率为
C．经过7次试验后试验停止的概率为
D．经过7次试验后试验停止的概率最大
【答案】AB
【分析】利用条件概率公式计算判断AB；利用独立重复试验的概率公式计算判断C；设实验次结束的概率为，令，由C项化简得即可判断D.
【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则，
从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到黑球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到黑球”，
对于A，，，
经过两次实验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为：
，A正确；
对于B，第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率为：，B正确；
对于C，实验7次结束，则前6次有4次硬币正面朝上，第7次硬币正面朝上，
则其概率为：，C错误；
对于D，实验次结束的概率为，则，，
令，得化简可得，解得，即，
所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点睛：解决试验终止时概率最大问题关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项即可.
三、填空题
11．（24-25高二下·浙江台州·期中）随机变量，则__________．
【答案】
【分析】应用二项分布期望公式计算求解.
【详解】随机变量，则．
故答案为：.
12．（24-25高二下·浙江·期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则_____.
【答案】0
【分析】根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列，进而计算期望.
【详解】设该同学抽到能背诵的得分，的可能取值为，
所以，
，，
则的分布列为：
0 2
所以.
四、解答题
13．（24-25高二下·浙江丽水·期中）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为.
(1)求的期望和方差；
(2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式计算可得；
（2）根据、求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意，
所以，.
（2）因为，
所以，，
，，
又，
所以，，.
所以甲获胜有以下情况：，；，；，.
所以甲获胜的概率.
14．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解可得；
（2）根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望.
【详解】（1）该学生通过自主招生初试的概率，
（2）该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，
则，，，
所以的概率分布列为
2 3 4
．
15．（24-25高二下·浙江衢州·期中）为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间，，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

(1)求的值；
(2)估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数；
(3)从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为，即可求解；
（2）利用百分位数的求法，即可求解；
（3）根据条件可得，再利用二项分布的概率公式求出可能取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解.
【详解】（1）由，解得.
（2）因为，，
所以第百分位数为.
（3）从全校学生中随机选取人，则此人一周参加课后活动的时间在区间的概率为，
又的可能取值为，由题意可得，
则，
，
则的分布列为：
的数学期望.
16．（24-25高二下·浙江·期中）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y.
(1)写出随机变量X的分布列、均值及方差.
(2)求事件“”的概率.
【答案】(1)分布列见解析，，.
(2)
【分析】（1），得到分布列，利用二项分布求期望公式和方差公式求出答案；
（2）可分为四种情况，，，和，得到相应的概率，相加可得概率.
【详解】（1）由题可知随机变量服从二项分布：，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
均值为，；
（2）由题可知“”的情况可分为四类：
①时，，
②时，，
③时，，
④时，，
所以.
17．（24-25高二下·浙江·期中）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题．
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
(3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，．
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得；
（3）的可能取值是，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望，而，根据二项分布的期望公式计算可得.
【详解】（1）因为小张能全部回答正确的概率；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，
由题意知，，，
则，
所以
；
（3）已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
已知DeepSeek答对的题数为，则，
故，
所以．
18．（24-25高二下·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)求的分布列；
(2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
【答案】(1)分布列见解析
(2)能
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解，列出分布列即可；
（2）列出的分布列，求出其期望，即可得到结论.
【详解】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
19．（23-24高二下·浙江·期中）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
(1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)答案见解析
【分析】（1）根据独立重复事件概率公式，即可求解；
（2）首先确定，再根据独立事件概率公式，求分布列以及数学期望；
（3）如走线路，则遇到红灯的次数，比例两条线路遇到红灯次数的期望，即可分析并判断.
【详解】（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，
则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为．
（2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2．
，，，
故随机变量的分布列为
0 1 2
所以．
（3）设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以．
若，则，，选择路线上班更好；
若，则，，此时选择路线上班更好；
若，则，此时选择路线和路线一样．
20．（23-24高二下·浙江·期中）两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是和，每次扑点球相互独立，互不影响.
(1)甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为，试求随机变量的分布列及数学期望（用最简分数表示）；
(2)乙扑点球6次，其扑中次数为，试求的概率和随机变量的方差（用最简分数表示）.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，
【分析】（1）由题意可能的取值有0，1，2，3，再求解分布列与数学期望即可；
（2）由题意乙扑点球6次中扑中4次，根据组合数计算即可得的概率，再根据二项分布方差公式求解即可.
【详解】（1）由题意可能的取值有0，1，2，3.
，
，
，
.
故分布列：
0 1 2 3
故
（2）由题意，的概率为.
由题意，故.
21．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
(1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值；
(2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值.
【答案】(1)①；②1250次；
(2)
【分析】（1）①依题意可知，则，利用二项分布的概率公式计算可得；②由，即可得到、，结合切比雪夫不等式计算可得；
（2）依题意可得，根据二项分布的概率公式计算，求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）①由题意，
所以.
；
②由题意，则，，
若，则，
所以，
又，解得，即发射次数至少为次.
（2）依题意，
则，
，
，解得，
，解得，
又，所以当时，最大.
22．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为．
(1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望；
(2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；
(3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）方法一，先列出甲在第一个月的得分的所有可能，再按照重伯努利实验计算出概率，写出分布列，求出数学期望即可；方法二，分析出甲的4节课中优秀的节数服从二项分布，且，再按照期望的性质计算即可；
（2）分别求出甲乙在第一个月的得分不少于6分，即的概率，再按照相互独立事件概率公式求解即可；
（3）先分析出乙得分为21分有3种情况，并分别求出概率，从而得到乙一共获得21分的概率，再求出乙获得21分的同时他在第二个月获得8分的概率，再用条件概率的公式计算即可.
【详解】（1）方法一：记甲在第一个月的得分为，则的取值为4，5，6，7，8，
则，
，
，
，
，
所以甲第一个月得分的分布列为：
4 5 6 7 8
；
方法二：设甲的4节课中优秀的节数为，
则且
则；
（2）记事件为“甲、乙第二个月可以一起选择其他兴趣课”，
设甲在第一个月的得分为，
则，
设乙在第一个月的得分为，设乙的4节课中优秀的节数为，
则且，
所以，，
，
所以；
4 5 6 7 8
（3）记事件B为“乙在三个月后得分为21分”，
事件为“乙在第2个月的得8分”
乙得分为21分共有3种情况：
① 8+8+5，这种情况的概率，
② 8+7+6，这种情况的概率，
③ 7+7+7，这种情况的概率，
所以，
，
则.
(
地
城
考点0
5
正态分布
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：C
2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率近似为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.
【详解】，
则.
故选：D.
3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（ ）
A．200 B．400 C．2800 D．2000
【答案】B
【分析】由正态分布的对称性可知成绩在90分及以上的学生人数占总人数的一半，减去成绩在的学生人数即为成绩在100分以上的学生人数.
【详解】由题意可知该正态分布的均值为90，由正态分布的对称性可知，
即成绩在90分及以上的学生人数约为，
因为成绩在的学生人数约为1600，
故估计成绩在100分以上的学生人数为.
故选：B.
4．（24-25高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项.
【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线.
由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确.
故选：D.
5．（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（ ）
附：若，则，.
A．23 B．46 C．159 D．317
【答案】A
【分析】计算出，结合，得到答案.
【详解】，故，
又，故，
，
所以估计不合格的学生人数约为23人.
故选：A
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③
A．这次考试成绩超过100分的约有1000人
B．这次考试分数低于70分的约有40人
C．
D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
【答案】D
【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D.
【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错；
低于分的概率为，所以大约有人，故B错；
，故C错；
分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对.
故选：D.
7．（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质和原则判断即可.
【详解】随机变量服从正态分布，则，
，
当时， ，
，
当变小时，与的值不变，则、都不变，
故选：C.
8．（23-24高二下·浙江金华·期中）下列说法错误的个数为（ ）
①已知，若，则
②已知，则
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解概率判断①，根据二项分布期望和方差公式求解判断②，根据古典概率公式求解概率判断③.
【详解】对于①，因为，，所以，
所以，正确；
对于②，随机变量，则，，错误；
对于③，投掷一枚均匀的硬币5次，正面向上不少于3次的有，5次正面向上只有1种，故所求概率为，正确.
故错误的个数为1.
故选：B
9．（23-24高二下·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水 种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布．
参考数据：．下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的标准差是
C．该地水 亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
【答案】C
【分析】根据判断A、B，根据正态曲线的对称性求出相应的概率，即可判断C、D.
【详解】依题意，即该地水稻的平均亩产量是，标准差是，故A、B正确；
又，，
所以，
则该地水 亩产量超过的约占，故C错误；
又，
所以该地水稻亩产量低于的约占，故D正确.
故选：C
10．（23-24高二下·浙江·期中）某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质求出，记这艘轮船能正常航行10年以上为事件，再根据互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为，则，，又，
即，
所以，即，
记这艘轮船能正常航行10年以上为事件，
则，即这艘轮船能正常航行年以上的概率约是.
故选：D
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，
则，
所以，且，，即，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：C.
12．（23-24高二下·浙江宁波·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，且，则
C．若，，则的最小值为4
D．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，相等
【答案】D
【分析】根据二项分布的方差公式，判断A；根据正态分布的对称性可判断B；利用基本不等式判断C；利用二项分布的方差及超几何分布的期望和方差计算，判断D.
【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确；
对于B，若随机变量，且，
则，故B正确；
对于C，由，，可得，
当且仅当，即或时，等号成立，故C正确；
对于D，若是有放回的抽取，则，
则，；
若是无放回的抽取，则可能取，，，，
其对应的概率为，，
，，
，
，由此可知D错误；
故选：D.
二、多选题
13．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用正态分布曲线的概念和性质即可分析求解各选项.
【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误；
对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确；
对于C，

根据正态分布曲线，显然成立，故C正确；
对于D，由，则，所以，故D正确；
故选：BCD.
14．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 随机变量及其分布列
5大高频考点概览
考点01 条件概率与全概率公式
考点02 随机变量及其分布列
考点03 离散型随机变量的数字特征
考点04 二项分布与超几何分布
考点05 正态分布
(
地
城
考点01
条件概率与全概率公式
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球 B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）甲盒中装有2个红球，2个白球，乙盒中装有2个红球，3个白球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒中，再从乙盒中随机取出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙命中目标的概率为0.6.已知目标恰被命中1次的条件下，是甲命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·浙江宁波·期中）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，，则在的条件下，恰有2个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·浙江杭州·期中）深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
11．（24-25高二下·浙江杭州·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高二下·浙江杭州·期中）连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二下·浙江杭州·期中）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立 D．若，则
15．（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高二下·浙江台州·期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高二下·浙江·期中）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与C互斥 D．事件A与B相互独立
18．（24-25高二下·浙江·期中）有大小、形状、质地完全相同的白色、黄色、蓝色小球各3个，红色小球1个，并且将这个红色小球命名为“幸运A9球”，现将这10个小球装在一个盒子里，依次任取3个小球，则下列说法正确的是（ ）
A．“幸运A9球”被选中的概率为
B．每次取后再放回，则第3次才取到“幸运A9球”的概率
C．每次取后不放回，则第3次取到“幸运A9球”的概率最大
D．记事件为“幸运A9球”被选中，事件为“取得的3个小球不同色”，则
19．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于
三、填空题
20．（24-25高二下·浙江·期中）设随机事件，已知，，，则______．
21．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则________
22．（23-24高二下·浙江温州·期中）一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则______．
23．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知事件，满足，，，则的取值范围是_____.
四、解答题
24．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
25．（23-24高二下·浙江台州·期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；
(2)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.
26．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率.
27．（24-25高二下·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．
28．（24-25高二下·浙江·期中）在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
(1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
(2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号 第1题 第2题 第3题
得分 2分 4分 6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
29．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率；
(3)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率．
30．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
(1)它是第1台机床生产的概率是多少
(2)它是次品的概率是多少．
(3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大 用具体数据说明．
31．（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为.
(1)求，，的大小；
(2)求概率，，满足的关系式；
(3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值.
(
地
城
考点02
随机变量及其分布列
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量，满足，且，则（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
2．（23-24高二下·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二下·浙江·期中）随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二下·浙江·期中）随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ）
A． B． C． D．
X 0 1
P a b c
三、填空题
5．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列，则______．
6．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是________人．
四、解答题
7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
(1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
(2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
8．（24-25高二下·浙江·期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用表示编号与盒子编号相同的小球数，求的分布列．
9．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．
(1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．
(2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．
10．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
(
地
城
考点0
3
离散型随机变量的数字特征
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江丽水·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分的均值是（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.16 D．0.5
2．（24-25高二下·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列如图，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（23-24高二下·浙江·期中）若随机变量满足，其中为常数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
5．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列分别为
-2 -1 0 1 2
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
-2 -1 0 1 2
0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表：
0 1 2
若，则（ ）
A． B．5 C．7 D．21
7．（24-25高二下·浙江·期中）某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（ ）
（参考数据：）
A．18 B．22 C．26 D．30
8．（24-25高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1
其中满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．（24-25高二下·浙江宁波·期中）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 5
P a 2a
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高二下·浙江温州·期中）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2
A． B．
C． D．
13．（24-25高二下·浙江·期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当时，则
D．当时，该学生只随机选1个选项时得分表现更优
14．（24-25高二下·浙江·期中）高考数学新课标I卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分；若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
16．（24-25高二下·浙江衢州·期中）甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（ ）
A．“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为
B．“在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为
C．“首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为
D．“甲先掷出点”的概率为
三、填空题
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
18．（23-24高二下·浙江·期中）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.
四、解答题
19．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）盒子中装有4个红球，2个白球.
(1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率；
(2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值.
0 1 2
20．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
(2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
21．（23-24高二下·浙江杭州·期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
(2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由．
22．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
23．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率；
(2)已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望.
24．（23-24高二下·浙江·期中）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
(2)取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
(3)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
25．（23-24高二下·浙江·期中）袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
(1)任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
(2)任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望.
26．（23-24高二下·浙江·期中）每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数．
(1)举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列；
(2)同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为．
①求同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的均值．
27．（23-24高二下·浙江·期中）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.
(1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；
(2)求第轮比赛甲轮空的概率；
(3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
28．（24-25高二下·浙江杭州·期中）“田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有匹马，田忌有匹马，且这匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：
①且；
②且．
这里，表示“马与马比赛，马获胜”．一天，齐王找田忌赛马，约定：每局比赛双方各出一匹马，比赛过的马不能再次上场，共赛局，并记田忌在局比赛中获胜局数为．
(1)求的分布列与期望；
(2)分别求的通项公式；
(3)求证：．
29．（23-24高二下·浙江杭州·期中）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.
(1)写出的分布列并计算；
(2)某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；
(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.
(
地
城
考点0
4
二项分布与超几何分布
)
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．6
2．（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江温州·期中）一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分的数学期望等于（ ）
A．5分 B．4.8分 C．4.6分 D．4.4分
4．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高二下·浙江·月考）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（ ）
A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则
B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则
C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则
D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则
8．（23-24高二下·浙江·期中）下列说法中正确的有（ ）
A．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
B．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
C．设随机变量，则，
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.4
9．（24-25高二下·浙江·期中）已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ）
A． B．，其中
C． D．
10．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，黑球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为
B．若第一次试验抽到一个黑球，则第二次试验后，试验者手中有黑白球各1个的概率为
C．经过7次试验后试验停止的概率为
D．经过7次试验后试验停止的概率最大
三、填空题
11．（24-25高二下·浙江台州·期中）随机变量，则__________．
12．（24-25高二下·浙江·期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则_____.
四、解答题
13．（24-25高二下·浙江丽水·期中）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为.
(1)求的期望和方差；
(2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率.
14．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
15．（24-25高二下·浙江衢州·期中）为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间，，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

(1)求的值；
(2)估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数；
(3)从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望．
16．（24-25高二下·浙江·期中）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y.
(1)写出随机变量X的分布列、均值及方差.
(2)求事件“”的概率.
17．（24-25高二下·浙江·期中）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题．
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
(3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小．
18．（24-25高二下·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)求的分布列；
(2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
19．（23-24高二下·浙江·期中）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
(1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好．
20．（23-24高二下·浙江·期中）两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是和，每次扑点球相互独立，互不影响.
(1)甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为，试求随机变量的分布列及数学期望（用最简分数表示）；
(2)乙扑点球6次，其扑中次数为，试求的概率和随机变量的方差（用最简分数表示）.
21．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
(1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值；
(2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值.
22．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为．
(1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望；
(2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；
(3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．
(
地
城
考点0
5
正态分布
)
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率近似为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（ ）
A．200 B．400 C．2800 D．2000
4．（24-25高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
5．（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（ ）
附：若，则，.
A．23 B．46 C．159 D．317
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③
A．这次考试成绩超过100分的约有1000人
B．这次考试分数低于70分的约有40人
C．
D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
7．（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
8．（23-24高二下·浙江金华·期中）下列说法错误的个数为（ ）
①已知，若，则
②已知，则
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（23-24高二下·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水 种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布．
参考数据：．下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的标准差是
C．该地水 亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
10．（23-24高二下·浙江·期中）某种型号的发动机每台的使用寿命（单位:年）服从，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二下·浙江宁波·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，且，则
C．若，，则的最小值为4
D．若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，相等
二、多选题
13．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
14．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高二下·浙江丽水·期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知随机变量的分布列为，则
16．（24-25高二下·浙江台州·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．若随机变量的方差，则
C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则
D．若随机变量服从二项分布，且最大，则
三、填空题
17．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．
18．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则________．
19．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差的概率不小于0.9545，则至少需要测量的次数是__________（若，则）.
20．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______．
21．（24-25高二下·浙江·期中）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为______．
参考数据：若，则：；；．
四、解答题
22．（23-24高二下·浙江·期中）某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：
成绩（分）
人数 6 28 30 32 4
(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分（同一组中数据用该组区间的中点值代替）；
(2)在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间内的概率；
(3)以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，按比例前的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号.
参考数据：若，则，
.
23．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试的成绩，且所有得分都是整数．
(1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差；
(2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）
(3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则；；．
24．（23-24高二下·浙江·期中）某手机销售商为了了解一款手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差．
(1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率；
(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为的概率为，
（ⅰ）求的值，并证明：数列是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量，则，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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