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专题04 导数综合
5大高频考点概览
考点01 利用导数求切线方程
考点02利用导数研究函数的单调性
考点03利用导数求函数的极值和最值
考点04 利用导数研究函数零点问题
考点05 利用导数研究恒成立问题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
2．(24-25高二下·江西抚州金溪县第一中学·期中)已知函数．
(1)求的导函数；
(2)求在处的切线方程．
3．(24-25高二下·江西景德镇乐平第三中学·期中)已知函数及其导函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
4．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知二次函数，其图象过点，且．
(1)求的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程．
5．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标；
(3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值．
6．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)当时，求的解集；
(3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系．
1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
2．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围．
5．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在上的最小值是，求的值.
1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数，为的导函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值.
+ - +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
2．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
x
－ 0 ＋
递减 极小值 递增
3．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的最大值.
5．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
6．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最值.
7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
1．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)设函数，且．
(1)若的图象与相切，求的值；
(2)在（1）的条件下，若有三个零点，求的取值范围．
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
3．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知，函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值.
3．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数.
(1)求的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
4．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．
5．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围.
6．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若恒成立，求的值.
7．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数 .
(1)求函数的单调区间.
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值.
8．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，其中，
(1)求的最小值；
(2)若，求的取值集合；
(3)若，其中，求的最大值．
9．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知（其中为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)当时，判断是否存在极值，并说明理由；
(3)，求实数的取值范围.
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专题04 导数综合
5大高频考点概览
考点01 利用导数求切线方程
考点02利用导数研究函数的单调性
考点03利用导数求函数的极值和最值
考点04 利用导数研究函数零点问题
考点05 利用导数研究恒成立问题
1．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.
2．(24-25高二下·江西抚州金溪县第一中学·期中)已知函数．
(1)求的导函数；
(2)求在处的切线方程．
【详解】（1），.
（2）由（1）可知在处的导数为，
又因为，
故在处的切线方程为，整理得．
3．(24-25高二下·江西景德镇乐平第三中学·期中)已知函数及其导函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.
【详解】（1）令，得即，
由求导可得，
令，可得，即.
所以，则.
（2）设切点为，因为，所以，
所以切线方程为.
因为切线恰好经过坐标原点，所以，解得.
所以切线方程为，即.
4．(24-25高二下·江西赣州全南中学·期中)已知二次函数，其图象过点，且．
(1)求的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程．
【详解】（1）由题意可得，即为，
又，可得，
解得．
（2）由（1）知，
则，
则曲线在处的切线斜率为，
又∵，∴切点为，
则曲线在处的切线方程为，即为．
5．(24-25高二下·江西进贤县第二中学等多校联考·期中)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标；
(3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值．
【详解】（1）因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为.
（2）切线即为，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，即，
可得，消去可得，
且，则，可得，，
所以切点坐标为.
（3）由（1）可知：，，
构建，
可知的定义域为，且，
可得曲线C在点P处的切线斜率
当且仅当，时，等号成立，
所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为.
6．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)当时，求的解集；
(3)若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系．
【详解】（1）由，，
令，得或，由于，则，
令，解得或，
所以的单调增区间为和.
（2）当时，，且，
又，即在上单调递增，
所以的解集为.
（3）设，，，且，，
曲线在点处切线斜率为，
两点连线斜率为
，
，
令，则，
令，，
则，令，
，即在上单调递减，
，即，
所以在上单调递减，故，
，又，即，
所以，即，
所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率.
1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【详解】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
2．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【详解】（1）当时，，则，，又，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由题意得：定义域为，；
当时，，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)已知函数（）．
(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；
(2)求函数的单调增区间．
【详解】（1）解：因为，所以，
因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根，
所以，故，经检验符合题意，
所以，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
且，
所以在区间上的最小值为，
最大值为；
（2）解：，
所以 ，
因为，，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
综上可得，当时单调增区间为，；
当时单调增区间为；
当时单调增区间为，.
4．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围．
【详解】（1）由求导可得，
则，解得.
将代入得，，
令，得或；令，得.
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2）因为在上是增函数，所以在上恒成立，
分离参数可得，
当时，是增函数，所以，当时，取最小值为，
所以，则实数的取值范围是．
5．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数在上的最小值是，求的值.
【详解】（1）当时，，
，令，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
则的极小值为，无极大值.
（2），，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
则其在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3），，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若， 则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，.
1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数，为的导函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值.
【详解】（1）易知，.
可得，
令，解得，，
由得或，此时函数在和上单调递增；
由得，此时函数在上单调递减，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）函数与的变化如下表：
+ - +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，.
因此函数的极大值为，极小值为.
2．(24-25高二下·江西南昌南昌中学·期中)设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
【详解】（1）的定义域为，
，，又，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
列表如下：
x
－ 0 ＋
递减 极小值 递增
所以，无极大值.
3．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即.
（2）由（1）知，函数，定义域为，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值.
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的最大值.
【详解】（1）因为，故， 即切点坐标为，
，
故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为.
（2）易得
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以时，，
又时恒成立，
所以的最大值为.
5．(24-25高二下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【详解】（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
6．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最值.
【详解】（1）依题意，，所以，
由导数的几何意义可得，所求切线的斜率为0；
又，所以切点坐标为，
所以所求切线方程为：.
（2）由（1）知，令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故是的极小值，也是最小值.
又，
，易知
所以，
故在区间上的最大值为，最小值为1.
7．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
【详解】（1）因为，故可得 ，
令 ，可得或；
当时， ，此时在上单调递增；
当时，当时， ，单调递增；当时， ，单调递减；
当时， ，单调递增；
当时，当时， ，单调递增；当时， ，单调递减；
当时， ，单调递增.
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又， ，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
8．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以
，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
1．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)设函数，且．
(1)若的图象与相切，求的值；
(2)在（1）的条件下，若有三个零点，求的取值范围．
【详解】（1）因为，则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，可得，
又，相减得，
所以，所以，解得或（舍去）；
（2）当时，，
因为的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
当时，解得或；当时，解得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时取得极大值，当时取得极小值，
因为与有三个交点，所以，
即的取值范围为．
2．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
【详解】（1）的定义域为，则，
因，由，解得，
①当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，

令，则，由解得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故.
结合图象，可知，
当时，方程有0个实根；
当或时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根.
3．(24-25高二下·江西南昌南昌县莲塘第一中学·期中)已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
【详解】（1）因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
（3）对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有三个零点．
综上，当有两个零点时，．
1．(24-25高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1），
.
当时，，在上是单调增函数；
当时，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上是单调增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，.
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立.
令，，则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是.
2．(24-25高二下·江西南昌中学·期中)已知，函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立.求实数m的最大值.
【详解】（1）当时，，
，，
当时，，当或时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增.
在处取得极大值，
在处取得极小值.
（2）由题意，得，则，
当且仅当时，等号成立.
，解得，
所以.又恒成立，
设
所以.
令，则，即，
，，
因为，
所以在上单调递减.
所以.
所以最大的实数.
3．(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知函数.
(1)求的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
【详解】（1）依题意，，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故的极小值为无极大值.
（2）依题意，，令，
则，令，则，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，，当时，由在上单调递增，且，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
则，故，即实数的取值范围为.
（3）令，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则，
故在上单调递增，则，
故，则得证.
4．(24-25高二下·江西高安石脑中学·期中)已知函数，，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．
【详解】（1）因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得到，令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增；
当时在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即
故，在单调递增，而，
即，故.
5．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，
当时，则，在上单增，
的递增区间为；
当时，令，则；令，则.
的递增区间为，递减区间为.
（2）当时，令，，
则，，
由题意，得.
因为，
令，则；令，则，
在上递减，在上递增，
，
故
在上递增，
又，
，
实数的取值范围为.
6．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若恒成立，求的值.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，故恒成立，
因此，所以.
7．(24-25高二下·江西宜春第一中学·期中)已知函数 .
(1)求函数的单调区间.
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，方程中，，
当时，，，函数在上单调递增；
当时，，方程的二根为，
当时，，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
（2）当时，不等式等价于
，
令函数，则原不等式为，而函数在上是增函数，
依题意，，，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以的最小值为.
8．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知函数，其中，
(1)求的最小值；
(2)若，求的取值集合；
(3)若，其中，求的最大值．
【详解】（1）解：，
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
（2）恒成立，则恒成立即可
设
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，要使恒成立，即，则，
综上所述：的取值范围是．
（3）（3）已知，
则恒成立，
即恒成立，等价于恒成立，
也就是恒成立．
令，令，
易知在上单调递增，且，
所以存在，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
在上单调递减，所以
即，所以，所以，
又因为，所以的最大值为2．
9．(24-25高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知（其中为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)当时，判断是否存在极值，并说明理由；
(3)，求实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，可得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：当时，，定义域为，
可得，
令，则，
当时，；当时，，
所以在递减，在上递增，
所以，
又由，
存在使得，存在使得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以时，有一个极大值，一个极小值.
（3）解：由，可得，
由，因为，可得，
令，则在上递减，
当时，可得，则，所以，
则，
又因为，使得，即
且当时，，即；
当时，，即，
所以在递增，在递减，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因为，设，则，
可知在上递增，且，
所以实数的取值范围是.
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