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专题04随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生， 事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可.
【详解】事件为研学团中男生人数多于女生，
设事件为男生甲被选中，
则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生.
所以，，
所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为
.
故选：B
2．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定甲骰子的点数为偶数的可能情况和概率，然后求甲骰子的点数为偶数的每种情况下乙骰子的点数小于甲骰子的点数可能情况和概率，最后相加即是最后结果.
【详解】设事件A为“甲骰子的点数为偶数”，那么点数的可能性为2，4，6，
而且每种可能性的概率为.
当甲骰子的点数为2时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数只能是1，
此种情况概率为.
当甲骰子的点数为4时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是1，2，3，
此种情况概率为.
当甲骰子的点数为6时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是1，2，3，4，5，
此种情况概率为.
所以甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为：
.
故在已知骰子甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为
故选：C.
3．(24-25高二下·北京第九中学·期中)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用对立事件概率性质，条件概率公式，互斥事件概率公式计算，逐个判断即可.
【详解】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确.
对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确.
对于选项，因为，且，所以.
已知，，则，所以选项正确.
对于选项，根据概率的加法公式：.
已知，，，则，所以选项错误.
故选：D.
4．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示四月份下雨，
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率．
故选：A
5．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)抛掷一枚质地均匀的硬币两次.在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是________.
【答案】
【分析】根据条件概率计算可得答案.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知有一次出现正面向上的条件下，
可能出现的结果有正反，反正，正正共三种情况，
两次都是正面向上的有1种，
所以两次都是正面向上的概率是.
故答案为：.
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为，乘轮船迟到的概率为，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为___________．
【答案】0.18/
【分析】根据题意，利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件“乘火车”，“乘轮船”，“乘飞机”，“迟到”，
则，，
因，且两两互斥，
故
.
故答案为：0.18.
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为______；（2）两次取出的都是红球的概率为______.
【答案】
【分析】（1）根据题意求出第一次取出的球是红球，然后放回并放入2个红球后，袋中球的总数及红球个数，最后利用古典概型的概率公式可求得结果，（2）求出第一次取出红球的概率和第二次取出红球的概率，再根据全概率公式可求得结果.
【详解】（1）当第一次取出红球后，放回并放入2个红球，此时袋中有4个红球，3个黑球，总球数为7个，
所以第2次取出红球的概率为；
（2）由题意可知第一次取出红球的概率为，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率为，
所以两次取出的都是红球的概率为.
故答案为：；
3．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为，若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算出第1球投进和第1球没投进后，第二球投进的概率，相加得到答案.
【详解】他第1球投进，第二球投进的概率为，
他第1球没投进，第二球投进的概率为，
故他第2球投进的概率为.
故选：B
4．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ）
A．0.8884 B．0.868 C．0.1325 D．0.112
【答案】B
【分析】代入全概率公式，即可求解.
【详解】由条件可知，该产品是第一车间生产的概率为，是第二车间生产的概率为，
所以该产品是一等品的概率.
故选：B
5．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人．
(1)求选出的2人来自不同家庭的概率；
(2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率；
(3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)0.42
【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解；
（2）根据题意，转化为样本空间法求概率；
（3）根据（1）的结果，转化为全概率公式，即可求解.
【详解】（1）设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，则；
（2）设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，则；
（3）由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为0.6，所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4，
所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为．
1．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知随机变量X的分布列如图：则________；________．
X 0 1 2
P 0.4 p 0.4
【答案】 /
【详解】由，解得，
，
．
2．(24-25高二下·北京延庆区·期中)设随机变量的分布列如下：
2 3 6
若，则________；________.
【答案】 8
【分析】根据分布列的性质得到方程，求出的值，即可求出，，再由方差的性质计算可得.
【详解】依题意可得，解得；
则，
，
因为，所以.
故答案为：；
3．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)知随机变量X的概率分布如表且；则_______；_______﹔
X 1 2 4
P 0.4 a b
【答案】 /
【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求参数，根据数学期望的性质以及计算公式，可得答案.
【详解】由，则，即，由，则，
所以.
故答案为：；.
4．(23-24高二下·北京延庆区·期中)学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________．
【答案】
【分析】根据题意，的取值为，代入超几何分布公式求出对应概率，再由期望公式求解即可.
【详解】由题意可得，的取值为，
，
，
，
.
故答案为：.
5．(24-25高二下·北京第一七一中学·期中)小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项分布的期望公式以及期望性质计算可得结果.
【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量，则服从二项分布，即，
因此，而，所以.
故选：A
1．(24-25高二下·北京景山学校·期中)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解.
【详解】因为每次“朝上的点数不大于3”的概率，且连续抛掷4次，
可知，所以.
故选：B.
2．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二项分布的方差公式以及方差性质计算可得结果.
【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量，
易知服从二项分布，即，
因此可得，
又，所以可得.
故选：D
3．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则__________；若，则__________.
【答案】 3
【分析】由题意知随机变量，由期望、方差计算公式即可求解.
【详解】每次随机取一个是次品的概率为，
由题意知，随机变量，
所以
则方差，又，则，
解得，
故答案为: ；3.
4．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)随机变量的分布列如图，（1）若，则_______；（2）若，则_____（填“>”、“=”、“<”）
0 3
【答案】 6
【分析】（1）先根据分布列的性质和期望的概念确定的值，再求随机变量的方差.
（2）结合，分别表示出与，用作差法比较其大小.
【详解】（1）若，则 .
所以 .
（2）易知.
因为，
.
若，则的分布列为：
0 3
所以，
.
岁
因为，所以，所以.
故答案为：6；
5．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有________________．
【答案】①②④
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，
因此，，
，
所以正确的是①②④．
故答案为：①②④．
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．
(1)从2010年至2019年中随机选取一年．求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(2)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用古典概型概率公式即可求解；
（2）由题意得的取值可能为0，1，2，利用超几何分布可求得分布列，进而可求得数学期望.
【详解】（1）由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，
设从2010年至2019年中随机选取一年，该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件，则.
（2）由题意得的取值可能为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
.
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差．
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析，，
【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列．
（2）由题意可得的所有取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得的分布列，期望，方差．
【详解】（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为，
而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此，
所以，，
，，
因此X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）由题意，的所有取值为，
则，，，
因此，Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以，
.
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求t的值；
(2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，；
(3)
【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；
（2）由题可知服从超几何分布，即求；
（3）由超几何分布及数学期望及方差公式计算求解.
【详解】（1）由直方图可得第二组的频率为，所以
（2）由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，其中中的人数为10，
所以可取0,1,2,3，则
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（3）.
因为；
又因为可取0,1,2,3，则
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
P
所以，
所以；
所以.
4．(24-25高二下·北京景山学校·期中)图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性别 男 女 无法识别
男 90 20 10
女 10 60 10
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果正确，求该照片人脸的真实性别是男性的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%）.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可
（2）由题意知的所有可能取值为，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可
（3）分别求出方案一 方案二 方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得
【详解】（1）根据题中数据，共有张照片被正确识别，其中男性的照片有90张，所以该照片确为男性的概率为；
（2）设事件输入男性照片且识别正确.
根据题中数据，可估计为.
由题意知的所有可能取值为.
.
所以的分布列为
1 2 3
所以.
（3）由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个，
程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，
程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，
由频率估计概率得
，
，
，
所以
5．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率．
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明）
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）统计甲乙丙优秀的频率，即可根据概率与频率的关系求解，
（2）根据相互独立事件的概率乘法公式分别求解概率即可，
（3）根据两点分布的方差计算公式，即可比较大小作答.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为，乙获得优秀的概率为，丙获得优秀的概率为，
（2）的所有可能取值有0,1,2,3，
设甲获得优秀为事件,乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件,
，
，
，
.
（3）由题意可知：分别服从两点分布，
故,所以，
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示.
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0
需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1
定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”.
(1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率；
(2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解；
（2）的所有可能的取值为0，1，2，算出对应的概率即可得到分布列，进而算出数学期望.
（3）由二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）记事件A为“这款设备的产需率大于100%”.
由表中数据，这款设备的产需率大于100%的年份为2015年，2017年，2020年，2023年，共4年.
所以.
（2）由表中数据，从2017-2022年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2017年，2020年，共2年.
的所有可能的取值为0，1，2.
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2
故的数学期望.
（3）用频率估计概率，该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的，则在未来每年产需率大于100%的概率为.
在未来的年份中任取3年产需率大于100%有年，则
.
2．(24-25高二下·北京延庆区·期中)某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案：
方案一：，；
方案二：，；
方案三：，.
直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2300元
(3)方案三.
【分析】（1）利用频率直方图的矩形面积和为1来求m即可；
（2）利用二项分布概率公式来求解并列出分布列，最后求期望；
（3）利用二项分布的性质计算期望即可得出判断.
【详解】（1）依题意，，
所以
（2）由题意可知，的可能取值为
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
；
；
；
.
所以的分布列为
1000 1500 2000 2500 3000
所以元.
（3）设评分为，则
而中奖人数服从二项分布
方案一：，，中奖人数期望，
方案二：，，中奖人数期望，
方案三：，，中奖人数期望，
所以使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案三.
3．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比
注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群．
(1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率；
(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；
(3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)不正确，理由见解析
【分析】（1）利用频率分布表中的数据可得出结果；
（2）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，由二项分布的期望公式可得出的值；
（3）计算出两组数据的平均数和方差，即可得出结论.
【详解】（1）睡眠指数落在区间的概率为.
（2）由题意可知，，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
的分布列为：
由二项分布的期望公式得.
（3）这种说法不正确，理由如下：平均数反映的事一组数据的平均水平，而方差反映的事一组数据的离散程度或波动大小.
第一组数据的平均数，其方差为；
第二组数据的平均数，其方差为.
虽然两组数据平均数相同，但第二组数据中和距离平均数比第一组数据中的和距离平均数更远，
数据更为分散，所以方差更大，即两组数据方差并不相等.
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球.
(1)设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率；
(2)设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望；
(3)设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）应用二项分布的概率求法求概率；
（2）首先确定随机变量的可能取值，再应用超几何分布的概率求法求对应概率，即可得分布列和期望；
（3）由古典概型的概率、超几何分布概率分布求出A、B事件的概率，即可得比较大小.
【详解】（1）由题设，白球有6个，黑球有4个，每次取到白球的概率为，
所以取到白球的次数，
故恰好有两次白色的概率.
（2）同（1）前提，随机抽取两个球，黑球的个数为可能为，
所以，，，
故分布列如下：
0 1 2
所以期望.
（3）由题设，取到三个相同颜色球的概率，
取到三个球颜色各不相同的概率，
所以.
5．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：
早餐 午餐 晚餐
A餐厅 人 人 人
B餐厅 人 人 人
不在学校用餐 人 人 人
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.
(1)若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数；
(2)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望；
(3)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．
【答案】(1)700人
(2)分布列见解析，
(3)答案见解析，理由见解析
【分析】（1）根据可得频率，进而利用频率估计人数；
（2）分析可知，根据二项分布求分布列和期望；
（3）根据独立重复性事件求概率，结合概率的意义分析说明.
【详解】（1）样本中学生在A餐厅用早餐的频率为，
据此估计该学校2000名学生每日在A餐厅用早餐的人数为：.
（2）从该学校用午餐的学生中随机抽取人，由样本的频率估计该学生在A餐厅用餐的概率.
由题意可知：，则的可能取值为，则有：
；；
；.
所以的分布列为
的期望为.
（3）结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分.
设事件为“随机抽查人，有人在B餐厅用晚餐”. 假设在B餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，
由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查1人，此人在B餐厅用晚餐的概率为，
由上个星期的样本数据估计.
示例答案1：可以认为发生了变化.理由如下：
事件是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，
如果发生了，可以认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化；
示例答案2：无法确定有没有变化.理由如下：
比较小，一般不容易发生，
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件也是有可能发生的，
所以无法确定有没有变化；
示例答案3：无法确定有没有变化.理由如下：
抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在A餐厅用餐的学生（抽到了极端情形），
所以抽查结果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数.
1．(24-25高二下·北京第二十二中学·期中)某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长（小时）
人数（人） 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可.
（2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果.
（3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果.
【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，
则，
则从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业的概率为.
（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，，
∴的分布列为：
∴.
（3）由题意得，，
∴.
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为．
(1)求的分布列；
(2)求；
(3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由的可能取值为0，1，2，结合超几何分布即可求解；
（2）由超几何分布期望公式求解即可；
（3）由数学期望的性质即可求解．
【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且，
，
，
，
所以的分布列如下．
0 1 2
（2）因为，所以．
（3）由已知得，
因为，
所以，所以．
3．(23-24高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
(1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
【答案】(1)， ．
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）依题意，根据二项分布概率公式及期望公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）分别求出与，然后即可比较大小．
【详解】（1）依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，
则，又．
（2）由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故；
（3）依题意可得，，
所以．
4．(23-24高二下·北京汇文中学·期中)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：
A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30
B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；
(3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；
（3）根据方差公式计算可知，．
【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.
（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，
可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
，，
，
所以．
（3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，
，，，
，，，
因为，，
可得，
，
所以．
5．(22-23高二下·北京大学附属中学·期中)下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
分数段
频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 *
(1)求测试成绩在分数段内的人数；
(2)现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
(3)若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
【答案】(1)6
(2)2
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；
（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；
（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得的取值及对应的概率，可得分布列和期望.
【详解】（1）某班学生共有人，
因为，所以，
所以测试成绩在分数段内的人数为人.
（2）由（1）知在分数段内的学生有6人，设男生有人，
若抽出2人至少有一名男生的概率为，
则，解得，所以在分数段内男生有2人.
（3）在分数段内的学生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
.
1．(23-24高二下·北京第五十五中·期中)某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，（参考数据：，，）学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为（ ）
A．137 B．168 C．191 D．195
【答案】B
【分析】根据正态分布的概率分布即可求解.
【详解】因为服从正态分布，
所以，
所以抽测结果在及格线以上学生人数所占比例为
，
所以人数为.
故选：B.
2．(22-23高二下·北京第八中学·期中)已知随机变量，，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，所以，又，
所以.
故选：B
3．(24-25高二下·北京朝阳区青苗学校·期中)已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由正态分布密度函数图像的性质，观察图像可得结果.
【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，.
故选：A.
4．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)已知随机变量，若，则______．
【答案】/
【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可
【详解】因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴为，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：
5．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知随机变量服从标准正态分布，对实数，若，则___________.
【答案】
【分析】由正态分布的对称性即可得出答案.
【详解】随机变量服从标准正态分布，对实数，
若，所以，
则.
故答案为：.
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专题04随机变量及其分布
8大高频考点概览
考点01 条件概率
考点02 全概率公式
考点03 离散型随机变量的均值
考点04 离散型随机变量的方差
考点05 离散型随机变量及其分布解答题
考点06 二项分布
考点07 超几何分布
考点08 正态分布
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25高二下·北京第九中学·期中)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·北京第六十六中学·期中)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高二下·北京第一零九中学·期中)抛掷一枚质地均匀的硬币两次.在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是________.
1．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为，乘轮船迟到的概率为，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率为___________．
2．(24-25高二下·北京第六十五中学·期中)一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为______；（2）两次取出的都是红球的概率为______.
3．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为，若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ）
A．0.8884 B．0.868 C．0.1325 D．0.112
5．(24-25高二下·北京第五十五中学·期中)A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人．
(1)求选出的2人来自不同家庭的概率；
(2)在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率；
(3)若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率．
1．(25-26高二·北京大峪中学·期中)已知随机变量X的分布列如图：则________；________．
X 0 1 2
P 0.4 p 0.4
2．(24-25高二下·北京延庆区·期中)设随机变量的分布列如下：
2 3 6
若，则________；________.
3．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)知随机变量X的概率分布如表且；则_______；_______﹔
X 1 2 4
P 0.4 a b
4．(23-24高二下·北京延庆区·期中)学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________．
5．(24-25高二下·北京第一七一中学·期中)小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
1．(24-25高二下·北京景山学校·期中)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25高二下·北京铁路第二中学·期中)一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数，则__________；若，则__________.
4．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)随机变量的分布列如图，（1）若，则_______；（2）若，则_____（填“>”、“=”、“<”）
0 3
0 3
5．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有________________．
1．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学板桥学校·期中)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．
(1)从2010年至2019年中随机选取一年．求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(2)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
0 1 2
2．(24-25高二下·北京广渠门中学·期中)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差．
X 0 1 2 3
P
Y 0 1 2
P
3．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求t的值；
(2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可）
0 1 2 3
P
0 1 2 3
P
4．(24-25高二下·北京景山学校·期中)图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性别 男 女 无法识别
男 90 20 10
女 10 60 10
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果正确，求该照片人脸的真实性别是男性的概率；
(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；
(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%）.
现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
1 2 3
5．(24-25高二下·北京第一六五中学·期中)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率．
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明）
1．(24-25高二下·北京延庆区·期中)为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示.
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0
需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1
定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”.
(1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率；
(2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率.
0 1 2
2．(24-25高二下·北京延庆区·期中)某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案：
方案一：，；
方案二：，；
方案三：，.
直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）.
1000 1500 2000 2500 3000
3．(24-25高二下·北京东城区北京宏志中学·期中)《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比
注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群．
(1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率；
(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；
(3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由．
4．(24-25高二下·北京一六六中学·期中)一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球.
(1)设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率；
(2)设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望；
(3)设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可）
0 1 2
5．(24-25高二下·北京怀柔区第一中学·期中)某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：
早餐 午餐 晚餐
A餐厅 人 人 人
B餐厅 人 人 人
不在学校用餐 人 人 人
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.
(1)若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数；
(2)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望；
(3)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．
1．(24-25高二下·北京第二十二中学·期中)某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长（小时）
人数（人） 3 4 33 42 18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）.
2．(22-23高二下·北京延庆区·期中)袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为．
(1)求的分布列；
(2)求；
(3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值．
0 1 2
3．(23-24高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
(1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
0 1 2 3
4．(23-24高二下·北京汇文中学·期中)网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：
A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30
B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；
(3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）
5．(22-23高二下·北京大学附属中学·期中)下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
分数段
频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 *
(1)求测试成绩在分数段内的人数；
(2)现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
(3)若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
0 1 2
1．(23-24高二下·北京第五十五中·期中)某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，（参考数据：，，）学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为（ ）
A．137 B．168 C．191 D．195
2．(22-23高二下·北京第八中学·期中)已知随机变量，，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8
3．(24-25高二下·北京朝阳区青苗学校·期中)已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．(24-25高二下·北京东直门中学·期中)已知随机变量，若，则______．
5．(24-25高二下·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知随机变量服从标准正态分布，对实数，若，则___________.
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