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专题05 立体几何
5大高频考点概览
考点01 空间几何体
考点02空间中的夹角问题
考点03空间中的最值和范围问题
考点04 空间中的证明、线线角和线面角问题
考点05 向量法求二面角及探索性问题呢
一、选择题
1．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
2．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
3．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
单选题
1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）

A．异面直线AE与BC所成的角为
B．
C．平面平面CDF
D．直线AE与平面BDE所成的角为
多选题
3．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的取值范围是
B．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
C．三棱锥的体积为定值
D．当P为的中点时，P到的距离为
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（ ）

A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为
一、单选题
1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当时，过点、、的截面是梯形
C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D．当时，过点、、的截面是矩形
3．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ）

A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
4．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．与所成的角先变大后变小
C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直
三、填空题
5．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.

1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求到平面的距离．
2．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证平面；
(2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是.
3．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.
(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
一、解答题
1．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
2．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
3．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
4．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，.
(1)求的大小；
(2)现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.如图：
（i）证明：平面平面；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
5．(24-25高二下·江西抚州金溪县第一中学·期中)如图，三棱锥中，，，，为棱的中点，点满足．
(1)证明：平面平面；
(2)当时．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
6．(24-25高二下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，求：
(1)点到平面的距离；
(2)二面角的平面角的余弦值.
7．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
8．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
9．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
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专题05 立体几何
5大高频考点概览
考点01 空间几何体
考点02空间角问题
考点03最值和范围问题
考点04 空间中的证明、线线角和线面角问题
考点05 向量法求二面角及探索性问题呢
一、选择题
1．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
【答案】D
【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案.
【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误．
对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误．
对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误．
对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确．
故选：D
2．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．
【详解】对于A，若，，则可以平行、相交、异面,故A错误；
对于B，若，，和可以相交，也可以平行，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对D，若，设与的交线为m，与的交线为n，
在平面内取，在平面内取，与l不重合，
由面面垂直的性质可得，所以，
又，所以，由线面平行的性质定理得，
所以有，故D正确.
故选：D.
3．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意，若要正四面体能自由转动，则正方体必须能装下正四面体的外接球，即正方体的最短棱长就是外接球的直径.
【详解】如图 是棱长为6cm的正四面体，
由题意， ，设BC的中点为M，底面 的重心为G，O为外接球的球心，
则有 底面BCD， ， ，
，R是外接球半径，
在 中， ，
在 中， ， ，解得 ，
即正方体的最短棱长为.
故选：D.
4．(24-25高二下·江西上饶民校联盟·)已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】设底面边长为，则高，体积，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而求出.
【详解】设底面边长为，则高，
由，所以，
所以体积 ，
设，，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大，
此时.
故选：D．
5．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积.
【详解】作出示意图如图所示：
设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，
因为球的表面积为，所以，解得，所以，
所以，
所以圆台的侧面积为.
故选：B.
单选题
1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.
【详解】若是中点，连接，
直三棱柱中且，则为平行四边形，
所以，故直线与所成角即为，
令，又，则且，则，
又，故，又，
所以.
故选：A
2．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）

A．异面直线AE与BC所成的角为
B．
C．平面平面CDF
D．直线AE与平面BDE所成的角为
【答案】B
【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可；对于B，只需证明平面ACE即可；对于C，需证平面与平面,得出面面平行判断即可；对于D，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可.
【详解】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，
又，所以，即异面直线AE与BC所成的角为，A错误；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形的中心，连接EF，
根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面，
所以，又，，OE，平面ACE，
所以平面，又平面，所以，B正确；
由对称性可知，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
同理平面，又，AF，平面，
所以平面平面，C错误；
由，，得，在正方形ABCD中，，
又平面，所以平面，
所以即为直线AE与平面所成的角，
设该八面体的棱长为2，则，
所以，所以，D错误.
故选：B.

多选题
3．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的取值范围是
B．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
C．三棱锥的体积为定值
D．当P为的中点时，P到的距离为
【答案】BCD
【分析】对于A，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于C，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于BD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和点到直线得距离即可进行判断.
【详解】对于A，..，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于或点重合时，由于是等边三角形，则与所成的角为，
当点位于的中点时， 平面，，
，此时，与所成的角为，
由于是等边三角形，根据等边三角形性质，知道从过程中， 与所成的角先从增大到，再减小到，
异面直线与所成角的取值范围是.，故A错误；
对于C， ，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，运用等体积法知道，三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于B，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，取平面的法向量，
设平面的法向量，设，，
则，则，即，
令，则，则得，
设面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故B正确；
对于D，则，，当为的中点时，.
所以，.
设在上的投影向量的模为，.
.
根据点到直线距离公式，可得，
即到的距离为，故D正确.
故选：BCD.
4．(24-25高二下·江西乐平中学·期中)如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（ ）

A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AD
【分析】由题意，根据面面垂直性质定理，可建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用点面距、线线角与线面角的向量公式，再利用数形结合思想，结合球的性质，可得答案.
【详解】由题意易知，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：

则，
取，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法平面，
点到平面的距离，故A正确；
取，设直线与所成角大小为，
，故B错误；
设直线与平面所成角的大小为，
则，故D正确；
连接，取线段的中点为，过作平面，连接，如下图：

易知点为的外心，可设点为三棱锥的外接球的球心，
由图易得，则球的半径，
所以球的体积，故C错误.
故选：AD.
一、单选题
1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点为，连接，确定平面平面 ，得到的轨迹是线段,即可求解.
【详解】取的中点为，
连接，
由中位线易知，
又在平面 内，不在平面 内，
所以平面 ，平面 ，
又是平面内两条相交直线，
所以平面平面 ，
又 平面 ，
所以在平面内，又 是侧面 内一点，
所以的轨迹是线段,
易知,
，
所以 长度的取值范围是.
故选：C
二、多选题
2．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当时，过点、、的截面是梯形
C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D．当时，过点、、的截面是矩形
【答案】ABC
【分析】由异面直线所成角的定义结合余弦定理可判断A选项；推导出，可判断B选项；取，利用面面平行的性质找出截面，可判断C选项；利用面面平行的性质找出截面，可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接、，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
所以，与所成的角为或其补角，
在中，，同理可得，，
由余弦定理可得，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，A对；
对于B选项，连接、、，
当时，为的中点，
因为、分别为、的中点，则，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，且，所以，且，
所以，、、、四点共面，
所以，当时，过点、、的截面是梯形，B对；
对于C选项，当时，设平面交直线于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，由等角定理结合图形可知，，
则，即，可得，
设平面交直线于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，
因为，由等角定理结合图形可得，
所以，，则，
且，所以，，
故当时，过点、、的截面是五边形，C对；
对于D选项，当时，点与点重合，设平面交棱于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，由等角定理结合图形可知，，
即，所以，，所以，，
则点为的中点，
由勾股定理可得，
同理可得，，则四边形为平行四边形，
因为，所以，，
所以，不是直角，故四边形不是矩形，
因此，当时，过点、、的截面不是矩形，D错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
3．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ）

A．圆锥的母线长为4
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
【答案】ACD
【分析】对A，根据圆锥的侧面积为，求出圆锥的母线得解；对B，根据扇形的弧长公式运算得解；对C，由题，细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长运算得解；对D，利用相似即可求解半径得解.
【详解】对于A，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，故A正确；
对于B，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B错误；
对于C，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，
又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长，
且，故C正确；

对于D，，又设圆锥的内切球的圆心为，半径为，球与圆锥侧面相切于,则,
则，即，解得,故D正确.
故选：ACD.

4．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．与所成的角先变大后变小
C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直
【答案】ACD
【分析】对A：借助线面平行的判定定理推导即可得；对B： 借助线面垂直的性质定理得到后，结合，
即可得与所成的角即为与所成角，由题意可得随翻折角增大，逐渐变小，即可得所成的角的变化；
对C：借助割补法表示出体积后，结合体积公式计算即可得；对D：借助反证法，假设平面与平面垂直，
从而借助面面垂直的性质定理于线面垂直的性质定理可得，其与矛盾，即可得证.
【详解】对A：延长与延长线交于，连接，，
由题意可得且，则可得、分别为、中点，
，又，
为平行四边形，，又平面，平面，
平面，故A正确；
对B：，，， ，
又，平面，平面，
又平面，，随翻折角增大，逐渐变小，
所以与所成角即与所成角逐渐变小，故B错误；
对C：由，则，
则
，
其中为点到平面距离，则，故；
故C正确；
对D：若平面平面，过作于点，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，，
，，则，
又，平面，，
平面，又平面，，
，平面，
平面，又平面，，
又由B选项知，与矛盾，
故平面与平面不垂直，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助反证法，假设平面与平面垂直，从而借助面面垂直推导出矛盾之处即可得.
三、填空题
5．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.

【答案】/
【分析】找到点关于底面对称点，可得，结合不等式可得为的最小值，建立适当空间直角坐标系后借助两点间的距离公式计算即可得.
【详解】设的中心为，则底面，延长至，
使得，则，
由三条侧棱两两垂直且相等，
故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，则、，,
有，
由对称性可设，则有，
解得，故，
，
的最小值为.

故答案为：.
1．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求到平面的距离．
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以.
又平面ABC，平面，平面，
所以，，又，如图建立空间直角坐标系，
则，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
又平面，所以平面；
（2）因为，所以，
所以；
（3）易知，平面的一个法向量为，
则点到平面的距离.
2．(24-25高二下·江西丰城中学·期中)如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证平面；
(2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是.
【详解】（1）因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
且平面平面，且，平面，
所以平面，又，如图建立空间直角坐标系.

设，连结，则，，，
又， .
，且与不共线，，
又平面，平面， 平面.
（2）设，，又，，，
则，.
又 与所成的角为， ，
解之得或（舍去），故点为的中点时满足题意.
3．(24-25高二下·江西贵溪第一中学·期中)如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.
(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图，连接.
因为四边形是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，则.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，，所以.
因为，平面，所以平面.
又平面，所以.
（2）如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则得
取，得，则.
因为为的中点，所以.
又.所以.
则.
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
一、解答题
1．(24-25高二下·江西南昌外国语学校·期中)如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径，
所以⊥，
因为⊥底面圆，，
所以⊥底面圆，
因为底面圆，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以平面⊥平面；
（2）因为⊥底面圆，圆，
所以⊥，⊥，
所以为二面角的平面角，
故，又，所以为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，设，故，，
，
，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，

直线与平面所成角的正弦值为.
2．(24-25高二下·江西上饶上饶中学·期中)如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）由题意可知：平面∥平面，
且平面平面，平面平面，
所以.
（2）由题意可知：，平面，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量，
则，
令，则，
可得为平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，
令，则，
可得为平面的一个法向量；
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
3．(24-25高二下·江西大余衡立实验学校·期中)如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，，
所以平面，又平面，所以平面平面
因为为正三角形，为的中点，所以，平面ABC.
又平面平面，所以平面，又平面
所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
设平面的法向量，
则，取；
设平面的法向量，
则，取.
设平面和平面夹角的大小为，
所以.
4．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，.
(1)求的大小；
(2)现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.如图：
（i）证明：平面平面；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）根据题意，设，，则，，
由，所以，
且，，所以，
所以，则，
在中，，即，
所以，
即，
可得，化简得，
因为，所以，即；
（2）（i）根据（1），，即，，
则，又，平面，
所以平面，平面，则，
又，平面，
所以平面，平面，则，
由，即，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（ii）以为原点，分别为轴、轴、轴，建立直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，所以，
又因为平面的法向量，
则，即，
令，则，，故，
所以,
因为平面与平面夹角的余弦值.
5．(24-25高二下·江西抚州金溪县第一中学·期中)如图，三棱锥中，，，，为棱的中点，点满足．
(1)证明：平面平面；
(2)当时．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
【详解】（1）由，可知，
由，可得，
而点为棱的中点，故，同理可得，
由平面，平面，，可知平面，
又因为平面，故平面平面MAC．
（2）（ⅰ）由题易知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，记，，，，
则，，
，，
由，可知，解得，
由，知，解得，
故．
（ⅱ）不妨设，则，，于是，，，，
则，，．
设平面的法向量，平面的法向量，
则，即，可取，
由，即，可取，
记平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
6．(24-25高二下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，求：
(1)点到平面的距离；
(2)二面角的平面角的余弦值.
【详解】（1）由平面，且，平面，
则，，又，则，，两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，又，，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，所以，即，
令可得，即，
记点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离.
（2）结合（1）可知平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知，
则.
7．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因为，，所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（ⅱ）因为平面，且为正三角形，作下图
设三棱锥的外接球的球心为，连结，延长交球面于H，
过作交平面于，
则为直角三角形，
所以为斜边的中点， 平面，为的外接圆的直径.
所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，
则，则，，
则球的半径，
所以三棱锥的外接球体积为.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，
则，，，.
所以,平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
设，
设，所以，
（当且仅当，即时取等号），即.
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
8．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
【详解】（1）取的中点，连接，
在中，，同理，
而平面，平面，
又平面；
（2）在上能找到一点，使平面，此时，证明如下：
记的中点为，连接，
因为是的中点，是的中点，，
平面平面，平面，
的中点即为所求，此时.
（3）由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，连接，易知故平面，
故是直线与平面所成角，
因为，所以是等边三角形，
设，则，，
在中，，，
所以，
故，
所以直线与平面所成角的正切值为.
9．(24-25高二下·江西景德镇一中·期中)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点，
作交于点，连接，
则是二面角的平面角．
在中和中分别用余弦定理，得
，
，
两式相减得，
∴，
两边同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
∴由（1）得，
∵，，
∴．
②在直线上存在点，使平面．
连结，延长至，使，连结，
在棱柱中，，，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴．
在四边形中，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
∴当点在的延长线上，且使时，平面．
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