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专题04 直线与圆及圆锥曲线
7大高频考点概览
考点01直线与圆综合
考点02离心率
考点03圆锥曲线基础
考点04圆锥曲线综合
考点05定点定值定直线
考点06轨迹问题
考点07最值与范围问题
(
考点01
直线与圆综合
)
1．(24-25高二下·湖南岳阳岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期中)若直线经过圆的圆心，则________．
【答案】
【分析】圆心坐标代入直线方程直接求解.
【详解】由题意可知，圆心坐标为,代入直线方程中，
则，解得.
故答案为：.
2．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式可得，再由直线与圆的弦长公式即可求解.
【详解】设圆心到直线的距离为，
则由点到直线的距离公式可得．
因为，所以，
解得．
故选：B.
3．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
【答案】D
【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案.
【详解】由题意，直线可化为：，
直线过定点，代入圆中，
易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切.
故选：D.
4．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)圆与圆的公切线有且仅有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数.
【详解】圆：，所以，.
圆：，所以，.
因为，，所以.
所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线.
故选：A
5．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条.
【答案】9
【分析】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解.
【详解】直线：可化为，由可得，即直线过定点，
因为，所以点在圆C内，
当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，
所以直线被圆C截得的最短弦长为，
最长的弦为直径，长度为10，
所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条，
又直线被圆C截得弦长为，不是整数，
所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为：9
6．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)（多选）已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为
B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B，利用选项A可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C，根据条件找到最大角，进而得最大角小于，即可求解；对于D，根据条件得到，再求出，即可求解.
【详解】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.

则，，
所以，故选项A正确；
对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径的圆上，又原点到的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形，
此时最小，最小值为，又，故此时最大，且，

则，所以，则，故选项C错误；
对于选项D，，
当，，，共线，且在，之间时取等号，，
所以的最小值为，所以选项D正确，
故选：ABD.
(
考点02
离心率
)
7．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率______.
【答案】
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再代入椭圆方程进而得出即可得出离心率.
【详解】由题意，直线过点，，
代入椭圆方程得，解得，，
所以椭圆方程为，
所以，，，则.
故答案为：.
8．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先由双曲线渐近线的定义结合题设条件得，再由离心率公式直接计算即可得解.
【详解】因为直线是双曲线的渐近线，
所以，所以.
故选：B.
9．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.
故选：C
10．(24-25高二下·湖南长沙长沙铁路第一中学·期中)已知双曲线的右焦点为，圆O：与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由解得，根据三角函数的定义知，由，结合诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解.
【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为，
则，解得，所以,
由三角函数的定义知，
又，显然为锐角，又，解得，
则 ，
在中，由正弦定理可得，即，
化简得，所以的离心率为．
故选：B．
(
考点03
圆锥曲线基础
)
11．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求得准线方程以及圆心到准线的距离，即可求得圆的方程.
【详解】易知抛物线的准线方程为；
圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为3；
所以圆的方程为.
故选：D
12．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B．5 C． D．或
【答案】A
【分析】根据双曲线的离心率可求出以的方程为，利用双曲线的定义分别讨论点在双曲线的左支与右支上的情况从而得出结论.
【详解】由双曲线的离心率为2，可得，，则，
所以的方程为．
当点在双曲线的左支上时，．
当在双曲线的右支上时，，
因为点到焦点距离的最小值为，
所以不符合题意，舍去．
故.
故选：A
13．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】将点代入抛物线方程求出，再利用抛物线定义可求出.
【详解】将点代入抛物线，可得，解得，
所以.
故选：A.
14．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，，则__________.
【答案】6
【分析】通过作辅助线，利用角度关系和抛物线定义构造等边三角形和直角三角形，进而求出.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如图所示.
因为轴，则，由抛物线的定义可得，
所以为等边三角形，则，抛物线的准线方程为，
设准线交轴于点，则，易知，则.
故答案为：6.
15．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为．
(1)求的方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到，从而得到其标准方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为，
所以，即，
所以的方程为．
（2）依题意可得直线的方程为．
由得．
设，则，
则．

(
考点04
圆锥曲线综合
)
16．(24-25高二下·湖南邵阳第二中学·期中)（多选）已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上的动点，则（ ）
A．若到渐近线的距离为1，则
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上
C．若，则点的纵坐标为
D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为
【答案】ABD
【分析】根据焦点到渐近线的距离为，根据求解即可判断A；根据圆的性质及双曲线的定义即可得的内切圆的圆心的横坐标为即可判断B；设，结合点P在双曲线上，根据数量积的坐标运算求解判断C；设，求出切线方程，进而求出点的坐标，根据面积求出，即可求解渐近线方程判断D.
【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确；
选项B：

如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点，
则，
由双曲线的定义可得，故，
故，即，
又，故，故，
故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确；
选项C：

设，则，
因，故，故，
代入可得得，得，故C错误；
选项D：
不妨设是双曲线右支在第一象限的一点，，得，
所以，则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为，

又由，可得切线方程为，所以与x轴交点坐标为
不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点，
是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是，
联立，解得，
联立，解得，
所以，
解得，所以渐近线方程为；
当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为，
联立得，联立得，
故，得，此时渐近线方程为；

同理，是双曲线右支在第四象限的一点时，渐近线方程为；
综上，渐近线方程为，故D正确，
故选：ABD.
17．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设的内切圆分别切，于点，，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设的内切圆分别切，于点，，
则，，，
因为，所以，
得，
所以，即，①
因为，所以，
即，②，
所以①+②，得，得，
因为，所以，所以，
所以双曲线：的渐近线方程为，
即.
故选：D.
18．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ）
A． B．
C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
【答案】BCD
【分析】对于A，由焦点坐标可确定抛物线方程；对于B，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合抛物线定义可得答案；对于D，由抛物线定义及梯形中位线定理可得，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，由是抛物线：的焦点，知，解得，所以选项A错误；
对于B，由可得抛物线方程为.过点且倾斜角为135°的直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程为，即.
将代入，可得，即.
因为，是直线与抛物线C的交点，根据韦达定理，，所以选项B正确；
对于C，由抛物线的焦点弦长公式.
因为，，所以，，则.
又因为，所以，所以选项C正确；
对于D，设的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线，
垂足分别为，，，
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
则，.
所以.
这说明以为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径，
所以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确.
故选：BCD.
19．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得直线与的斜率之积.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点、，
依题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，设点、，
由得，，可得，
由韦达定理可得， ，
已知，则，同理可得，
所以
.
20．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及代入点到椭圆方程即可联立方程求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据菱形的性质将问题转化为，代入斜率公式，即可化简求解.
【详解】（1）由题意可知，
解得，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点关于轴的对称点的坐标为.
直线的斜率为.直线与平行，设直线的方程为
.
由得，由（点在椭圆上），
，且，
设，，则，，
四边形为菱形，所以，所以.
即，化简可得.
将韦达定理代入可得，化简可得，又因为点在第一象限，所以.
21．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．
【答案】(1)
(2)存在实数，理由见解析
【分析】（1）先利用得到点坐标关于点坐标的表示，再利用直接代入法即可求得点的轨迹方程；
（2）设直线的方程为并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，计算出，从而求得正确答案.
【详解】（1）设点的坐标为，点，由题意可知，
则由题可得，即，
点在圆上运动，，
即的轨迹方程为
（2）易知直线的斜率不为0，设方程为，
由，得，
设，则，
直线的方程，得，
直线的方程，得，
由此得，，
又因为，即，
所以，
所以存在实数，使得．
(
考点05
定点定值定直线
)
22．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意设，列方程可求得，可得答案；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为16，进行化简可得的关系式，即可证明结论.
【详解】（1）由题意，可设，
由题意得，解得，
所以的方程为.
（2）易知的斜率不为0，
设

由得，
则.
所以
，得，
故，即，
，故直线过定点.
23．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：以为直径的圆过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给条件求出、，即可求出，从而得解；
（2）设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出以为直径的圆的方程，根据对称性，定点坐标在轴上，令求出，即可得解.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
双曲线的方程为.
（2）由（1）知，
设，，，
由，消去整理得，
，
，，
，
，
以为直径的圆方程：，
，
由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，
令，
，
，
对恒成立，
，
∴以为直径的圆过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
24．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标；
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由椭圆上的点到焦点的最大距离为计算即可得；
（2）设出直线，的方程，分别联立曲线可得，两点坐标，结合两点坐标可得直线方程，即可得其所过定点.
【详解】（1）∵长轴长为4，∴，椭圆上的点到点的最大距离为，
∴，∴.∴，∴椭圆的方程为：；
（2）由（1）得，，
直线，的方程分别为，，
由得，
∴，可得，∴，
由得，
∴，可得，∴，
∴，
直线的方程为：，
即，
可得直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于设出两直线方程，从而联立曲线，表示出，两点坐标后可得直线方程，即可得其所过定点.
25．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知双曲线过点，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，该定点为.
【分析】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解；
（2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到为定值，即可求解.
【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，假设存在点，
易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，
联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
则，
且，
因为
，
，
所以当，即时，或
，
故存在定点，使直线与的斜率之积为定值．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
26．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，求的最小值；
(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.
（2）利用圆的性质得到，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值即可.
（3）联立方程组结合韦达定理得到，进而表示出，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，所以，
由椭圆的定义，解得，
得到，故的方程为.
（2）因为的右焦点，
圆的圆心，半径，
显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，
于是，
当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，
故的最小值为.
（3）如图，设，
因为直线，所以点，
联立消去得.
所以，
因为，
且直线斜率的倒数成等差数列，所以，
所以，即，
将代入上述等式可得，
若，则点在直线上，与已知矛盾；
故，
整理可得，
可得，
即，
即对任意的恒成立，
得到，解得或，
由于的斜率不为0，得到，故，
故点在定直线上.
(
考点0
6
轨迹问题
)
27．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与轴的交点及坐标原点所围成的直角三角形的面积，
由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面积.
【详解】如图所示，设，线段的中点为，
因为曲线关于点对称，
所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域，
于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积，
即；
根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为，
又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为，
所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于.
故选：C.
28．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】(1)椭圆 的方程为 , 离心率 .
(2)
(3)
【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可；
（2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可；
（3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可.
【详解】（1）是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
（2）由题意得双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得:，即，
.

（3）由题易知，则联立，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程.
(
考点0
7
最值与范围问题
)
29．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点.
（i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得，，进而可得，即可得方程；
（2）（i）不妨设，，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式整理化简即可证得；
（ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得，讨论、求右侧范围，即可得.
【详解】（1）由题知，又，可得，，
则椭圆方程为.
（2）（i）不妨设，，
由，化简为，
显然，则，，
又
，即证.
（ii）由于，均为直角三角形，，，
由圆的性质知，故，
由于，，
当时，，则，
当时，直线方程为，则，
又，
所以，令，那么，
即，则，
综上可得，.
30．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设上两点的坐标为，，经伸缩变换后变为，，由题意可得，，可得；
（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆，P，Q，R，S变换得到，，，，可得轨迹方程为：，利用变换可得S的轨迹方程.
（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，可求△ABC面积最大值为．
【详解】（1）设上两点的坐标为，；
经伸缩变换后变为，，
则；；
，；则．
（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；
椭圆变换得到了以原点为圆心的圆；
P，Q，R，S变换得到，，，．
O，，均在中垂线上，则O，，共线．
，，则，
则，，
则轨迹方程为：，
代入，，则S轨迹方程为：．
（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，
点A变换得到了，
即为，并设B，C变换得到了，．
熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形．
则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到．
则，坐标分别为，．
即为，，
即B、C坐标分别为，，
单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为．
综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为．
【点睛】方法点睛：本题考查伸缩变换，利用伸缩变换求轨迹方程，关键是了解变换前后的不变与变，利用变换后的几何关系求变换前的几何关系，考查化归与转化思想，运算求解的核心素养.
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专题04 直线与圆及圆锥曲线
7大高频考点概览
考点01直线与圆综合
考点02离心率
考点03圆锥曲线基础
考点04圆锥曲线综合
考点05定点定值定直线
考点06轨迹问题
考点07最值与范围问题
(
考点01
直线与圆综合
)
1．(24-25高二下·湖南岳阳岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期中)若直线经过圆的圆心，则________．
2．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
4．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)圆与圆的公切线有且仅有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条.
6．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)（多选）已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为
B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为
D．的最小值为
(
考点02
离心率
)
7．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率______.
8．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高二下·湖南长沙长沙铁路第一中学·期中)已知双曲线的右焦点为，圆O：与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
(
考点03
圆锥曲线基础
)
11．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（ ）
A． B．5 C． D．或
13．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（ ）
A．5 B．8 C． D．
14．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，，则__________.
15．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为．
(1)求的方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
(
考点04
圆锥曲线综合
)
16．(24-25高二下·湖南邵阳第二中学·期中)（多选）已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上的动点，则（ ）
A．若到渐近线的距离为1，则
B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上
C．若，则点的纵坐标为
D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为
17．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
18．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)（多选）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（ ）
A． B．
C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
19．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积．
20．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标.
21．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．
(
考点05
定点定值定直线
)
22．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点.
23．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：以为直径的圆过定点．
24．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标；
25．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知双曲线过点，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
26．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，求的最小值；
(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.
(
考点0
6
轨迹问题
)
27．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A． B． C． D．
28．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
(
考点0
7
最值与范围问题
)
29．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点.
（i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围.
30．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
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