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高一数学必修二9.2《用样本估计总体》课时同步练习
一、单项选择题：
1．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（ ）
A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1
2．某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（ ）
A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1
C．成绩中位数在区间内 D．
3．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（ ）
（参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.）
A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2
4．经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．若，则所有的数据都为0；
C．若，则的平均数为6；
D．若，则的方差为12；
5．为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（ ）

A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多
C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多
6．哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ）
A．至少有个位置存放了不少于个数据
B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为
C．若的方差为，则的最小值为，最大值为
D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据
二、多项选择题：
7．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的极差不大于的极差
B．的60%分位数等于的60%分位数
C．的众数等于的众数
D．的方差不小于的方差
8．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.0044
B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户
C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过
D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则
9．采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．图中前三个数据的平均值为49.9%
B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大
C．图中PMI指数的极差为3.8%
D．2023年PMI指数的众数为49.0
10．有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（ ）
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差
D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差
三、填空题：
11．现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________.
12．大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____
13．已知8个样本数据a，b，c，d，3，4，6，10（其中）的平均数为，极差为11，中位数为5，众数为5，若新的数据，，，，，，，的平均数为12，则新数据的方差为________．
14．已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中）
四、解答题：
15．2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；
(3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数.
16．在某中学初一年级6班学生身高的调查中，采用分层随机抽样，其中男生抽取了m人的样本，其平均数与方差分别为，；女生抽取了n人的样本，其平均数与方差分别为，；总样本数据平均数与方差分别为，．设，，则：．
(1)若，米，，现再从初一年级6班学生中抽取两个男生作为样本，他们的身高分别为米和米，求所有男生样本的方差；
(2)若且，证明．
17．荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)样本数据的第59百分位数约为多少；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差．
18．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.
(1)求图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【详解】设该组数据从小到大排列为，且，，
则由题，
对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足，
则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，故A错误；
对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个，
当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为，
此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误；
对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1，
则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，
所以该组数据极差不可能为5，故C错误；
对D，当该组数据为时，
该组数据方差为，故D正确.
2．C
【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确.
对于A，成绩在的频数为：，故A正确；
对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确；
对于C，设成绩的中位数为，
，
易得中位数在区间内，故C错误.
3．B
【详解】这50个苹果的平均数，
则方差
.
4．D
【详解】对于A：，错误；
对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误；
对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误；
对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确.
5．C
【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知：
选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人，
选择足球的学生有： 人， 由条形图可知：
选择篮球的学生中，女生 人，男生 人，
选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人，
选择足球的学生中，女生 人，男生 人.故选：C．
6．D
【详解】设为数据除以的余数为的数的个数，
对于A选项，，
不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错；
对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，
这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，
所以，，，，，，，，
将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错；
对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为，且，，
因为，，
当这个数中有个，个时，取最小值，
即，
当这个数中有个，个时，取最大值，
即，C错；
对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、，
满足极差为，此时，所有位置都有数据，
若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为，
因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对.故选：D.
7．AB
【详解】不妨设，则的极差为，
又的极差为，所以的极差不大于的极差，故A正确；
不妨设，又，所以的60%分位数为，
又，所以的60%分位数为，故B正确；
取特殊值，设一组数据为的众数为2和3，而的众数为2．故C错误；
当一组数据是常数时，去掉两个值（可以理解为最大、最小值），数据的波动性不变；当数据不是常数时，去掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小．所以的方差不大于的方差，故D错误．
8．AB
【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确；
对于B，用电量落在区间内的频率，
由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确；
对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为
，第三组的频率为；
前两组的累计频率为，前三组的累计频率为，
中位数位于第三组内；
设中位数为，则，解得；
，中位数超过，故C错误；
对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即；
用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率.
从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数，
则X服从二项分布，则，故D错误.
9．ABD
【详解】对于A，前三个数据为，，，所以前三个数据的平均值为，故A选项正确；
对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所以方差最大，故B选项正确；
对于C，图中PMI指数的最大值为%，最小值为%，故极差为%，C选项错误；
对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选项正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为，
由题意知平均数也为，故，，，的总和为.
选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和，
即，其中，，，的平均数为，
若，则需，但是题目中未给出这个条件，
反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为，
故选项A错误；
选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数，
中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确；
选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确；
选项D，设，，，的平均数为，方差为，
，
设，，，，，，，的方差为，
，
又，
所以，，
即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误.
故选：BC.
11．5
【详解】设甲组数据分别为，乙组数据分别为.
甲组数据的平均数为3，方差为5，
，得；，得.
乙组数据的平均数为5，方差为3，
，得；，得.
两组数据混合成一组，新的一组数据的平均数为，
方差为
12． 33岁 10
【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁，
则该高中高三备课组老师的方差
.
故答案为：33岁；10.
13．12
【详解】由题意知，，
所以，解得，所以，不妨设，
因为样本数据的众数为5，所以a，b，c，d中至少有两个数为5，
由中位数为5，易知，，，所以，
原样本数据中若3最小，则，解得，，矛盾；
若10最大，则，解得，，矛盾；
则a最小，d最大，则，结合，解得，，
即原样本数据为2，3，4，5，5，6，10，13，
所以新的数据分别为8，9，10，11，11，12，16，19，平均数为12，
所以新数据的方差为．
故答案为：12.
14．
【详解】因为的平均值为5，即，所以，
因为的方差为5，即，解得.
因为所有样本点都在曲线上，所以，
所以，
所以的平均值为，故答案为：.
15．(1) (2) (3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是
各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以
化简得即即即所以图中
（2）由第（1）问可得
因此各组的频率分别为
对应这名学生的人数分别为
各组的组中值分别为
所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为
计算得
所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分.
（3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为成绩在内的人数为
所以成绩在内的总人数为
现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人，
则成绩在内被抽取的人数为
所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为
16．(1)0.0045 (2)证明见解析
【详解】（1）因为两个男生的平均身高为米，
方差为，
设所有男生的平均身高为，则，
设所有男生的方差为，则.
（2），又，
，，，，
，，，，.
17．(1) (2)78分； (3)60；36
【详解】（1）根据题意可知，，解得；
（2）因为，
，
所以样本数据的第59百分位数在内，
可得，
所以样本数据的第59百分位数为78分；
（3）样本数据落在的个数为，
落在的个数为，
总方差．
18．(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数
(3)
【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为.
频率分布直方图组距为2，故
所有区间频率和为，即，解得.
（2）餐厅满意指数平均数.
餐厅满意指数平均数.故.
（3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2；
第四组人数为，平均数9，方差1.
混合数据平均数.
方差.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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