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高考数学热点之概率
四川省成都列五中学　　　杨新建　　李兴文
概率统计是近年高考的热点，注重对四个基本公式的考查，以大题呈现的形式居多，其试题与教材及学生现实生活实际紧密联系，题目往往立意高、情境新、设问巧。近三年来大致出现过三种类型：一是课本中出现加以概括的；二是与横向学科有联系的；三是赋予时代气息的数学问题。在教学中，应充分研究大纲、考纲，使学生做到：（1）五个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件点概率；相互独立事件概率．（2）五个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在 n次独立重复试验中恰发生 k次的概率；会求出某些简单离散型随机变量的分布列、期望值、方差．在复习中，应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流及数学表达．
?1．通过对事件的理解与把握来解决问题?例．（年天津）已知甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取个球．
（Ⅰ）求取出的个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的个球中恰有个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
解题思路：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，故取出的个球均为黑球的概率为
．
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的个球均为黑球；从乙盒内取出的个球中，个是红球，个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的个球中，个是红球，个是黑球；从乙盒内取出的个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的个球中恰有个红球的概率为．
（Ⅲ）可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．从而．
从而可得的分布列，进而可求 的数学期望．
命题立意：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．这类考题比较多，如2008年北京卷·理17，浙江卷·理19，安徽卷·文18，山东卷·文18等．又如年江西卷·理18题：
、两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时赢得一张卡片，否则赢得一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止。求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
解题思路：本题涉及随机事件的有关概率．设表示游戏终止时掷硬币的次数，设正面出现的次数为，反面出现的次数为．
则，可得：当或时，。
当或时．所以的值为：，．
．
这是一道比较复杂的概率题目，首先我们应理解随机变量及其概率分布的概念，掌握分布函数的概念及其性质，才能会计算与随机变量相关的事件的概率．准确描述与点关系以及的约束条件，这样才能保证此类题目得高分或全分．
2. 通过应用分类讨论的思想来解决问题?例．（年重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．
解题思路：　设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
通过计算可得：的分布列为
求的期望有两种解法：
解法一　由的分布列得
（元）．
解法二　设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
故．
同理，得，．
综上有（元）．
命题立意：考查随机变量的概率和分布列，这是高考题概率题中考查比较频繁的题型．如2008年天津卷·理18，广东卷·理18，全国卷Ⅱ·理18等．又如08全国卷Ⅰ·文18题：
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这只中的只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外只中任取只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
解题思路：方案甲：检验 次、次、次、次检验出患病动物分别为事件
则,.
方案乙：检验次、次检验出患病动物分别为事件
则,
所求事件的概率为：．
易错警示：本题的难点在于准确计算, 检测次检出患病动物有两种情况：一种是先抽取的三只动物无疾病（第一次检验），有疾病的在余下的两只中，第二次检测抽取一只后便知结果（如抽取的是患病的，则余下的是正常的；如抽取的是正常的，则余下的是患病的）．另一种情况是先抽取的三只动物中有一个患病，另外两个无疾病（第一次检验），然后在该组中进行第二次检验，抽到的恰好是患病动物．
3. 通过合理运用及选择公式来解决问题?例．（年江苏）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第位）
次预报中恰有次准确的概率；
次预报中至少有次准确的概率；
次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率．
解题思路： 属于独立重复概率问题．;
应利用对立事件的概率，以减少计算量．;
问题的内涵是第三次预报准确，其余四次中仅有一次正确．．
命题立意：本题考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率计算方法．关键是弄清题中恰有、至少等相关字词的数学含义．类似“五局三胜制”问题，在近几年高考中均有体现，如2008年山东卷·理18．又如2008湖北卷·理17：
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号．
（Ⅰ）求的分布列、期望和方差；
（Ⅱ）若, ,,试求的值．
解题思路：（Ⅰ）的分布列为：
0
1
2
3
4
P
∴．
（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2． 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求．
命题立意：本题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差的概念及公式以及基本的运算能力．
易错警示：将公式和误记为和，导致计算出错．
4. 利用图表信息及相关概念和公式解题?例．（2007年北京）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有名
学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
解题思路：　由图可知，参加活动次、次和次的学生人数分别为、和．
（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为；
（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为；
（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件，“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件，“这两人中一人参次活动，另一人参加次活动”为事件．易知
；
；
的分布列：
0
1
2
的数学期望：．
命题立意：　本题主要考查排列组合知识和分布列以及期望，突破口在于视图，读懂图（表）中所蕴涵的数学信息．求数学期望的关键在于准确计算分布列．如2008年辽宁卷·理18，海南（宁夏）卷·理19等，题目条件以表格的形式呈现，将频率、概率、期望、方差等问题融为一体进行考查，要求高，立意新，值得高度重视．
通过对近年高考概率试题的研究，给我们对今年高考复习的几点启示：?? 1、在复习中，要知道近年来几乎每年均有一个概率解答题和一个小题，考查力度逐步增加和范围逐步扩大，重点考查仍将在概率与统计的基本思想、基本方法和基本运用处命题，理科考题几乎都涉及考查离散型随机变量的分布列、期望与方差（少数题目涉及正态曲线的性质），所以在复习中应引起足够的重视． ??? 2、在复习中，应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，抓住关键字词句，如由“至少”“恰有”“至多”一类词语的含义找出事件A包含的基本事件数，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流．如
　袋中有个红球和个白球，现每次从袋中取出个球，并将第次取出的球和另外与它同色的个球一同放回袋中．
（Ⅰ）求第二次取出白球的概率；
（Ⅱ）求第三次取球后袋中有个白球的概率.
易错警示：学生解题的最大障碍在于不理解“并将第次取出的球和另外与它同色的个球一同放回袋中”的意义，无法用正确的数学式子表达．其实，如果第一次取出个红球后（袋中剩个红球和个白球），那么就需放回个红球，此时袋中有个红球和个白球．第二次取出个红球后（袋中剩个红球和个白球），那么就需放回个红球，此时袋中有个红球和个白球．第三次取出个白球后（袋中剩个红球和个白球），那么就需放回个白球，此时袋中有个红球和个白球．明白了这个道理，问题就迎刃而解了．答：，.??? 3、在复习中，应要求学生重视数学在生产、生活及科学中的应用，并加强对学生进行偶然性与必然性的对立统一观点的教育．? 4、解决概率应用题，务必要注意叙述规范，计算准确．
　　　　

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