资源简介

广东中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
4．已知函数且 ，若，则（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．52个 C．60个 D．120个
6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ）
2 4 5 6 8
20 45 60 75 80
A．100 B．106 C．110 D．116
8．设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
二、多选题
9．已知直线l与平面相交于点P，则（ ）
A．内不存在直线与l平行
B．内有无数条直线与l垂直
C．内所有直线与l是异面直线
D．至少存在一个过l且与垂直的平面
10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
三、填空题
12．函数是奇函数，则实数_______________.
13．已知角终边经过点，则__________．
14．已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______.
四、解答题
15．已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)讨论导函数的单调性．
16．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求证：；
(2)若，的面积为，求.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与的夹角；
(3)求三棱锥的体积.
18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
19．袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望.
(1)当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；
(2)若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当时，求的最大值以及此时的值.
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．C
5．B
6．D
7．B
8．C
9．ABD
10．AC
11．ABD
12．1
13．2
14．
15．（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
16．（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
（2）因为，，
所以，，，，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，.
17．（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）
以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
18（1）由双曲线，得，即.
已知离心率，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
（2）由得，设，.
向量，，
由得，解得，
代入双曲线方程得，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为或.
（3）
设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则，即的取值范围.
19．（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
（2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为，
则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，，
所以，
所以，
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
所以所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则，
所有可能的取值为：，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，此时.

展开更多......

收起↑