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陕西西安高新第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．使命题“”为假命题的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．求值：（ ）
A．1 B． C． D．
8．DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．函数在下列区间（ ）上单调递减．
A． B． C． D．
10．记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．
B．
C．的外接圆的周长为
D．为锐角三角形
11．正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ）
A．直线与所成的角为
B．平面
C．当时，的长最小，且最小值为
D．当的长最小时，点到平面的距离为
三、填空题
12．平面向量，，则在上的投影向量坐标为________.
13．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____

14．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上恰有一个零点时，求的取值范围．
16．如图，三棱柱中，，，．
（1）证明：；
（2）若，，求三棱柱的体积．
17．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．
(1)证明：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求与平面所成角的正弦值．
19．已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且
(1)若实数满足，求实数的取值范围；
(2)若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设是定义在上的函数，其中，是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．B
6．D
7．B
8．D
9．AC
10．BCD
11．ABC
12．
13．
14．20
15．（1）函数．
令，得.
所以的单调递增区间为.
（2）因为将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，
所以.
当时，.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
所以当时，直线与函数的图象恰有一个交点，
所以方程，即恰有一个零点，
所以函数有一个零点.
因此，的取值范围是．
16．（1）取AB的中点O，连接、、，因为CA=CB，所以，由于AB=AA1，∠BA A1=600，所以，所以平面，因为平面，所以AB⊥A1C；
（2）有（1）可知，因为为等边三角形，所以，由勾股定理可得，所以平面ABC,
底面积，所以体积
17．（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
，
，，则，
，.
（2）因为是中点，所以.
两边平方得 .
所以，即，
又由均值不等式得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
18．（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点，
则，
在和中，，则三个内角均对应相等，故，
相似比为，
，即，
已知，则，
由平行线分线段成比例定理可得，
又分别为的中点，
，．
（2）在矩形中，，
，则，
，则，
，
，即，
底面，底面，故，
，且平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（3）
平面，即平面，
即为与平面所成的角，
由（2）知，，
已知，，，
，
在中，．
19．（1）∵函数（，为常数）是定义在上的奇函数.
∴
∵，∴
任取且，
所以
，
因为，所以，
所以，即，
所以是定义在上的奇函数且是增函数，
由,得，
∴,解得，
∴实数的取值范围是
（2）∵由（1）知，在上的最大值为
∴不等式对所有的恒成立.
∵，解得，
∴实数的取值范围为.
（3）由，得，
所以，
由指数函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增的奇函数，
且对任意恒成立
∴
∵，恒成立，
∴在恒成立.
设，，则不等式对恒成立.
∵或或，
∴或或，
∴实数的取值范围是

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