资源简介

广东省茂名市化州市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知，所以．
故答案为：C．
【分析】本题考查对数不等式的解法与集合的交集运算，核心是先化简集合M，再根据交集的定义求出M∩N。
2．若，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
故答案为：B．
【分析】本题考查复数的运算与复数模的求解，核心是先通过复数除法求出z，再利用模的公式计算∣z∣。
3．已知的展开式的第4项展的系数为（　　）
A．70 B．84 C．140 D．280
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得的展开式的第4项为：．
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是准确写出二项展开式的通项公式，确定第 4 项对应的r值，计算其系数。
4．△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则 的值为（　　）
A．19 B．14 C．-18 D．-19
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由于 ， ， ，
则 ，
则
．
故答案为：D．
【分析】运用余弦定理，求得 ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．
5．记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．23 D．25
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设公差为，则，，
解得，所以，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：D
【分析】本题考查等差数列的通项与前 n 项和的最值问题，核心是利用等差数列的基本公式求出首项和公差，分析项的正负变化确定前 n 项和的最大值点。
6．函数的大致图像为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数中，，当时，，B错误；
函数中，，当时，，D错误；
解得，故为函数的极值点，C错误，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用函数值正负、特殊点与导数分析图像特征，先通过函数值域排除B，再由零点特征排除D，最后通过求导找极值点排除C，验证A。
7．某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记“派出的2人中有1人是男生”为事件，“另一人恰好是女生”为事件．
则．
故答案为：C
【分析】本题为条件概率计算问题，核心是明确“第1人是男生”的前提下，“第2人是女生”的概率计算逻辑，需结合组合数与古典概型公式求解。
8．已知为球的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为，，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得为等边三角形，
设外接圆半径为，，解得，
由，可知三棱锥为正四面体，
将正四面体放在正方体，如图：
设正方体的棱长为，则，
解得，
设正方体的外接球半径为，
则，
所以，
所以球的体积为.
故答案为：B
【分析】本题考查空间几何与外接球问题，核心是通过正四面体与正方体的关系，确定球的半径，进而计算球的体积。
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．
9．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（　　）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
【答案】A,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
对于B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，则种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
对于C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，
再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
对于D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法结合分步与分类计数原理，从而逐项分析找出说法正确的选项.
10．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角，则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由，结合平面平面即可判断；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间性向量法证明垂直即可；对于C，分别求出平面和平面的一个法向量，再求二面角即可；对于D，根据线面的向量表示，得出线面角的范围判断即可．
11．如果一个函数在其定义区间内对任意，都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【解答】A.对于函数，定义域内任取，有∴下凸函数，A正确；
B. 对函数，在定义域内取，，
，因为，
即，不满足任意性，所以不是下凸函数，B错误；
C.对于函数，定义域内任取，
有，
故不是下凸函数，D错误；
D.，由已知，若满足下凸函数，则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，由图象可知，此函数满足下凸函数定义，D正确。
故答案为：AD
【分析】A：根据下凸函数的定义，代入指数函数的表达式，结合基本不等式验证是否成立。
B：选取特殊值代入三角函数，计算和的大小，判断是否满足下凸函数定义。
C：代入对数函数的表达式，结合对数运算性质与基本不等式，验证下凸函数定义式是否成立。
D：根据分段函数的表达式，结合下凸函数的图象特征（两点连线在函数图象上方或重合），判断是否满足定义。
三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分．
12．向量满足，，与的夹角为，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，，与的夹角为，
所以
，
则.
故答案为：.
【分析】先对进行平方，再结合已知条件和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出的值.
13．若直线与曲线相切，则实数的值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由得，
令得，此时，故切点为，
故，得，
故答案为：
【分析】本题考查导数的几何意义（切线斜率），核心是通过曲线的导数求出切点横坐标，再结合切点在直线上的条件求解参数a。
14．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是　 　．
【答案】
【知识点】圆的切线方程；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
因为，
所以，所以，
因为直线与圆切于点，所以，，
又，所以，
所以，，，
设双曲线的右焦点为，则，
又，故，
由余弦定理可得，，
所以，
所以，
又，，，，
所以，
所以，所以，
所以则双曲线的离心率.
另解：作，垂足为，
由，，于是为的中位线，
结合已知分析，，，
由勾股定理，即，整理得，其余同上.
故答案为：.
【分析】先通过向量关系式化简，结合切线性质、双曲线定义与余弦定理，求出的比例关系，再由离心率公式计算结果。
四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列．
【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）解：由4组无人驾驶汽车的数量比为：，
若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆，
在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆，
由题意知，随机变量的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质（所有矩形面积之和为 1），列出关于a的方程，解方程即可求得a的值；
(2) 先由分层抽样的比例求出样本中行驶里程在[7，8)和[8，9]的车辆数，确定随机变量X的可能取值，再利用组合数计算每个取值对应的概率，进而列出分布列。
（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：，
若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆，
在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆，
由题意知，随机变量的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．
【答案】（1）证明： 因为平面，平面，所以，
由，知，，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，是的中点，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）解： 在四棱锥中，平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 由平面 ，可得，根据线面垂直的判定定理证明平面，可得，再由，是的中点， 证，最后根据线面垂直的判定定理证明平面；
（2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.
（1）证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面．
（2）平面，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
（2）解：，.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求函数导函数，计算x=1处的切线斜率，再根据两条直线垂直的斜率关系，求解参数a；
(2) 求导后，按参数a的取值范围分类讨论，解导数不等式，得到函数的单调区间；
(3) 先证明x-ln x>0，再对不等式分离参数a，构造新函数并求其在区间上的最小值，从而确定a的取值范围。
（1）因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
（2），.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
18．已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值．
【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为．
当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以，
又C的离心率，所以，结合，
得，，所以椭圆C的方程为．
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，否则，
所以可设直线的方程为，
联立得，
所以，
，
所以，
，
由（1）知，
因为，所以，
所以，即，
即，解得或（舍去），
又满足，故存在定点.
（3）解：由（2）知，，，
所以A到的距离，
所以面积
，
令，
，因为，
所以当时，，此时，满足，故．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式、基本关系式与焦点三角形面积最大值，联立求解参数 ，得到椭圆方程；
(2) 设直线方程并联立椭圆，结合向量数量积 与韦达定理，推导出直线恒过的定点；
(3) 结合弦长公式、点到直线距离公式表示三角形面积，通过换元法将其转化为单变量函数，再求最大值。
（1）设椭圆C的焦距为．
当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以，
又C的离心率，所以，结合，
得，，所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则，
所以可设直线的方程为，
联立得，
所以，
，
所以，
，
由（1）知，
因为，所以，
所以，即，
即，解得或（舍去），
又满足，故存在定点.
解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得
，
即①，设直线MN方程为，
代入（1）得：，
即，
，两边同时除以得：②，
设，
，、是②式的两根，
得，，平移回去（向左平移2个单位），
得直线过定点.
（3）解法一：由（2）知，，，
所以A到的距离，
所以面积
，
令，
，因为，
所以当时，，此时，满足，故．
18题图
解法二：
，其余同上.
19．若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，．
（1）判断数列是否为“型数列”，并证明；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：数列是“型数列”，理由如下：由，得，
因为，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，，
，
所以数列满足“型数列”的定义，
即数列是“型数列”．
（2）解：由（1）知，，…，，
累加得，
又，所以．
（3）解：由（2）可知，，不等式有解，
整理为，有解，即，
设，，则，
设，，，
所以在上单调递增，
，所以函数的值域为，
则，
当时，，所以，
所以的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 对已知递推式 变形，得到 ，结合首项判断数列 为等比数列，验证其符合“D(h)型数列”定义；
(2) 利用(1)的结论，通过累加法将 转化为等比数列求和，进而求得通项公式；
(3) 先求出 的表达式，将不等式参变分离，转化为求函数最值问题，利用导数或函数单调性确定 的取值范围。
（1）数列是“型数列”，理由如下：
由，得，
因为，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，，
，
所以数列满足“型数列”的定义，
即数列是“型数列”．
（2）由（1）知，，…，，
累加得，
又，所以．
（3）由（2）可知，，不等式有解，
整理为，有解，即，
设，，则，
设，，，
所以在上单调递增，
，所以函数的值域为，
则，
当时，，所以，
所以的取值范围是．
1 / 1广东省茂名市化州市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B．1 C． D．2
3．已知的展开式的第4项展的系数为（　　）
A．70 B．84 C．140 D．280
4．△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则 的值为（　　）
A．19 B．14 C．-18 D．-19
5．记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．23 D．25
6．函数的大致图像为（　　）
A． B．
C． D．
7．某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知为球的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为，，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．
9．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（　　）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
10．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
11．如果一个函数在其定义区间内对任意，都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分．
12．向量满足，，与的夹角为，则　 　．
13．若直线与曲线相切，则实数的值为　 　.
14．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是　 　．
四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图：
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/23/22/2322a5ac5159ff0224ff85641021b1ae.png]
（1）求的值；
（2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．
17．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
18．已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值．
19．若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，．
（1）判断数列是否为“型数列”，并证明；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由已知，所以．
故答案为：C．
【分析】本题考查对数不等式的解法与集合的交集运算，核心是先化简集合M，再根据交集的定义求出M∩N。
2．【答案】B
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
故答案为：B．
【分析】本题考查复数的运算与复数模的求解，核心是先通过复数除法求出z，再利用模的公式计算∣z∣。
3．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得的展开式的第4项为：．
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是准确写出二项展开式的通项公式，确定第 4 项对应的r值，计算其系数。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由于 ， ， ，
则 ，
则
．
故答案为：D．
【分析】运用余弦定理，求得 ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．
5．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设公差为，则，，
解得，所以，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：D
【分析】本题考查等差数列的通项与前 n 项和的最值问题，核心是利用等差数列的基本公式求出首项和公差，分析项的正负变化确定前 n 项和的最大值点。
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数中，，当时，，B错误；
函数中，，当时，，D错误；
解得，故为函数的极值点，C错误，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用函数值正负、特殊点与导数分析图像特征，先通过函数值域排除B，再由零点特征排除D，最后通过求导找极值点排除C，验证A。
7．【答案】C
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记“派出的2人中有1人是男生”为事件，“另一人恰好是女生”为事件．
则．
故答案为：C
【分析】本题为条件概率计算问题，核心是明确“第1人是男生”的前提下，“第2人是女生”的概率计算逻辑，需结合组合数与古典概型公式求解。
8．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可得为等边三角形，
设外接圆半径为，，解得，
由，可知三棱锥为正四面体，
将正四面体放在正方体，如图：
设正方体的棱长为，则，
解得，
设正方体的外接球半径为，
则，
所以，
所以球的体积为.
故答案为：B
【分析】本题考查空间几何与外接球问题，核心是通过正四面体与正方体的关系，确定球的半径，进而计算球的体积。
9．【答案】A,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
对于B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，则种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
对于C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，
再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
对于D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法结合分步与分类计数原理，从而逐项分析找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角，则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由，结合平面平面即可判断；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间性向量法证明垂直即可；对于C，分别求出平面和平面的一个法向量，再求二面角即可；对于D，根据线面的向量表示，得出线面角的范围判断即可．
11．【答案】A,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【解答】A.对于函数，定义域内任取，有∴下凸函数，A正确；
B. 对函数，在定义域内取，，
，因为，
即，不满足任意性，所以不是下凸函数，B错误；
C.对于函数，定义域内任取，
有，
故不是下凸函数，D错误；
D.，由已知，若满足下凸函数，则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，由图象可知，此函数满足下凸函数定义，D正确。
故答案为：AD
【分析】A：根据下凸函数的定义，代入指数函数的表达式，结合基本不等式验证是否成立。
B：选取特殊值代入三角函数，计算和的大小，判断是否满足下凸函数定义。
C：代入对数函数的表达式，结合对数运算性质与基本不等式，验证下凸函数定义式是否成立。
D：根据分段函数的表达式，结合下凸函数的图象特征（两点连线在函数图象上方或重合），判断是否满足定义。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意得，，与的夹角为，
所以
，
则.
故答案为：.
【分析】先对进行平方，再结合已知条件和数量积的运算法则以及数量积的定义，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由得，
令得，此时，故切点为，
故，得，
故答案为：
【分析】本题考查导数的几何意义（切线斜率），核心是通过曲线的导数求出切点横坐标，再结合切点在直线上的条件求解参数a。
14．【答案】
【知识点】圆的切线方程；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
因为，
所以，所以，
因为直线与圆切于点，所以，，
又，所以，
所以，，，
设双曲线的右焦点为，则，
又，故，
由余弦定理可得，，
所以，
所以，
又，，，，
所以，
所以，所以，
所以则双曲线的离心率.
另解：作，垂足为，
由，，于是为的中位线，
结合已知分析，，，
由勾股定理，即，整理得，其余同上.
故答案为：.
【分析】先通过向量关系式化简，结合切线性质、双曲线定义与余弦定理，求出的比例关系，再由离心率公式计算结果。
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）解：由4组无人驾驶汽车的数量比为：，
若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆，
在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆，
由题意知，随机变量的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质（所有矩形面积之和为 1），列出关于a的方程，解方程即可求得a的值；
(2) 先由分层抽样的比例求出样本中行驶里程在[7，8)和[8，9]的车辆数，确定随机变量X的可能取值，再利用组合数计算每个取值对应的概率，进而列出分布列。
（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：，
若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆，
在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆，
由题意知，随机变量的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
16．【答案】（1）证明： 因为平面，平面，所以，
由，知，，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，是的中点，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）解： 在四棱锥中，平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 由平面 ，可得，根据线面垂直的判定定理证明平面，可得，再由，是的中点， 证，最后根据线面垂直的判定定理证明平面；
（2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.
（1）证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面．
（2）平面，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
（2）解：，.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求函数导函数，计算x=1处的切线斜率，再根据两条直线垂直的斜率关系，求解参数a；
(2) 求导后，按参数a的取值范围分类讨论，解导数不等式，得到函数的单调区间；
(3) 先证明x-ln x>0，再对不等式分离参数a，构造新函数并求其在区间上的最小值，从而确定a的取值范围。
（1）因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
（2），.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
18．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为．
当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以，
又C的离心率，所以，结合，
得，，所以椭圆C的方程为．
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，否则，
所以可设直线的方程为，
联立得，
所以，
，
所以，
，
由（1）知，
因为，所以，
所以，即，
即，解得或（舍去），
又满足，故存在定点.
（3）解：由（2）知，，，
所以A到的距离，
所以面积
，
令，
，因为，
所以当时，，此时，满足，故．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式、基本关系式与焦点三角形面积最大值，联立求解参数 ，得到椭圆方程；
(2) 设直线方程并联立椭圆，结合向量数量积 与韦达定理，推导出直线恒过的定点；
(3) 结合弦长公式、点到直线距离公式表示三角形面积，通过换元法将其转化为单变量函数，再求最大值。
（1）设椭圆C的焦距为．
当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以，
又C的离心率，所以，结合，
得，，所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则，
所以可设直线的方程为，
联立得，
所以，
，
所以，
，
由（1）知，
因为，所以，
所以，即，
即，解得或（舍去），
又满足，故存在定点.
解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得
，
即①，设直线MN方程为，
代入（1）得：，
即，
，两边同时除以得：②，
设，
，、是②式的两根，
得，，平移回去（向左平移2个单位），
得直线过定点.
（3）解法一：由（2）知，，，
所以A到的距离，
所以面积
，
令，
，因为，
所以当时，，此时，满足，故．
18题图
解法二：
，其余同上.
19．【答案】（1）证明：数列是“型数列”，理由如下：由，得，
因为，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，，
，
所以数列满足“型数列”的定义，
即数列是“型数列”．
（2）解：由（1）知，，…，，
累加得，
又，所以．
（3）解：由（2）可知，，不等式有解，
整理为，有解，即，
设，，则，
设，，，
所以在上单调递增，
，所以函数的值域为，
则，
当时，，所以，
所以的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 对已知递推式 变形，得到 ，结合首项判断数列 为等比数列，验证其符合“D(h)型数列”定义；
(2) 利用(1)的结论，通过累加法将 转化为等比数列求和，进而求得通项公式；
(3) 先求出 的表达式，将不等式参变分离，转化为求函数最值问题，利用导数或函数单调性确定 的取值范围。
（1）数列是“型数列”，理由如下：
由，得，
因为，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，，
，
所以数列满足“型数列”的定义，
即数列是“型数列”．
（2）由（1）知，，…，，
累加得，
又，所以．
（3）由（2）可知，，不等式有解，
整理为，有解，即，
设，，则，
设，，，
所以在上单调递增，
，所以函数的值域为，
则，
当时，，所以，
所以的取值范围是．
1 / 1

展开更多......

收起↑