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2025-2026年甘肃省渭源一中最后一套卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C． D．
2．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
4．设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ）
A． B．16 C． D．32
5．在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
8．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知在中，.设函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．在区间上有且仅有3个零点
10．已知数列满足，，，是的前项和，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．的前项和小于1
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的极大值为
B．函数的极小值为
C．直线是函数图象的一条切线
D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是
三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分
12．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______.
13．某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答)
14．在的展开式中，的系数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15（13分）．在锐角中，角的对边分别为， .
(1)求角；
(2)已知，求周长的取值范围.
16（15分）．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
17（15分）．小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响.
(1)求小张周日打羽毛球的概率；
(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率；
(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望．
18（17分）．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为.
（ⅰ）求点的轨迹方程；
（ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由.
19（17分）．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)设为两个不相等的正数，且，证明：
第1页共4页 第2页共4页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C D A C D AC AD
题号 11
答案 ACD
12．
13．540
14．8
15．（1）由题设及正弦边角关系知，得，
整理得，故，又，所以；
（2）由（1）知，，
由于是锐角三角形，则，则，
由正弦定理得，即，.
又，故的周长为
.
而在上单调递减，
所以的周长的取值范围为.
16．（1）
设的中点为，连接.
因为分别为的中点，所以，且.
在直三棱柱中，，且，所以，
所以四边形为平行四边形，则.
又平面，平面，所以平面.
（2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设直三棱柱的侧棱长，可得
三棱锥，到底面的距离为，，
因此，解得.
则向量，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，即；
平面的一个法向量为；
设两个平面夹角为，则.
即两个平面的夹角余弦值为.
17．（1）设小张周日打羽毛球为事件，
根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为，
由全概率公式可得.
（2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为，
根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为，
，
，
，
故.
（3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为，
小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为，
可能的取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
则．
18．（1）设，，则，
由，所以有，
则有，又，所以有，
所以点的轨迹的方程：；
【2】（ⅰ）当直线的斜率存在时，
设直线：，，，
联立，消去得，
则，，
由题意，，即， ，
代入化简得，
所以有 ，
若，则直线：，所以直线过定点；
若，则直线：，此时直线过点(不合题意，舍去).
当直线的斜率不存在时，，，
由有，得，（舍），
综上，直线过定点，
由题意，，所以在以为直径的圆上，
故的轨迹为；
（ⅱ）设直线的斜率为，当时，直线斜率为，直线斜率为，
由题意知，，所以，
设直线的斜率为，要使，与该圆相切，
则满足直线与的夹角等于直线与的夹角，
所以，因为为，夹角的角平分线，所以不可能垂直或，所以 和均不为，即等式分母均不为0.
化简为 ，
因为 ，所以同号，即不为0，即或，
当时，，有；当时，同理有.
当(即与轴平行)时，与重合，此时、垂直轴，若圆K与和相切，则，此时 ，即或，满足题意.
综上所述，或3
19．（1），所以切点
由得，，
所以切线方程为：，即：
（2）的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
（3）变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
因为，则有，不妨设．
由（2）知，先证．
要证：．
令，
则，
∴在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以，所以，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
答案第1页，共2页
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