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安徽淮北市2025—2026学年度下学期九年级质量检测数学试题卷
一、单选题
1．2的倒数是（）
A． B． C． D．2
2．根据淮北市统计局发布的《淮北市2024年国民经济和社会发展统计公报》数据，截至2024年末，淮北市常住人口为193.2万人．其中193.2万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．125° B．120° C．140° D．130°
7．如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图,根据立体图上的尺寸标注,它的左视图的面积为（ ）
A．24 B．30 C．18 D．14.4
8．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（ ）
提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
（2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．50 B．55 C．60 D．65
10．如图，矩形中，，，动点在直线的下方，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：________．
12．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________．
13．如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________．
14．如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且．
（1）若点为线段的中点，则________；
（2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________．

三、解答题
15．解方程：．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别，，．
(1)在网格内，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，画出（点、、的对应点分别为、、）；点的坐标为________；
(2)仅用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得线段最短（保留作图痕迹，不写作法）．
17．某校举办了“数学知识竞赛”活动．活动结束后，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽取了________（填数字）名参赛学生，并补全条形统计图；
(2)求被抽取的参赛学生竞赛成绩的平均数及扇形统计图中“80分”所对应圆心角的度数．
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，是方程的两个实数根，若，求实数的值．
19．如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为．
(1)求枝条末梢点到地面的距离；
(2)图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，）
20．如图，为⊙O的直径，为延长线上一点，是⊙O的切线，为切点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．【题目背景】
一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放到乙堆去，这算是挪动一次．继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆．
例如：当，，时，操作方案如表所示：
操作步骤
第一步：，挪动1个球 40
第二步：，挪动2个球 8
第三步：，挪动4个球 8
第四步：，挪动8个球 34
【解决问题】
(1)若初始状态为，，．按照以下策略操作：
第一步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个；
第二步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个；
将操作步骤简记为：第一步：，挪动1个球；第二步：，挪动2个球；
则补全第三步：________；第四步：________；第五步：________；
在挪动的5次中，第次需挪动________个球（用含的代数式表示）．
【拓展应用】
(2)若初始状态为，，．小明经过若干次操作后，发现可以将三堆球合并为两堆（即其中一堆球数变为0）．请写出一种可行的操作方案．
22．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，．
(1)比较大小：________（填，，）；
(2)求线段的长；
(3)求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．顶点坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知直线：，点在轴上，过点作于点，绕点顺时针旋转，得线段，当点恰好落在第一象限的抛物线上，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，请直接写出的值．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．B
5．B
6．D
7．D
8．B
9．C
10．A
11．0
12．
13．/
14． 2.5 5
15．解：方程两边同乘以最简公分母，得，
解方程，得，
检验：当时，．
所以，原方程的根是．
16．（1）解：如图所示；即为所求；
点的坐标为；
（2）解：如图所示，点即为所求．
17．（1）解：由题意可得：本次抽样调查共抽取了名参赛学生；
竞赛成绩为分的学生人数为（名），
补全图形如下：
（2）解：平均数：；
，
故平均数为80.6，扇形统计图中“80分”这一分数段所对圆心角的度数为．
18．（1）解：方程有两个实数根，
，
即，
解得．
实数的取值范围是．
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，．
则
，
∵，
∴，即，
∴
或，
，
当时，．
19．（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，（米），
，
四边形是矩形，
（米），
（米）
答：枝条末梢点到地面的距离为米；
（2）解：在中，，
（米），
在中，，
（米），
由（1）知四边形是矩形，
（米），
（米），
答：点到主树干的距离为米．
20．解：（1）连接，
，
，
是的切线，为切点，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．（1）解：第一步：选择堆向堆挪动1个球，挪动后堆变为2个；
第二步：选择堆向堆挪动2个球，挪动后堆变为4个；
则补全第三步：，挪动4个球；
第四步：，挪动8个球；
第五步：，挪动16个球；
观察可得：在挪动的5次中，第次需挪动个球；
（2）解：操作方案：
操作步骤
第一步：，挪动2个球 34
第二步：，挪动4个球 34
第三步：，挪动8个球 34
22．（1）解：如图，作于点，于点，
，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
如图，作于，于，
，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，
，
由（2）知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
23．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点，
，
在中，当时，则，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，
又，
是等腰直角三角形，，
，，
是等腰直角三角形，，
又，
是等腰直角三角形，，，
设点，
由旋转得，，
，
轴，
，
在和中，
，
，
，
在第一象限，
的坐标为，
代入抛物线得，
解得或，
∴点坐标为或（与点重合，舍去），
∴，，
∴，
点的坐标为；
（3）解：点在抛物线上，点在抛物线上，
，
令，则此抛物线开口向上，对称轴为，
当时，的最小值为3，分三种情况讨论：
①当时，最小值在处：，
解得或（舍去）；
②当时，最小值在处：，
解得或（舍去）；
③当时，最小值在处：，
解得（，舍去）；
综上，的值为或．

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