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河南商丘市华大新高考联盟2026届高三4月联考模拟预测
数学试卷
一、单选题
1．记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，则的真子集个数为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
4．已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝色区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（ ）

A．平面 B．平面
C．二面角的余弦值为 D．直线与所成的角为
10．已知函数，若的解集为或，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象的对称中心的纵坐标为
D．不等式的解为
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（ ）
A．
B．以为直径的圆与以为直径的圆内切
C．若点，能够关于直线对称，则
D．若，则的面积的取值范围为
三、填空题
12．将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.
13．已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______.
14．若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______.
四、解答题
15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.
(1)求，的值；
(2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.
16．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)求的值以及的面积；
(2)已知点在线段上，若，且，求的值.
17．如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面.
(1)求的值；
(2)若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求；
(3)已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由.
19．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
(1)将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围.
(2)已知曲线：.
（ⅰ）求证：曲线关于直线对称.
（ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．D
8．B
9．ABD
10．ABD
11．ABD
12．
13．76
14．
15．（1）依题意可知组距为，则，
解得.
（2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；
则，
，
，
，
.
分布列如下表所示.
0 1 2 3 4
故.
16．（1）由正弦定理得，，
故.
因为，，所以，
则，
故，，
所以，
.
（2）如图，，

故.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，
所以，
故，
所以.
所以,
所以,
因为，
所以,
所以.
17．（1）如图，连接，
因为，所以，，，四点共面.
因为平面，平面平面，
平面，故，
故四边形是平行四边形，所以.
易知，因为，
所以，
所以.
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，
所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，得，故.
，，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，故平面的一个法向量为，
故直线与平面所成角的正弦值.
18．（1）当直线的倾斜角为且，，三点共线时，
直线：，
联立则.
设，，故，
则，故抛物线的方程为.
（2）设直线，联立，得，
则，，.
设，则解得，，
则，解得，
则，
则.
（3）直线的斜率为，
直线的方程为，
代入并整理得，
令得，，则.
焦点的坐标为，直线的方程为，
整理得，则点到直线的距离
，
同理，点到直线的距离，
由及直线与抛物线的位置关系，
可得直线是的外角平分线.
19．（1）将和绕坐标原点顺时针旋转后，分别得到，，
当时，，
故问题转化为曲线与直线有且仅有一个交点，
令，则，
当时，由切线不等式可知，当且仅当时，等号成立，
故当时，；
当时，因为，故，当且仅当时，等号成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）（i）设点在曲线上，则，所以，
因为点关于直线对称的点为，所以曲线关于直线对称．
（ii），
将曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到曲线，由旋转公式可得,
则代入曲线得，
整理得，显然，
故曲线的方程为．
因为，所以，
令，则，
令，得，，
因为当和时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，，当时，，所以存在唯一零点．
因为，所以不等式的解集为，
所以曲线恒在直线的下方．
将直线绕原点逆时针旋转，可得，
此时点到直线的距离为，
所以，解得，所以．
综上所述，，．

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