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江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期中调研试卷数学
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知，为第二象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且与同向，则
B．若，则
C．若，是两个单位向量，则
D．若，则
5．在中，点是中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（ ）
A．400 B．450 C．560 D．630
8．已知函数，，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于函数与，下列说法正确的有（ ）
A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的对称轴
C．与有相同的最值 D．与有相同的零点
10．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ）
A． B．与的夹角为
C．在方向上的投影向量为 D．
11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（ ）
A．的外接圆半径为1 B．
C． D．可能为钝角三角形
三、填空题
12．已知向量，，且，则________．
13．已知，则______．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.若，则的值是________．
四、解答题
15．已知向量是夹角为的单位向量，，．
(1)求及的值；
(2)求与的夹角的大小．
16．已知向量，，设函数，且的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求的值，并直接写出在上的单调增区间；
(2)若，，且，求的值．
17．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求bc的值；
(2)若的面积为，求的值．
18．如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A，B，它们到河岸线l的距离都为3百米．为了铺设管道取水，计划在河岸线l上找一点Q修建抽水点，在AB与l之间修建中转接水点P，设计铺设三条直线管道PA，PB，PQ，其中百米，，．记铺设管道的总长度为y百米．
(1)按下列要求建立函数关系式：
（ⅰ）设，将y表示成的函数；
（ⅱ）设百米，将y表示成x的函数；
(2)请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值．
19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求角A的大小；
(2)当时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值；
（ⅱ）求值．
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．D
5．A
6．C
7．B
8．D
9．AC
10．ACD
11．ABC
12．4
13．/
14．
15．（1）依题意，，
由可得；
（2）因，
，，
则，因，故，
即与的夹角为.
16．（1）
，
因的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则，解得，
，
由可得，
因，故在上的单调增区间为和；
（2），
又，，则得，
于是，
则，
因，故.
17．（1）由和余弦定理，可得，
则有或，
由可得，即，这与锐角矛盾，故；
（2）由（1）知故，则，可得，
因，故，
因，则，
由正弦定理，
.
18．（1）在中，
由正弦定理，
所以
又因为 ，且到河岸线的距离都为百米，
所以与的距离为3百米，
到直线的距离为，
故，
于是铺设管道的总长度为
，
所以，.
，.
（ii）设百米，
则到直线的距离为百米，
在中，
又因为
所以
由余弦定理，
因为，所以
代入，得
从而，
所以
于是
又因为
所以
即
解得
又由于点在与之间，所以
故自变量的取值范围为
所以.
（2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式：
，.
设，则，
，，，
转化为
即
设，，，
转化为，
对称轴为，开口向下，
在上是单调递减函数，
当时，取最小值，且最小值为.
故铺设管道总长度的最小值为百米，即米.
若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式：
，
设，则，，
，，，
，，，
转化为，
对称轴为，开口向下，在上是单调递减函数，
当时，取最小值，且最小值为，
故铺设管道总长度的最小值为百米，即米.
19．（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，
整理得.
因为，所以，
所以，即，化简.
又因为，所以，即得.
（2）由余弦定理得，且，即得，即，
在中，，所以，
，
所以
，
因为，所以，解得，当且仅当时取等号.
所以，所以当且仅当时取最大值.
（ⅱ）由正弦定理，得，
又因为，所以，
所以
，
所以，所以.

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