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江苏宿迁市20252026学年第二学期期中质量监测高一数学试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
3．在中，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知是边上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，已知，点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则
D．若在上的投影向量为，则
10．下列各式中，计算结果为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在中，角的对边分别为，，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．若，则的面积最大值为6
三、填空题
12．设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且，，三点共线，则________．
13．已知，则的值为______．
14．在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．
四、解答题
15．在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，．
(1)试用基底表示；
(2)求的值．
16．已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．在中，分别为角的对边．
(1)若，求角的大小；
(2)若，，求的余弦值．
18．在平面凸四边形中，．
(1)若．
①求的长；
②求四边形的面积；
(2)若，求的长．
19．如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”．
(1)当时，若，求的长；
(2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；
(3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：．
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．B
5．C
6．C
7．D
8．A
9．ACD
10．AD
11．BC
12．
13．
14．8
15．（1）
因为是的中线，所以，
又因为是中点，所以，
即；
（2）由题意，，
因为是等边三角形，与夹角为，
所以 ，
由.
16．（1）已知为锐角，由，
结合同角三角函数关系，解得：，
由二倍角公式，代入得：；
（2）因为为锐角，所以，又，因此，
由同角三角函数关系得：，
因此，
又，由正切差角公式：，
代入得：.
17．（1）由正弦边角关系得：，
所以
则，即，
所以（舍）或，故 .
（2）
设，
因为，所以，所以是等边三角形，
所以，即，所以，
在中，，
所以，
，所以，所以，
所以，
所以，且，
所以.
18．（1）①，，即
由余弦定理得，
代入得：，
化简得：，解得.
②设四边形的面积为，，
.
（2）如下图，过点作垂线交于，设，
，
四边形是矩形，，
对用勾股定理得：，
对用勾股定理得：，
对用余弦定理得：，
即，化简得
两边平方得：，
再化简得：，
解得或4，，或2，
又是锐角三角形，，
即，得，.
19．（1）
如图，因，则为直角三角形，则，
于是，又，
在中，由余弦定理，，
故
（2）
如图，设，则，
，
，因，
则
，
因，则当时，取得最大值为10；
（3）
如图，设为的“变换三角形”，
则，
，
，
于是
.

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