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2025-2026 年春学段期中教学质量评价
高一年级数学卷
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为（ ）
A．-i B． C．-1 D．1
2．已知向量 满足 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已知 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．四边形 的周长为
D．四边形 的面积为
4．若平面向量 ，两两夹角相等，且 ，则 （ ）
A．3 B．9 C．3 或 9 D．3 或
5．如图，三棱柱 中，点 E，F，G，H 分别为 ， ， ， 的
中点，则下列说法错误的是（ ）．
A．E，F，G，H 四点共面 B． 与 是异面直线
C． ， ， 三线共点 D．
6.已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A．体积为 B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为 2
7．在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知在 中， 为 的中点， 与 相交于点 .若
，则 （ ）
A． B．
B．C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， 的夹角为钝角，则
10．已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则如下判断正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形或直角三角形
C．若 ，则 是锐角三角形
D．若 ，则符合条件的 有两个
11.如图，正方体 的棱长为 分别是 的中点，
点 是底面 ABCD 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥 的体积为 4
C．三棱锥 的外接球表面积为
D．一质点从 A 点出发沿正方体表面绕行到 的中点的最短距离为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．复数 为纯虚数，则实数 的值为_____________．
13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是 1998-2006 年重建的，
如图 1.某人为了测量塔高 ，在 点处测得仰角为 ，在 点处测得仰角
为 ， 两点间的距离为 米， ，如图 2，则塔的高度为
_________米.
14．已知正三棱柱 ，侧面 的面积为 ，则该正三棱柱
外接球表面积的最小值为______.
三、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）如图，在平行四边形 中， ， ， ， ， .
(1)用向量 ， 表示向量 ， ；
(2)求向量 ， 夹角的余弦值.
16．（15 分）已知 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 的中点，且 ，求 的面积．
17．（15 分）如图是一个正四棱台 的铁料，上、下底面的边长分别为 20cm 和 40cm，高 30cm．
(1)求四棱台 的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体
积之比．
18．（17 分）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，
，
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.
19．（17 分）如图所示，正四棱锥 中，P 为侧棱 SD 上的点，且 ，Q 为侧棱 SD 的中点，
平面 平面 ．
(1)证明： 平面 PAC；
(2)证明： ；
(3)侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 平面 PAC，若存在，求 的值；
若不存在，试说明理由．
2025-2026 年春学段期中教学质量评价
高一年级数学卷答案
一、1-5 C A D C D 6-8 D B D
二、9. AC 10. ABD 11.ACD
三、12. 13. 14. .
四、15.【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ..........................................................3 分
因为 ，所以 ，
则 .........................6 分
（2）因为 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ， ，
则 ，.........................8 分
，.........................10 分
，....................12 分
故 ..........................13 分
16．【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，.........................2 分
因为 ，所以 ．.........................4 分
因为 ，所以 ．.........................6 分
（2）
因为 是 的中点，所以 ，即 ，.........................8 分
故 ．.........................10 分
又 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，可得 ，.........................12 分
则 ， ．.........................13 分
所以 的面积为 ．.........................15 分
17．
【答案】(1) （ ）
(2)
【详解】（1）在正四棱台 中，分别取上、下底面的中心 ，连接 ，则
分别取 的中点 ，连接 ，过 作 于 ，
因为在正四棱台 中， ， ，
所以 ，
在 中， ，.........................3 分
所以正四棱台的表面积为
（ ）；.........................7 分
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，
高为正四棱台的高，.........................8 分
则圆台 的上底面半径为 ，下底面半径为 ，高 ，
所以圆台 的体积为 （ ），.....................10 分
因为正四棱台的体积为 （ ），.................12 分
所以削去部分的体积为 （ ），.........................13 分
所以削去部分与圆台的体积之比 ..........................15 分
18．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） ， ，
即 ，
， ，.........................3 分
又 ， ， ， .........................5 分
（2） ， ，
，
， ， 的周长为 ．.........................10 分
（3）在锐角三角形 ABC 中， ，
因为根据正弦定理 ，所以 ，
因为三角形周长为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
.........................13 分
因为 ，即 ，所以 ，.................15 分
即 ， ，.........................16 分
所以 ..........................17 分
19．【详解】（1）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OP，
因为四边形 ABCD 为正方形，所以点 O 为 BD 的中点，又 P 为 QD 的中点，
所以 ，因为 平面 PAC， 平面 PAC，
所以 平面 PAC..........................5 分
（2）因为 CD， 平面 SCD， 平面 SCD，所以 平面 SDC，
又因为 平面 SAB，平面 平面 ，
所以 ..........................10 分
(3)在侧棱 SC 上存在一点 E，使 BE//平面 PAC，满足 ..........................11
分
理由如下：
Q 为侧棱 SD 的中点，因为 SP=3PD,则 PQ=PD,
过 Q 作 PC 的平行线交 SC 于 E，连接 BE.
由于 即 则
且 PC 平面 PAC, QE 平面 PAC, 所以 ..........................13 分
由 (2) 可知:
因为 可得平面 BEQ//平面 PAC,..........................15 分
且 BE 平面 BEQ,所以 .........................17 分

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