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广东省清远市清新区第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列叙述中，是离散型随机变量的是（　　）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2．下列求导运算中，正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
3．若函数，则（　　）
A．3 B．6 C． D．
4．曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的极大值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分.
9．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数有三个极值点 B．
C．函数在上单调递增 D．是的极小值点
10．若函数在上单调递减，则实数a值可能为（　　）
A． B．1 C． D．4
11．若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3小题.每小题5分.共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．已知随机变量 的分布列如下表，若 ，则a=　 　， 　 　.
0 1 2
P a b
13．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有　 　种．
14．的展开式中，常数项为　 　.
四、解答题：本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
（3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.
16．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间中的最大值．
17．已知的二项展开式有7项．
（1）求，并求出所有二项式系数之和；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式中的有理项．
18．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；
（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
（2）若函数在内存在极值，求实数的取值范围；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：A、某电子元件的寿命为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，故A不符；
B、一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，故B符合；
C、等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，故C不符；
D、测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，故D符合．
故答案为：B．
【分析】根据离散型随机变量的定义直接判断即可.
2．【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数公式，逐项进行求导判断即可．
3．【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解： 函数 定义域为，求导可得，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，将代入求值即可.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】
，
所以 ，所以直线方程为 ，即 。
故答案为：C.
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程，再转化为切线的斜截式方程。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
求导可得，
令，解得或，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则的极大值为.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值即可.
6．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为这个人患流感，表示这个人来自A，B，C三个地区，
由已知可得，
又因为，
由全概率公式可得：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，再结合全概率公式得出这个人患流感的概率.
7．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，
共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种，
个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，
个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，
共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为.
故答案为：C
【分析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，由分步乘法可得出个；分别算出个位和十位上的算筹都为1，2，4的个数，用分类加法可得解.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故答案为：A.
【分析】先确定函数奇偶性，再利用导数确定单调性即可判断．
9．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图知，当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，故，
当时，，即在上单调递增，易知在上单调递增，
则有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点.
故答案为：BCD.
【分析】根据的图象，确定函数的单调区间，并判断的单调性即可判断BC；利用函数的单调性求函数的极值点，得极值点的个数即可判断AD.
10．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意可得函数定义域为，
可得，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得
所以，
因此实数a值可能为，4.
故答案为：CD.
【分析】根据题意可知在上恒成立，再利用参变分离求出的范围即可．
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
A、令，则，故A正确；
B、展开式的通项为，
当时，，即，故B不正确；
C、由展开式第项的通项可知：
当k为偶数时，，当k为奇数时，，
，
令，可得，故C正确；
D、令，可得，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】令求得，即可判断A；写出展开式的通项，利用通项求项的系数即可判断B；根据二项式定理中的通项可知，令求解即可判断C；令，结合A选项的答案求解即可判断D.
12．【答案】；
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由已知分布列和 列式，故 ，
所以 .
故答案为： ； .
【分析】根据分布列概率之和为 以及期望值列方程组，解方程组求得 的值，进而求得方差.
13．【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先把5名学生分成人数为的四组，共有种分法，
再把四组学生分给宋元数学四大家讲述有种分法，
则不同的分配方案有种.
故答案为： 240.
【分析】本题考查分组、分配问题，先把5名学生分成四组， 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述，根据等量分组及排列计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：
，
的展开式的通项公式为，，
令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中常数项为，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中的常数项为，
又的展开式中没有常数项，
所以的展开式的常数项为
故答案为：
【分析】 先把看作一个整体，再利用二项展开式计算常数项即可．
15．【答案】（1）解：采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为，
所以两次都取得白球的概率；
（2）解：采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）解：记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先根据随机事件的概率，得到每次抽到白球的概率均为，再利用独立事件的乘法公式计算；
（2）利用对立事件，结合独立事件的乘法公式计算即可；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，再利用条件概率的概率公式计算即可.
（1）采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为，
所以两次都取得白球的概率；
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得.
16．【答案】（1）解：由题可得：， ·
令，得，，
所以与的情况如下：
0 2
正 0 负 0 正
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）解：由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，， 所以，
所以在区间中的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）可得函数的单调性，根据单调性及端点值得到最大值．
（1）由题可得：， ·
令，得，，
所以与的情况如下：
0 2
正 0 负 0 正
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，， 所以，·
所以在区间中的最大值为． ·
17．【答案】（1）解：因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
（2）解：由（1）知，所以的二项展开式的通项为，
令，解得，
则展开式中含项的系数为；
（3）解：的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
则展开式中的有理项分别为，，
，.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式有7项，可得，再计算所有二项式系数之和即可 ；
（2）由（1）知，写出二项展开式的通项为，令，解得，代入通项计算即可求展开式中含项的系数；
（3）写出展开式的通项，分析可得当时，展开式为有理项 ，再代入通项计算即可.
（1）因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
（2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为
，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为；
（3）因为的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
所以展开式中的有理项分别为
，，
，.
18．【答案】（1）解：选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率为
．
（2）解：由题意，的所有取值为，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】本题主要考查离散型随机变量分布列及其期望，（1）由题意可得，可知在7个企业中，我国的BAT企业共有3个，然后运用古典型概率公式进行求解即可；
（2）得到X的所有取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，即可列出X的分布列，代入期望公式中即可求解.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以；
（2）解：由（1）可知，
因为函数在内存在极值，
所以在内有变号根，
因为，所以在内有变号根，
令，，
所以，由，得，
所以当时，，单调递减，
且，，
要使在内有变号根，即在内有变号零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为
（3）解：若对任意的实数，恒成立，
则，即在上恒成立，
设，，
所以，
设，则，
因为，所以，单调递增，
所以，所以，所以单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求定义域，求导，求f'(1)，由切线与轴平行，可得，代入得解；
（2）由（1）得导数的解析式，将极值存在问题转化为导数在内有变号零点的问题；对g(x)求定义域，求导，并求出其单调区间，求最值，由零点存在定理可得，函数有变号零点即，解不等式得解；
（3）恒成立，先分参得，问题转化为求，最值，运用导数求最值的方法可求解.
（1）因为，
所以，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以；
（2）由（1）可知，
因为函数在内存在极值，
所以在内有变号根，
因为，所以在内有变号根，
令，，
所以，由，得，
所以当时，，单调递减，
且，，
要使在内有变号根，即在内有变号零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为；
（3）若对任意的实数，恒成立，
则，即在上恒成立，
设，，
所以，
设，则，
因为，所以，单调递增，
所以，所以，所以单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
1 / 1广东省清远市清新区第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列叙述中，是离散型随机变量的是（　　）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：A、某电子元件的寿命为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，故A不符；
B、一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，故B符合；
C、等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，故C不符；
D、测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，故D符合．
故答案为：B．
【分析】根据离散型随机变量的定义直接判断即可.
2．下列求导运算中，正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数公式，逐项进行求导判断即可．
3．若函数，则（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解： 函数 定义域为，求导可得，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，将代入求值即可.
4．曲线 在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】
，
所以 ，所以直线方程为 ，即 。
故答案为：C.
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程，再转化为切线的斜截式方程。
5．已知函数，则的极大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
求导可得，
令，解得或，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则的极大值为.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值即可.
6．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为这个人患流感，表示这个人来自A，B，C三个地区，
由已知可得，
又因为，
由全概率公式可得：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，再结合全概率公式得出这个人患流感的概率.
7．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，
共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种，
个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，
个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，
共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为.
故答案为：C
【分析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，由分步乘法可得出个；分别算出个位和十位上的算筹都为1，2，4的个数，用分类加法可得解.
8．函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故答案为：A.
【分析】先确定函数奇偶性，再利用导数确定单调性即可判断．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分.
9．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数有三个极值点 B．
C．函数在上单调递增 D．是的极小值点
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图知，当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，故，
当时，，即在上单调递增，易知在上单调递增，
则有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点.
故答案为：BCD.
【分析】根据的图象，确定函数的单调区间，并判断的单调性即可判断BC；利用函数的单调性求函数的极值点，得极值点的个数即可判断AD.
10．若函数在上单调递减，则实数a值可能为（　　）
A． B．1 C． D．4
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意可得函数定义域为，
可得，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得
所以，
因此实数a值可能为，4.
故答案为：CD.
【分析】根据题意可知在上恒成立，再利用参变分离求出的范围即可．
11．若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
A、令，则，故A正确；
B、展开式的通项为，
当时，，即，故B不正确；
C、由展开式第项的通项可知：
当k为偶数时，，当k为奇数时，，
，
令，可得，故C正确；
D、令，可得，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】令求得，即可判断A；写出展开式的通项，利用通项求项的系数即可判断B；根据二项式定理中的通项可知，令求解即可判断C；令，结合A选项的答案求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题.每小题5分.共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．已知随机变量 的分布列如下表，若 ，则a=　 　， 　 　.
0 1 2
P a b
【答案】；
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由已知分布列和 列式，故 ，
所以 .
故答案为： ； .
【分析】根据分布列概率之和为 以及期望值列方程组，解方程组求得 的值，进而求得方差.
13．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有　 　种．
【答案】240
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先把5名学生分成人数为的四组，共有种分法，
再把四组学生分给宋元数学四大家讲述有种分法，
则不同的分配方案有种.
故答案为： 240.
【分析】本题考查分组、分配问题，先把5名学生分成四组， 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述，根据等量分组及排列计算求解即可.
14．的展开式中，常数项为　 　.
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：
，
的展开式的通项公式为，，
令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中常数项为，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中不存在常数项，
的展开式的通项公式为，，
令可得，所以的展开式中的常数项为，
又的展开式中没有常数项，
所以的展开式的常数项为
故答案为：
【分析】 先把看作一个整体，再利用二项展开式计算常数项即可．
四、解答题：本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
（3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.
【答案】（1）解：采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为，
所以两次都取得白球的概率；
（2）解：采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）解：记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先根据随机事件的概率，得到每次抽到白球的概率均为，再利用独立事件的乘法公式计算；
（2）利用对立事件，结合独立事件的乘法公式计算即可；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，再利用条件概率的概率公式计算即可.
（1）采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为，
所以两次都取得白球的概率；
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得.
16．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间中的最大值．
【答案】（1）解：由题可得：， ·
令，得，，
所以与的情况如下：
0 2
正 0 负 0 正
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）解：由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，， 所以，
所以在区间中的最大值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）可得函数的单调性，根据单调性及端点值得到最大值．
（1）由题可得：， ·
令，得，，
所以与的情况如下：
0 2
正 0 负 0 正
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，， 所以，·
所以在区间中的最大值为． ·
17．已知的二项展开式有7项．
（1）求，并求出所有二项式系数之和；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式中的有理项．
【答案】（1）解：因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
（2）解：由（1）知，所以的二项展开式的通项为，
令，解得，
则展开式中含项的系数为；
（3）解：的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
则展开式中的有理项分别为，，
，.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式有7项，可得，再计算所有二项式系数之和即可 ；
（2）由（1）知，写出二项展开式的通项为，令，解得，代入通项计算即可求展开式中含项的系数；
（3）写出展开式的通项，分析可得当时，展开式为有理项 ，再代入通项计算即可.
（1）因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
（2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为
，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为；
（3）因为的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
所以展开式中的有理项分别为
，，
，.
18．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．
（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；
（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）解：选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率为
．
（2）解：由题意，的所有取值为，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】本题主要考查离散型随机变量分布列及其期望，（1）由题意可得，可知在7个企业中，我国的BAT企业共有3个，然后运用古典型概率公式进行求解即可；
（2）得到X的所有取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，即可列出X的分布列，代入期望公式中即可求解.
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
（2）若函数在内存在极值，求实数的取值范围；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以；
（2）解：由（1）可知，
因为函数在内存在极值，
所以在内有变号根，
因为，所以在内有变号根，
令，，
所以，由，得，
所以当时，，单调递减，
且，，
要使在内有变号根，即在内有变号零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为
（3）解：若对任意的实数，恒成立，
则，即在上恒成立，
设，，
所以，
设，则，
因为，所以，单调递增，
所以，所以，所以单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求定义域，求导，求f'(1)，由切线与轴平行，可得，代入得解；
（2）由（1）得导数的解析式，将极值存在问题转化为导数在内有变号零点的问题；对g(x)求定义域，求导，并求出其单调区间，求最值，由零点存在定理可得，函数有变号零点即，解不等式得解；
（3）恒成立，先分参得，问题转化为求，最值，运用导数求最值的方法可求解.
（1）因为，
所以，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以；
（2）由（1）可知，
因为函数在内存在极值，
所以在内有变号根，
因为，所以在内有变号根，
令，，
所以，由，得，
所以当时，，单调递减，
且，，
要使在内有变号根，即在内有变号零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为；
（3）若对任意的实数，恒成立，
则，即在上恒成立，
设，，
所以，
设，则，
因为，所以，单调递增，
所以，所以，所以单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
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