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广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列结论正确的是（　　）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
5．在中，下列命题不正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
6．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（　　）
A． B． C． D．
7．已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（　　）
A．复数的虚部为
B．
C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量是
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为　 　.
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　 　.
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为　 　.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．已知复数.
（1）求复数的模；
（2）若，求，的值.
16．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
19．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
（1）求b边的长度；
（2）求的面积；
（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，对应的点的位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中平面与平面之间的位置关系；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A、由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，
而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故A错误；
B、若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；
C、若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C错误；
D、若直线不平行于平面，且，则直线与平面相交，设交点为，则平面内所有过点的直线都与相交于点，而不是异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据基本事实3即可判断A；利用推论即可判断B；两个相交的平面有无数个公共点即可判断C；平面内可找到无数条直线与相交即可判断D.
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画直观图的方法得到原图的平面图，从而求出相关线段的长度，再结合三角形的面积公式得出的面积.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为三点共线，所以存在一个实数，使得，
则，即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出，再根据三点共线，可得使得，即，解方程即可得实数的值.
5．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：、若，则，由正弦定理可得，
则，故正确；
、，则或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
、，则，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；
、，因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，
故有两解，故正确.
故答案为：.
【分析】根据大角对大边，结合正弦定理求解即可判断；根据三角函数值相等及正弦函数的性质判断三角形的形状即可判断；，由余弦定理可得角为钝角，确定的形状即可判断；利用正弦定理，结合正弦函数的性质求解即可判断.
6．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，则，
又因为，所以km，
在中，，，则.
由正弦定理得AB=km，
在中，，由余弦定理得：
，
则.
故答案为：A.
【分析】易知，，在中，可得，在中，利用正弦定理求得，再在中，利用余弦定理求即可.
7．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正三棱柱的所有棱长均为2，
易知底面正三角形外接圆半径为：，
则正三棱柱的外接球的半径为，
球的体积为，
因为正三棱柱的体积为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设正三棱柱的所有棱长均为2，利用正弦定理求正三棱柱底面外接圆的半径，求得外接球的半径，再分别计算球的体积，三棱柱的体积，作比即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故答案为：B.
【分析】作出辅助线，再利用极化恒等式得到，再结合的最值，从而得到的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：对于A：因为复数的虚部为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为复数与分别表示向量与，又因为，
所以表示向量的复数为，故C正确；
对于D：设复数，
若复数满足条件，
则，
则复数对应点的集合是以原点为圆心，
分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由复数的虚部定义可判断出选项A；利用虚数单位i的周期性，则可判断选项B；利用向量的运算法则和向量的几何意义，则判断出选项C；利用复数求模公式和复数的几何意义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图：
对于A，，故A错误；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量的线性运算即可判断A；利用向量模长公式求出即可确定B；根据向量数量积的运算律计算即可判断C；根据在上的投影向量为即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当为中点时，因为是的中点，所以，
平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为，分别是，的中点，所以，在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；
C、因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
D、三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，
所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】当为中点时，由是的中点，利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断A；根据平行关系作出截面图即可判断B；利用锥体的体积公式计算即可判断C；将三棱锥补形为长方体（长为，宽为，高为），易知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，问题转化为求长方体的外接球表面积，即可判断D.
12．【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可得，解得所以.
故答案为：3.
【分析】根据复数为纯虚数，则，再列式求解即可．
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
则的取值范围是．
故答案为：.
【分析】设与的夹角为，利用向量的夹角公式可得，再由为锐角，可得且，求解即可得的取值范围.
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由
可得，
即，由正弦定理可得，
则 ，因为 ，所以，
所以 ，
则，当且仅当 时取等号，
故，
即面积的最大值为 .
故答案为：.
【分析】，利用同角三角函数的平方关系以及正弦定理角化为边，得到，结合余弦定理求得C，再由正弦定理求得c，最后利用基本不等式求得，从而由求解即可.
15．【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
又，
，解得，.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）利用除法法则得，代入求模公式得；
（2）代入，对应项相等可得解.
（1），
.
（2），
又，
，解得，.
16．【答案】（1）解：由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合向量数量积的坐标运算求解；
（2）先向量平行的坐标运算求出，结合向量的夹角公式进行计算即可．
（1）由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
（2）因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面；
（2）解：为的中点，
因为且，故为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为，所以，
因为为的中点，所以点为的中点.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线结合平行四边形的性质证明，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，证明平面，结合线面平行的性质、平行线的传递性证明即可.
（1）如图，取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面；
（2）为的中点，
因为且，故为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
又平面，平面平面，所以，
又，所以，
因为为的中点，所以点为的中点.
18．【答案】（1）解：设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，可得，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
所以，解得，
又因为，所以，
则圆锥的侧面积；
（2）解：作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，即，
由（1）可知，圆锥的高，，
则，解得，
故圆锥的内切球的表面积；
（3）解：由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由，可得，解得，
则正四棱柱的侧面积，
当且仅当，即时等号成立，
故该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，可得，化简可得，再利用同角三角函数基本关系求得，根据的面积求出，即可得到，再求圆锥的侧面积即可；
（2）作出轴截面，设内切球半径为，利用，结合（1）中圆锥的高以及长，求出内切球的半径，再根据球的面积公式求解即可；
（3）由（1）知圆锥的高，令正四棱柱的底面边长为，高为，根据三角形相似求得，再利用正四棱柱的侧面积公式，结合基本不等式求侧面积的最大值即可.
（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19．【答案】解：（1），由正弦定理可得，
由余弦定理：，因为c=1，所以，
（2）因为D为中点，所以，设的夹角为，
，
因为，
所以，
即，解得或，
又因为，所以，易得，
则的面积为；
（3）设，因为的面积为面积的一半，所以，
设，则，又因为共线，所以，
则，即，解得：，
，又，
，
又，化简得，又，则，
则时，的最小值为2.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理，结合求 b边的长度即可；
（2）由D为中点，可得，设的夹角为，利用向量的夹角公式求出，再根据同角三角函数基本关系求，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）设，由的面积为面积的一半，可得，再根据向量的运算性质求出的表达式，通过函数交点求最小值即可.
1 / 1广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，对应的点的位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可.
2．下列结论正确的是（　　）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中平面与平面之间的位置关系；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A、由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，
而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故A错误；
B、若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；
C、若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C错误；
D、若直线不平行于平面，且，则直线与平面相交，设交点为，则平面内所有过点的直线都与相交于点，而不是异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据基本事实3即可判断A；利用推论即可判断B；两个相交的平面有无数个公共点即可判断C；平面内可找到无数条直线与相交即可判断D.
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画直观图的方法得到原图的平面图，从而求出相关线段的长度，再结合三角形的面积公式得出的面积.
4．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为三点共线，所以存在一个实数，使得，
则，即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出，再根据三点共线，可得使得，即，解方程即可得实数的值.
5．在中，下列命题不正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：、若，则，由正弦定理可得，
则，故正确；
、，则或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
、，则，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；
、，因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，
故有两解，故正确.
故答案为：.
【分析】根据大角对大边，结合正弦定理求解即可判断；根据三角函数值相等及正弦函数的性质判断三角形的形状即可判断；，由余弦定理可得角为钝角，确定的形状即可判断；利用正弦定理，结合正弦函数的性质求解即可判断.
6．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
在中，，，则，
又因为，所以km，
在中，，，则.
由正弦定理得AB=km，
在中，，由余弦定理得：
，
则.
故答案为：A.
【分析】易知，，在中，可得，在中，利用正弦定理求得，再在中，利用余弦定理求即可.
7．已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正三棱柱的所有棱长均为2，
易知底面正三角形外接圆半径为：，
则正三棱柱的外接球的半径为，
球的体积为，
因为正三棱柱的体积为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设正三棱柱的所有棱长均为2，利用正弦定理求正三棱柱底面外接圆的半径，求得外接球的半径，再分别计算球的体积，三棱柱的体积，作比即可求解.
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故答案为：B.
【分析】作出辅助线，再利用极化恒等式得到，再结合的最值，从而得到的取值范围.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（　　）
A．复数的虚部为
B．
C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：对于A：因为复数的虚部为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为复数与分别表示向量与，又因为，
所以表示向量的复数为，故C正确；
对于D：设复数，
若复数满足条件，
则，
则复数对应点的集合是以原点为圆心，
分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由复数的虚部定义可判断出选项A；利用虚数单位i的周期性，则可判断选项B；利用向量的运算法则和向量的几何意义，则判断出选项C；利用复数求模公式和复数的几何意义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量是
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图：
对于A，，故A错误；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量的线性运算即可判断A；利用向量模长公式求出即可确定B；根据向量数量积的运算律计算即可判断C；根据在上的投影向量为即可判断D．
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当为中点时，因为是的中点，所以，
平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为，分别是，的中点，所以，在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；
C、因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
D、三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，
所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】当为中点时，由是的中点，利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断A；根据平行关系作出截面图即可判断B；利用锥体的体积公式计算即可判断C；将三棱锥补形为长方体（长为，宽为，高为），易知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，问题转化为求长方体的外接球表面积，即可判断D.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为　 　.
【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可得，解得所以.
故答案为：3.
【分析】根据复数为纯虚数，则，再列式求解即可．
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
则的取值范围是．
故答案为：.
【分析】设与的夹角为，利用向量的夹角公式可得，再由为锐角，可得且，求解即可得的取值范围.
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由
可得，
即，由正弦定理可得，
则 ，因为 ，所以，
所以 ，
则，当且仅当 时取等号，
故，
即面积的最大值为 .
故答案为：.
【分析】，利用同角三角函数的平方关系以及正弦定理角化为边，得到，结合余弦定理求得C，再由正弦定理求得c，最后利用基本不等式求得，从而由求解即可.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．已知复数.
（1）求复数的模；
（2）若，求，的值.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：，
又，
，解得，.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）利用除法法则得，代入求模公式得；
（2）代入，对应项相等可得解.
（1），
.
（2），
又，
，解得，.
16．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合向量数量积的坐标运算求解；
（2）先向量平行的坐标运算求出，结合向量的夹角公式进行计算即可．
（1）由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
（2）因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面；
（2）解：为的中点，
因为且，故为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
又因为平面，平面平面，所以，
又因为，所以，
因为为的中点，所以点为的中点.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线结合平行四边形的性质证明，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，证明平面，结合线面平行的性质、平行线的传递性证明即可.
（1）如图，取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面；
（2）为的中点，
因为且，故为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
又平面，平面平面，所以，
又，所以，
因为为的中点，所以点为的中点.
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
【答案】（1）解：设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，可得，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
所以，解得，
又因为，所以，
则圆锥的侧面积；
（2）解：作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，即，
由（1）可知，圆锥的高，，
则，解得，
故圆锥的内切球的表面积；
（3）解：由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由，可得，解得，
则正四棱柱的侧面积，
当且仅当，即时等号成立，
故该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，可得，化简可得，再利用同角三角函数基本关系求得，根据的面积求出，即可得到，再求圆锥的侧面积即可；
（2）作出轴截面，设内切球半径为，利用，结合（1）中圆锥的高以及长，求出内切球的半径，再根据球的面积公式求解即可；
（3）由（1）知圆锥的高，令正四棱柱的底面边长为，高为，根据三角形相似求得，再利用正四棱柱的侧面积公式，结合基本不等式求侧面积的最大值即可.
（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
（1）求b边的长度；
（2）求的面积；
（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.
【答案】解：（1），由正弦定理可得，
由余弦定理：，因为c=1，所以，
（2）因为D为中点，所以，设的夹角为，
，
因为，
所以，
即，解得或，
又因为，所以，易得，
则的面积为；
（3）设，因为的面积为面积的一半，所以，
设，则，又因为共线，所以，
则，即，解得：，
，又，
，
又，化简得，又，则，
则时，的最小值为2.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理，结合求 b边的长度即可；
（2）由D为中点，可得，设的夹角为，利用向量的夹角公式求出，再根据同角三角函数基本关系求，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）设，由的面积为面积的一半，可得，再根据向量的运算性质求出的表达式，通过函数交点求最小值即可.
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