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广东省广州市骏景中学2025年中考三模数学试题
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣ 的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：﹣ 的绝对值是： ．
故答案为：D．
【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数。
2．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：该几何体的俯视图为圆，左视图和主视图相同，均为大长方形中间含有一个小长方形；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示.结合几何体即可求解．
3．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000001125=，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大活较小的数，一般形式为，其中，为整数，本题首先确定a=1.125，然后确定n=-6，从而表示即可。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a6，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.≠5a4，
∴此选项不符合题意；
D.≠a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．这些运动员成绩的众数和中位数分别为（　　）
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
A．1.65，1.60 B．1.65，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.65
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知数据1.65出现次数最多，
∴众数为1.65；
中位数为第8个数据，即中位数为1.65，
故选：D．
【分析】根据中位数，众数的定义即可求出答案.
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集是：
解不等式，可得，
解不等式，可得，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集：
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
7．在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据正弦定义即可求出答案.
8．正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】
由正比例函数的图象与系数的关系可得，再利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
9．如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，
∵，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为，
∵，
∴在弦的垂直平分线上，
∵，
∴E必为圆心，即、为半径，
∵，
∴，
∵，
，
故答案为：A．
【分析】作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，在Rt△ABE中，由勾股定理可求解．
10．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵的坐标为，
∴……
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵，
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A．
【分析】根据幸运点的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．若有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：有意义，
，解得，
故答案为：．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．因式分解：a3－a=　 　.
【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．如图，在中，，点D为边的中点，，则　 　°．
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在中，，
∴是等腰三角形，且，
∴
∵点D为边的中点，
∴。
故答案为：。
【分析】本题先证明是等腰三角形，从而根据“等边对等角”得出，结合三角形内角和计算出，然后结合等腰三角形三线合一，即可得出．
14．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径　 　．
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解；由题意得，，
解得，
故答案为：2．
【分析】根据圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘以底面圆半径，建立方程，解方程即可求出答案.
15．如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么　 　．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】>
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，随的增大而减小，
∵点与在此抛物线上，
∴当时，有，
故答案为：>．
【分析】先求出抛物线的对称轴，根据图像可知抛物线开口向下，从而得到在对称轴右侧，随的增大而减小，据此即可得到答案.
16．如图，在边长为8的正方形中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得到：，，，，
，
故①符合题意；
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故②符合题意；
在边长为8的正方形中，
∵是等腰直角三角形，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故③不符合题意，
四边形是菱形，
∴，
∴，
，
，
，
故④符合题意，
其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据正方形性质可得，根据折叠性质可得，，，，根据角之间的关系可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据三角形外角性质可得∠AGE，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理可判断②；根据等腰直角三角形性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可判断③；根据菱形性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
三、解答题（本题共9小题，共72分）
17．解方程组
【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．如图，BD是的对角线，点E、F在BD上，．求证：．
【答案】证明：∵BF＝DE，
∴BF-EF＝DE-EF，即BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ABE＝∠CDF，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题结合图形进行线段和差计算，得出BE＝DF，然后根据平行四边形的性质得，从而根据“两直线平行、内错角相等”得出∠ABE＝∠CDF，此时利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出证明结果。
19．已知，
（1）化简T；
（2）如图，已知菱形，，，若a的值为菱形的面积，求T的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：如图，过D点作于E，
∵，
∴，
∵菱形的四边相等，
∴，
∴，
∴．

【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；菱形的性质；已知正弦值求边长；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
（2）过D点作于E，解直角三角形可得DE，根据菱形性质可得，根据菱形面积可得a，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：如图，过D点作于E，
∵，
∴，
∵菱形的四边相等，
∴，
∴，
∴．
20．梅雨季节来临，某电器店开始销售A、B两种型号的便携式小型除湿器，B型除湿器每台价格是A型除湿器的1.5倍．销售若干周后，A型除湿器总销售额为20000元，B型除湿器销售额为45000元，其中B型除湿器比A型除湿器多销售50台．求A型号的除湿器每台价格是多少元？
【答案】解：设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A型号的除湿器每台价格为200元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50，7；
（2）解：由（1）知，，等级为的有（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
等所在扇形圆心角的度数为：．
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），，
即这次抽样调查共抽取50人，条形统计图中的7；
故答案为：（1）50，7．
【分析】（1）结合条件和图中信息得知，B等级对应的人数是16人，占比32%，因此用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数；然后用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比14%，即可求出的值；
（2）结合（1）的计算结果，用抽取总人数50人，减去B、C、D对应的人数，即可求出成绩为A等级的人数，然后补全条形统计图；用成绩为C等级的人数15人除以抽取的人数50人，即为C等级所占百分比，再用度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图，发现随机抽取的两名学生有（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、甲）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、甲）、（丙、乙）、（丙、丁）、（丁、甲）、（丁、乙）、（丁、丙），共12种等可能性，而恰好是甲和丁，一共有（甲、丁）、（丁、甲）两种，最后根据概率公式列式计算即可。
22．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
（1）根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
（2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8：30从家出发，请判断李老师能否在上午9：10之前到达天后宫，并说明理由；
（3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
【答案】（1）解：∵v和t是反比例函数，并结合表中数据得出，
（t≠0），
李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为（t≠0）；
（2）解：李老师能不能在上午9：10之前到达天后宫，理由：
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度一般不超过30千米/小时，30千米/小时＜36千米/小时，
李老师能不能在上午9：10之前到达天后宫；
（3）解：∵，
∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，
∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量=（千克）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）结合反比例函数的定义以及表中数据，计算得出，变形即可得出答案；
（2）先计算出上午8：30到上午9：10，李老师用时小时，然后将代入（1）中解析式，求出v，最后和“骑行速度一般不超过30千米/小时”对比即可得出结论；
（3）根据反比例函数以及题中信息，分析出从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据条件“汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳”，列式计算即可得到答案．
23．如图，是的外接圆，为直径，
（1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，，
①求四边形的面积；
②求O到弦的距离．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：①如下图：
由圆周角定理知：，
，，
，
解得：，
，
，
，
；
②解：过作的垂线交于，过作的垂线交于，取与的交点为，
根据等面积法得：，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：，
，
根据等面积法得：，
，
O到弦的距离为．
【知识点】圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）直接作的垂直平分线即可，步骤为：先分别以A、B为圆心、大于长度为半径画弧，交线段AB两侧两点，最后连接这两点并向两端延长即可；
（2）①结合圆周角定理以及正弦定义，得出，然后利用勾股定理求出，然后利用分割的思想将四边形拆分成△ABC和△ADB，分别求出面积最后求和即可；
②作出相应辅助线，先根据等面积法得求出CE=6，再利用勾股定理求出AE=2，线段作差求出OE=8，并利用AA证明相似三角形以及相似三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，最后利用等面积法列式即可求出OF的长度。
24．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点．
（1）将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值．
（2）当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围．
（3）将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：∵时，抛物线恒在直线的上方，
∴恒成立，
即当时，恒成立，
当时，；当时，，
即，
解得；
（3）解：结合（1）可知，抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
∵在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个，
∴且，
解得．
即．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）本题将抛物线变形为顶点式，即可求出顶点坐标，然后根据抛物线与有且仅有一个公共点即可得出答案；
（2）本题结合条件分析得出，当时，恒成立，然后列式得出不等式组，求解即可；
（3）结合（1）的抛物线顶点式，即可得出顶点坐标以及的坐标，在根据题意结合函数图象列出关于的不等式组，求解即可得出答案．
（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：由题意可得：当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以有当时，且当时，，
即
由①得，由②得，
∴；
（3）由题意得，
∴抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个可得：且，
解得．
∴．
25．如图，已知和都是等腰三角形，，，．
（1）求证：；
（2）如图1，连接，若，以A、D、E、G为顶点的四边形是平行四边形，求与的数量关系及的度数；
（3）如图2，若，，与交于点P，绕点A顺时针旋转，从与重合开始，到与第一次重合时停止，求此时点P所经过的路径的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：如图（1），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
则．
如图（2），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，．
综上所述，当四边形为平行四边形时，，或．
（3）解：∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴A、B、D、P四点共圆，
即点P在等边的外接圆上，
设中点为M，圆心为O，连接、，
则，，
∴．
当的边绕点A从边所在直线开始顺时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，
∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆心角也为．
∴点P此时运动的路径长为：．
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型
【解析】【分析】
（1）由手拉手模型知运用证明，即可作答．
（2）分类讨论，即当AG与DE平行且相等时或当AE与DG平行且相等时，根据平行四边形的性质结合勾股定理得，即可作答．
（3）由已知知和都是等边三角形，则，可由手拉手模型可证，由全等的性质知，则A、B、D、P四点共圆，即点P在等边的外接圆上，利用垂径定理可计算出这个外接圆的半径为6．则当的边绕点A从边所在直线开始逆时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，运用求弧长公式列式计算，即可作答．
（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：如图（1），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
则．
如图（2），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，．
综上所述，当四边形为平行四边形时，，或．
（3）解：∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴A、B、D、P四点共圆，
即点P在等边的外接圆上，
设中点为M，圆心为O，连接、，
则，，
∴．
当的边绕点A从边所在直线开始顺时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，
∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆心角也为．
∴点P此时运动的路径长为：．
1 / 1广东省广州市骏景中学2025年中考三模数学试题
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣ 的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同
C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同
3．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．这些运动员成绩的众数和中位数分别为（　　）
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
A．1.65，1.60 B．1.65，1.70 C．1.70，1.65 D．1.65，1.65
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
9．如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
10．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．若有意义，则的取值范围是　 　．
12．因式分解：a3－a=　 　.
13．如图，在中，，点D为边的中点，，则　 　°．
14．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，扇形半径，则圆锥的底面圆半径　 　．
15．如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么　 　．（填“＞”“＜”或“＝”）
16．如图，在边长为8的正方形中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是　 　．
三、解答题（本题共9小题，共72分）
17．解方程组
18．如图，BD是的对角线，点E、F在BD上，．求证：．
19．已知，
（1）化简T；
（2）如图，已知菱形，，，若a的值为菱形的面积，求T的值．
20．梅雨季节来临，某电器店开始销售A、B两种型号的便携式小型除湿器，B型除湿器每台价格是A型除湿器的1.5倍．销售若干周后，A型除湿器总销售额为20000元，B型除湿器销售额为45000元，其中B型除湿器比A型除湿器多销售50台．求A型号的除湿器每台价格是多少元？
21．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
22．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
（1）根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
（2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8：30从家出发，请判断李老师能否在上午9：10之前到达天后宫，并说明理由；
（3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
23．如图，是的外接圆，为直径，
（1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，，
①求四边形的面积；
②求O到弦的距离．
24．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点．
（1）将沿y轴正方向平移t个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求t的取值．
（2）当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围．
（3）将此抛物线在A，B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为G，在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知和都是等腰三角形，，，．
（1）求证：；
（2）如图1，连接，若，以A、D、E、G为顶点的四边形是平行四边形，求与的数量关系及的度数；
（3）如图2，若，，与交于点P，绕点A顺时针旋转，从与重合开始，到与第一次重合时停止，求此时点P所经过的路径的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：﹣ 的绝对值是： ．
故答案为：D．
【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数。
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：该几何体的俯视图为圆，左视图和主视图相同，均为大长方形中间含有一个小长方形；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示.结合几何体即可求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000001125=，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大活较小的数，一般形式为，其中，为整数，本题首先确定a=1.125，然后确定n=-6，从而表示即可。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a6，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.≠5a4，
∴此选项不符合题意；
D.≠a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知数据1.65出现次数最多，
∴众数为1.65；
中位数为第8个数据，即中位数为1.65，
故选：D．
【分析】根据中位数，众数的定义即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集是：
解不等式，可得，
解不等式，可得，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集：
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据正弦定义即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】
由正比例函数的图象与系数的关系可得，再利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，
∵，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为，
∵，
∴在弦的垂直平分线上，
∵，
∴E必为圆心，即、为半径，
∵，
∴，
∵，
，
故答案为：A．
【分析】作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，在Rt△ABE中，由勾股定理可求解．
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵的坐标为，
∴……
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵，
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A．
【分析】根据幸运点的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：有意义，
，解得，
故答案为：．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：在中，，
∴是等腰三角形，且，
∴
∵点D为边的中点，
∴。
故答案为：。
【分析】本题先证明是等腰三角形，从而根据“等边对等角”得出，结合三角形内角和计算出，然后结合等腰三角形三线合一，即可得出．
14．【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解；由题意得，，
解得，
故答案为：2．
【分析】根据圆锥的侧面积等于母线长乘以圆周率乘以底面圆半径，建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，随的增大而减小，
∵点与在此抛物线上，
∴当时，有，
故答案为：>．
【分析】先求出抛物线的对称轴，根据图像可知抛物线开口向下，从而得到在对称轴右侧，随的增大而减小，据此即可得到答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得到：，，，，
，
故①符合题意；
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故②符合题意；
在边长为8的正方形中，
∵是等腰直角三角形，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故③不符合题意，
四边形是菱形，
∴，
∴，
，
，
，
故④符合题意，
其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据正方形性质可得，根据折叠性质可得，，，，根据角之间的关系可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，再根据三角形外角性质可得∠AGE，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理可判断②；根据等腰直角三角形性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可判断③；根据菱形性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
17．【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】证明：∵BF＝DE，
∴BF-EF＝DE-EF，即BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ABE＝∠CDF，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题结合图形进行线段和差计算，得出BE＝DF，然后根据平行四边形的性质得，从而根据“两直线平行、内错角相等”得出∠ABE＝∠CDF，此时利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出证明结果。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：如图，过D点作于E，
∵，
∴，
∵菱形的四边相等，
∴，
∴，
∴．

【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；菱形的性质；已知正弦值求边长；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
（2）过D点作于E，解直角三角形可得DE，根据菱形性质可得，根据菱形面积可得a，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：如图，过D点作于E，
∵，
∴，
∵菱形的四边相等，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】解：设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A型号的除湿器每台价格为200元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A型号的除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）50，7；
（2）解：由（1）知，，等级为的有（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
等所在扇形圆心角的度数为：．
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），，
即这次抽样调查共抽取50人，条形统计图中的7；
故答案为：（1）50，7．
【分析】（1）结合条件和图中信息得知，B等级对应的人数是16人，占比32%，因此用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数；然后用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比14%，即可求出的值；
（2）结合（1）的计算结果，用抽取总人数50人，减去B、C、D对应的人数，即可求出成绩为A等级的人数，然后补全条形统计图；用成绩为C等级的人数15人除以抽取的人数50人，即为C等级所占百分比，再用度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图，发现随机抽取的两名学生有（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、甲）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、甲）、（丙、乙）、（丙、丁）、（丁、甲）、（丁、乙）、（丁、丙），共12种等可能性，而恰好是甲和丁，一共有（甲、丁）、（丁、甲）两种，最后根据概率公式列式计算即可。
22．【答案】（1）解：∵v和t是反比例函数，并结合表中数据得出，
（t≠0），
李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为（t≠0）；
（2）解：李老师能不能在上午9：10之前到达天后宫，理由：
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度一般不超过30千米/小时，30千米/小时＜36千米/小时，
李老师能不能在上午9：10之前到达天后宫；
（3）解：∵，
∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，
∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量=（千克）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）结合反比例函数的定义以及表中数据，计算得出，变形即可得出答案；
（2）先计算出上午8：30到上午9：10，李老师用时小时，然后将代入（1）中解析式，求出v，最后和“骑行速度一般不超过30千米/小时”对比即可得出结论；
（3）根据反比例函数以及题中信息，分析出从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据条件“汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳”，列式计算即可得到答案．
23．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：①如下图：
由圆周角定理知：，
，，
，
解得：，
，
，
，
；
②解：过作的垂线交于，过作的垂线交于，取与的交点为，
根据等面积法得：，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：，
，
根据等面积法得：，
，
O到弦的距离为．
【知识点】圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）直接作的垂直平分线即可，步骤为：先分别以A、B为圆心、大于长度为半径画弧，交线段AB两侧两点，最后连接这两点并向两端延长即可；
（2）①结合圆周角定理以及正弦定义，得出，然后利用勾股定理求出，然后利用分割的思想将四边形拆分成△ABC和△ADB，分别求出面积最后求和即可；
②作出相应辅助线，先根据等面积法得求出CE=6，再利用勾股定理求出AE=2，线段作差求出OE=8，并利用AA证明相似三角形以及相似三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，最后利用等面积法列式即可求出OF的长度。
24．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：∵时，抛物线恒在直线的上方，
∴恒成立，
即当时，恒成立，
当时，；当时，，
即，
解得；
（3）解：结合（1）可知，抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
∵在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个，
∴且，
解得．
即．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）本题将抛物线变形为顶点式，即可求出顶点坐标，然后根据抛物线与有且仅有一个公共点即可得出答案；
（2）本题结合条件分析得出，当时，恒成立，然后列式得出不等式组，求解即可；
（3）结合（1）的抛物线顶点式，即可得出顶点坐标以及的坐标，在根据题意结合函数图象列出关于的不等式组，求解即可得出答案．
（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时即过顶点，
∴；
（2）解：由题意可得：当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以有当时，且当时，，
即
由①得，由②得，
∴；
（3）由题意得，
∴抛物线顶点坐标为，
令，得，
设，
在G内的整点（横、纵坐标都是整数的点）有且只有8个可得：且，
解得．
∴．
25．【答案】（1）证明：∵，∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：如图（1），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
则．
如图（2），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，．
综上所述，当四边形为平行四边形时，，或．
（3）解：∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴A、B、D、P四点共圆，
即点P在等边的外接圆上，
设中点为M，圆心为O，连接、，
则，，
∴．
当的边绕点A从边所在直线开始顺时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，
∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆心角也为．
∴点P此时运动的路径长为：．
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；手拉手全等模型
【解析】【分析】
（1）由手拉手模型知运用证明，即可作答．
（2）分类讨论，即当AG与DE平行且相等时或当AE与DG平行且相等时，根据平行四边形的性质结合勾股定理得，即可作答．
（3）由已知知和都是等边三角形，则，可由手拉手模型可证，由全等的性质知，则A、B、D、P四点共圆，即点P在等边的外接圆上，利用垂径定理可计算出这个外接圆的半径为6．则当的边绕点A从边所在直线开始逆时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，运用求弧长公式列式计算，即可作答．
（1）证明：∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：如图（1），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
则．
如图（2），当四边形为平行四边形时，
则有，，
∵，，
∴，，
∴，．
综上所述，当四边形为平行四边形时，，或．
（3）解：∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴A、B、D、P四点共圆，
即点P在等边的外接圆上，
设中点为M，圆心为O，连接、，
则，，
∴．
当的边绕点A从边所在直线开始顺时针旋转至与第一次重合时，旋转角为，
∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆心角也为．
∴点P此时运动的路径长为：．
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