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广东省广州市白云区源雅学校2025年中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆.12866000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．若，则的平方根是（　　）
A．8 B． C． D．
8．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
12．分解因式：　 　.
13．正六边形的边长为1，则对角线的长为　 　．
14．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．若一元二次方程的两根为，则的值为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，，，．以为边作等边，连接，则的最大值为　 　．
三、解答题：（本大题9个小题，共72分）
17．计算：．
18．如图，，．求证：．
19．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
20．某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是_______人；
（2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度；
（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
22．列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
23．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
24．已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积．
25．综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；
D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．
故答案为：C．
【分析】根据圆柱、三棱柱、球、四棱锥的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】先判断出点P的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．
【解答】∵x2为非负数，
∴x2+1为正数，
∴点P的符号为（-，+)
∴点P在第二象限．
故选B．
【点评】本题考查了象限内的点的符号特点，注意a2加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
【分析】根据偶次方，绝对值的非负性建立二元一次方程组，根据加减消元法解方程组可得x，y，代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
【分析】过点作轴，作交的延长线于点，则：根据相似三角形判定定理可得，则，解直角三角形可得，代入等式可得，根据平移性质可得，根据点的坐标可得，再根据点的平移即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用HL证明，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
11．【答案】0
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：0.
【分析】先化简，再合并即可.
12．【答案】m（m-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：m（m-4）.
【分析】对原式直接提取公因式m即可.
13．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】连接，交于点，则：，根据菱形判定定理可得四边形为菱形，则，，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程根的定义得，即，由一元二次方程根与系数的关系得，进而将待求式子利用添拆项的方法变形为含与的式子，再整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
则，
∵为等边三角形，
∵，，
如图，取的中点，连接、，作交的延长线于F，
则，，
∴，
∴
∴
根据三角形三边关系可得：，
∴
∵的最大值为，
故答案为：．
【分析】 解直角三角形可得AC，根据等边三角形性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于F，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得EF，再根据勾股定理可得CF，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理可得DE，再根据三角形三边关系即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂，二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，依题意，设，解直角三角形可得BD，根据边之间的关系可得AD，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）50
（2）解：类人数为：（人）；补全条形图如图：
（3）解：由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）；
故答案为：50；
（2）C类所对应的扇形的圆心角为；
故答案为：；
【分析】（1）根据A类的人数与占比即可求出答案.
（2）求出C类人数，补全图形即可，再根据360°乘以C类占比即可得圆心角.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（人）；
故答案为：50；
（2）类人数为：（人）；补全条形图如图：
C类所对应的扇形的圆心角为；
故答案为：；
（3）由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
21．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，
∴直线解析式为，
联立，
解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“上加下减函数值，左加右减自变量”的平移规律可得直线BC解析式，然后联立直线BC与反比例函数解析式，求解得出点B、C的坐标；过点A作AT∥y轴交直线BC于T，根据点的坐标与图形性质可得点T的横坐标为2，然后将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点T的坐标；根据平面内两点间的距离公式计算出AT，进而根据S△ABC=S△ABT+S△ACT及三角形的面积公式列式求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
22．【答案】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，
，
解得：，
则甲文创产品数量为，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可；
（2）先设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可.
（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
23．【答案】（1）解：如图，为所作垂线；
（2）解：①与相切，理由如下∶
在中，是的垂线，
，且是的垂直平分线，
，
，
与相切于点，
，即，
与相切；
②在中，
根据勾股定理，得：
在中，
【知识点】切线的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点即可；
（2）①结合等腰三角形三线合一，得出是的垂直平分线，并得出、；根据切线的性质得出，从而得出，此时依据切线的判定即可得出答案；
②在中，利用正切定义可以求出EC=4，由勾股定理可得=5，并求出=8，在中，由代入计算即可求解．
24．【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①设的解析式为，
∵B的坐标为，C的坐标为，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的外接圆半径，
∵内切圆半径为r，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，
当点F在的平分线上时，如图，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，
∵，
∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H，
设，则，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上，的面积为2或3或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；角平分线的概念；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（2）①设的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得的解析式为，根据直线平行性质可得设的解析式为，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据角之间的关系可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，，可得的外接圆半径，再根据边之间的关系即可求出答案.
②将解析式转换为顶点式可得，分情况讨论：当点F在的平分线上时，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，再根据三角形面积即可求出答案；当点F在的平分线上时，直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，根据三角形面积即可求出答案；当点F在的平分线上时，过点F作于H，设，则，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积可得t，再根据点的坐标可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①设的解析式为，
∵B的坐标为，C的坐标为，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的外接圆半径，
∵内切圆半径为r，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，
当点F在的平分线上时，如图，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，
∵，
∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H，
设，则，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上，的面积为2或3或．
25．【答案】探究发现：，；
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
【分析】探究发现：由题意可得，结合三角形面积即可求出答案.
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形判定定理可得，则，，根据勾股定理可得CM，根据边之间的关系可得BG，MG，再根据勾股定理可得CG，根据旋转性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，连接，设，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=4，再根据等弧所对的圆周角相等可得，则，根据勾股定理可得BC，则，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省广州市白云区源雅学校2025年中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
2．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；
D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同．
故答案为：C．
【分析】根据圆柱、三棱柱、球、四棱锥的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】先判断出点P的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．
【解答】∵x2为非负数，
∴x2+1为正数，
∴点P的符号为（-，+)
∴点P在第二象限．
故选B．
【点评】本题考查了象限内的点的符号特点，注意a2加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．
5．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆.12866000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
6．如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
7．若，则的平方根是（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
【分析】根据偶次方，绝对值的非负性建立二元一次方程组，根据加减消元法解方程组可得x，y，代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
8．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
【分析】过点作轴，作交的延长线于点，则：根据相似三角形判定定理可得，则，解直角三角形可得，代入等式可得，根据平移性质可得，根据点的坐标可得，再根据点的平移即可求出答案.
10．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是正方形，
，，
点E是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
和的平分线相交于点H，
点到的距离相等，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用HL证明，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
二、填空题：（本大题6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
【答案】0
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：0.
【分析】先化简，再合并即可.
12．分解因式：　 　.
【答案】m（m-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：m（m-4）.
【分析】对原式直接提取公因式m即可.
13．正六边形的边长为1，则对角线的长为　 　．
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC、OA、OD，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA=AB=1，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD =180°，
∴点O在AD上，
∴AD=2OA=2，
故答案为： 2.
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O， 连接OB、OC、OA、OD， ， 则OA=OB=OC=OD，， 所以△AOB、△BOC、△COD都是等边三角形， 则OA=AB=1， 由∠AOB+∠BOC+∠COD =180°， 证明点O在AD上， 则AD=2OA=2， 于是得到问题的答案.进而求出即可.
14．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】连接，交于点，则：，根据菱形判定定理可得四边形为菱形，则，，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．若一元二次方程的两根为，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程根的定义得，即，由一元二次方程根与系数的关系得，进而将待求式子利用添拆项的方法变形为含与的式子，再整体代入计算可得答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，，，．以为边作等边，连接，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
则，
∵为等边三角形，
∵，，
如图，取的中点，连接、，作交的延长线于F，
则，，
∴，
∴
∴
根据三角形三边关系可得：，
∴
∵的最大值为，
故答案为：．
【分析】 解直角三角形可得AC，根据等边三角形性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于F，则，，根据含30°角的直角三角形性质可得EF，再根据勾股定理可得CF，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理可得DE，再根据三角形三边关系即可求出答案.
三、解答题：（本大题9个小题，共72分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂，二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．如图，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
【答案】解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，依题意，设，解直角三角形可得BD，根据边之间的关系可得AD，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
20．某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是_______人；
（2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度；
（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50
（2）解：类人数为：（人）；补全条形图如图：
（3）解：由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）；
故答案为：50；
（2）C类所对应的扇形的圆心角为；
故答案为：；
【分析】（1）根据A类的人数与占比即可求出答案.
（2）求出C类人数，补全图形即可，再根据360°乘以C类占比即可得圆心角.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（人）；
故答案为：50；
（2）类人数为：（人）；补全条形图如图：
C类所对应的扇形的圆心角为；
故答案为：；
（3）由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，
∴直线解析式为，
联立，
解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“上加下减函数值，左加右减自变量”的平移规律可得直线BC解析式，然后联立直线BC与反比例函数解析式，求解得出点B、C的坐标；过点A作AT∥y轴交直线BC于T，根据点的坐标与图形性质可得点T的横坐标为2，然后将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点T的坐标；根据平面内两点间的距离公式计算出AT，进而根据S△ABC=S△ABT+S△ACT及三角形的面积公式列式求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
22．列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【答案】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，
，
解得：，
则甲文创产品数量为，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可；
（2）先设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个，再找出等量关系求出，最后解方程计算求解即可.
（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
23．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）解：如图，为所作垂线；
（2）解：①与相切，理由如下∶
在中，是的垂线，
，且是的垂直平分线，
，
，
与相切于点，
，即，
与相切；
②在中，
根据勾股定理，得：
在中，
【知识点】切线的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点即可；
（2）①结合等腰三角形三线合一，得出是的垂直平分线，并得出、；根据切线的性质得出，从而得出，此时依据切线的判定即可得出答案；
②在中，利用正切定义可以求出EC=4，由勾股定理可得=5，并求出=8，在中，由代入计算即可求解．
24．已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①设的解析式为，
∵B的坐标为，C的坐标为，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的外接圆半径，
∵内切圆半径为r，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，
当点F在的平分线上时，如图，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，
∵，
∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H，
设，则，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上，的面积为2或3或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；角平分线的概念；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（2）①设的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得的解析式为，根据直线平行性质可得设的解析式为，根据坐标轴上点的坐标特征可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据角之间的关系可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，，可得的外接圆半径，再根据边之间的关系即可求出答案.
②将解析式转换为顶点式可得，分情况讨论：当点F在的平分线上时，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，再根据三角形面积即可求出答案；当点F在的平分线上时，直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，根据三角形面积即可求出答案；当点F在的平分线上时，过点F作于H，设，则，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积可得t，再根据点的坐标可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①设的解析式为，
∵B的坐标为，C的坐标为，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的外接圆半径，
∵内切圆半径为r，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，
当点F在的平分线上时，如图，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，
∵，
∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合，
∴；
当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H，
设，则，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上，的面积为2或3或．
25．综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
【答案】探究发现：，；
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
【分析】探究发现：由题意可得，结合三角形面积即可求出答案.
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形判定定理可得，则，，根据勾股定理可得CM，根据边之间的关系可得BG，MG，再根据勾股定理可得CG，根据旋转性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，连接，设，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=4，再根据等弧所对的圆周角相等可得，则，根据勾股定理可得BC，则，再根据三角形面积即可求出答案.
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