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广东省广州市越秀区广州大学附属中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1．-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是2
B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图
C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
D．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
5．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
7．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或4
8．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（　　）
A．18 B．36 C． D．
9．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（　　）
A．51米 B．米 C．米 D．米
10．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　）
①方程的解为或；
②关于的方程有三个解，则；
③当时，随增大而增大；
④当时，函数有最大值0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6题，共18分）
11．分解因式：3x2-6x=　 　.
12．随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为　 　．
13．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　 　．（结果保留）
14．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为　 　．
15．抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为　 　．
三、解答题（共72分）
17．计算：．
18．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．
19．先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
20．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________；
（2）将图补充完整；
（3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率．
21．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i=1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．
（1）斜面AD的坡度i=____________；
（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．
22．如图，中，，，绕点B顺时针旋转与重合，点C在x轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点E．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）已知与关于直线对称．
①尺规作图：作；（保留作图痕迹，不写作法．）
②若与反比例函数交于点F，连接，求的面积．
23．【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
24．已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．
（1）求证：①；
②直线是的切线；
（2）如图2，作弦，使，连接、，若，，求的半径；
（3）如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，ACD选项对应的图形只是中心对称图形，而B选项对应的图形既是轴对称图形又是中心对称图形。
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐个图形分析即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∴，，，
∴A，B不符合题意，选项C符合题意，
，
∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；中位数；方差
【解析】【解答】解：A．一组数据4，4，2，3，1，按从大到小排列为4，4，3，2，1，即中位数是3，原说法错误；
B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用扇形统计图，原说法错误；
C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，因为＜，所以乙的射击成绩较稳定，说法正确；
D．对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原说法错误；
故答案为：C．
【分析】选项A根据中位数的定义，即一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数。据此判断即可；
选项B根据折线统计图和扇形统计图的特点，即折线统计图能清楚的表示数据的增减情况，扇形统计图能清楚表示数据的占比情况，据此进行判断即可；
选项C根据方差的意义，即当平均数相同时，方差小的一组数据更稳定，据此判断即可；
选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可。
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
又
故选择：C
【分析】
由两直线平行内角相等可把转化到上，再利用直角三角形两锐角互余即可得出.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接、，如图
∴，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：C．
【分析】本题做辅助线后，结合圆的特点得出，然后根据圆周角定理得出，并计算出，由切线的性质得，从而根据直角三角形锐角互余计算出，此时即可得出是等边三角形，则，最后利用勾股定理计算AB即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图
点是点关于轴的对称点，PA⊥y轴，
，且∠PAB=90°，
，
的面积为18，
，
．
反比例函数的图象在第二象限，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据点与点关于轴对称以及PA⊥y轴，求出、∠PAB=90°，再根据三角形中线平分三角形的面积得出，从而求出，此时结合反比例函数系数的几何意义得出，最后根据反比例函数经过的象限即可确定的值．
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过作，延长交的延长线于，
由题意知：，，，
∵∠PFB=∠PEB=∠EBF=90°
∴四边形是矩形
，
在Rt△PAF中，
在Rt△PEC中，
，
(米)，
故答案为：C．
【分析】过作，延长交的延长线于，在Rt△PAF中，由60°的正弦和余弦分别求出AF和PF的值，从而求出PE，在Rt△PAF中，再利用30°的正切，求出EB即可.
10．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在方程中，
当时，即，则，
解得：或，
当时，即，则，
解得：或（都不符合题意，舍去），
∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确；
当时，即，则，即，
当时，即，则，即，
如图，当时，方程没有三个解，故结论②错误；
函数中，
当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确；
当时，函数，当时，函数有最小值，最小值为，故结论④错误，
综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论．
故答案为：B
【分析】先根据新定义运算得到一元二次方程，进而解方程即可判断①；根据新定义运算得到二次函数，再画出二次函数的图象，进而即可判断②；根据新定义运算结合二次函数的性质即可判断结论③④，再结合题意即可求解。
11．【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-6x=3x（x-2）.
故答案为：3x（x-2）.
【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为，
圆锥的母线为：，
圆锥的侧面积为：，
底面圆的面积为：，
该几何体的全面积为：．
故答案为：．
【分析】先根据题意求出母线长，进而根据圆锥侧面积公式即可求解。
14．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设到小孔O的距离为，根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故到小孔O的距离为，
故答案为：3．
【分析】由，可得出，进而得出，即，解得，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】函数值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大．
∵，
，
故答案为：
【分析】根据二次函数的图象得到该抛物线的开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数图象上的点的坐标特征即可求解。
16．【答案】6.4
【知识点】二次函数的最值；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝-x2+x＝-（x-8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【分析】作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的三线合一的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义列式并计算出BG＝8，从而得出BC＝16；利用AA证明△ABD∽△DCE，从而根据相似比变形得出CE＝-x2+x=-（x-8）2+6.4，最后根据二次函数的性质即可求出CE的最大值。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果.
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴；
又点分别是的中点，
，，
四边形为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
（平行四边形的对边相等）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
20．【答案】（1）；
（2）解：调查的中学生家长人数为人，
∴“赞成”的中学生家长人数为人，
将图补充完整如下：
（3）解：用分别表示小亮、小华和小文的家长，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中小亮和小华的家长被同时选中的有种结果，
∴小亮和小华的家长被同时选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（）用乘以“赞成”的百分比即可求解；
（）求出调查的中学生家长人数，用总人数减去的人数即可求出的人数，再补充完整条形统计图即可；
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小亮和小华的家长被同时选中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）1：1
（2）解：设DF为米，
∵DF：BF=1：2，
∴BF=2米，
∵AC=300米，BC=500米，
∴AE=（300－）米，DE=（500－2）米，
∵AE=DE，
∴300－=500－2，解得=200，
∴DF=200米，BF=400米，AE=DE=100米，
在Rt△ADE中，AD=
∴AD=米，
在Rt△BDF中，BD=
∴BD=米，
∴AD+BD=（+）米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）∵从点D看向点A的仰角为45°，DE⊥AE，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴DE=AE，
∵斜面AD的坡度i=AE：DE，
∴斜面AD的坡度i=1：1．
【分析】（1）根据坡度i=AE：DE即可求解；
（2）设DF为米，根据斜面BD的坡度得出BF为2米，再根据AC为300米，BC为500米得到AE、DE，从而根据DE=AE即可列出方程求解，再根据勾股定理即可求解。
22．【答案】（1）解：，，
，，
，
由旋转的性质 得，
，
，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线为，
令．整理得，
反比例函数与直线仅有一个公共点，
，即，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：①如图所示，即为所求
②如图，
由旋转的性质得
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，
四边形是菱形，
，
点的纵坐标为4，
把代入得，，
，
，
，
，
，
的面积为9．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到，再根据旋转的性质得到，则，即，根据待定系数法得到直线的解析式为，令，则，根据反比例函数与一次函数的交点问题结合一元二次方程根的判别式即可得到，解得，进而即可求解；
（2）①根据轴对称的性质作出点B关于直线的对称点D，再连接、即可．
②根据题意得到，则四边形是菱形，从而即可得到的坐标，即，根据三角形等面积法结合即可求解。
23．【答案】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：；
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了，
当时，，
未充电前电量显示为，
假设充电充了分钟，应增加电量：，
出发是电量为，走完剩余路程，
应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：
，解得，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，，根据待定系数法将点，可得，将，代入，可得，即可求出答案.
（2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：①，
，
，
，
；
②作直径，连接，
则，
，
，，
，
经过直径的一端点，
直线是的切线；
（2）解：作直径，连接、．
则，
，
，
∴，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
；
（3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，
，
，
的半径，
，
，
，
，
，
，
根据两点之间线段最短，
此时最小，
最小值为．
∴存在，最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）①先根据题意得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到；
②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论；
（2）作直径，连接、．则，再根据平行线的判定证明，则，根据勾股定理得到，进而即可求解；
（3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，则，进而根据两点间线段最短即可求解。
25．【答案】（1）解：将，代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（3）解：如图，
根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵C（0，3），
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
【分析】（1）利用待定系数法将ABC三点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，求解即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，据此假设点P和点Q的坐标，得出，根据“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”得出，从而得出，此时即可求出点P的坐标和最大值；
（3）先根据折叠性质得出，，，结合“两直线平行、内错角相等”综合推出，从而根据等腰三角形的性质得出，假设出M和P点坐标，结合C点坐标利用两点之间的距离公式计算得出，，从而得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
1 / 1广东省广州市越秀区广州大学附属中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1．-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，ACD选项对应的图形只是中心对称图形，而B选项对应的图形既是轴对称图形又是中心对称图形。
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐个图形分析即可得出答案。
3．如果，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∴，，，
∴A，B不符合题意，选项C符合题意，
，
∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．一组数据4，4，2，3，1的中位数是2
B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用折线统计图
C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
D．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；中位数；方差
【解析】【解答】解：A．一组数据4，4，2，3，1，按从大到小排列为4，4，3，2，1，即中位数是3，原说法错误；
B．反映空气的主要成分（氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占）宜采用扇形统计图，原说法错误；
C．甲、乙两人各10次射击的平均成绩相同，方差分别是，，因为＜，所以乙的射击成绩较稳定，说法正确；
D．对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原说法错误；
故答案为：C．
【分析】选项A根据中位数的定义，即一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数。据此判断即可；
选项B根据折线统计图和扇形统计图的特点，即折线统计图能清楚的表示数据的增减情况，扇形统计图能清楚表示数据的占比情况，据此进行判断即可；
选项C根据方差的意义，即当平均数相同时，方差小的一组数据更稳定，据此判断即可；
选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可。
5．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
又
故选择：C
【分析】
由两直线平行内角相等可把转化到上，再利用直角三角形两锐角互余即可得出.
6．如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接、，如图
∴，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：C．
【分析】本题做辅助线后，结合圆的特点得出，然后根据圆周角定理得出，并计算出，由切线的性质得，从而根据直角三角形锐角互余计算出，此时即可得出是等边三角形，则，最后利用勾股定理计算AB即可。
7．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
8．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（　　）
A．18 B．36 C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图
点是点关于轴的对称点，PA⊥y轴，
，且∠PAB=90°，
，
的面积为18，
，
．
反比例函数的图象在第二象限，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据点与点关于轴对称以及PA⊥y轴，求出、∠PAB=90°，再根据三角形中线平分三角形的面积得出，从而求出，此时结合反比例函数系数的几何意义得出，最后根据反比例函数经过的象限即可确定的值．
9．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（　　）
A．51米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过作，延长交的延长线于，
由题意知：，，，
∵∠PFB=∠PEB=∠EBF=90°
∴四边形是矩形
，
在Rt△PAF中，
在Rt△PEC中，
，
(米)，
故答案为：C．
【分析】过作，延长交的延长线于，在Rt△PAF中，由60°的正弦和余弦分别求出AF和PF的值，从而求出PE，在Rt△PAF中，再利用30°的正切，求出EB即可.
10．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　）
①方程的解为或；
②关于的方程有三个解，则；
③当时，随增大而增大；
④当时，函数有最大值0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：在方程中，
当时，即，则，
解得：或，
当时，即，则，
解得：或（都不符合题意，舍去），
∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确；
当时，即，则，即，
当时，即，则，即，
如图，当时，方程没有三个解，故结论②错误；
函数中，
当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确；
当时，函数，当时，函数有最小值，最小值为，故结论④错误，
综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论．
故答案为：B
【分析】先根据新定义运算得到一元二次方程，进而解方程即可判断①；根据新定义运算得到二次函数，再画出二次函数的图象，进而即可判断②；根据新定义运算结合二次函数的性质即可判断结论③④，再结合题意即可求解。
二、填空题（本题共6题，共18分）
11．分解因式：3x2-6x=　 　.
【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-6x=3x（x-2）.
故答案为：3x（x-2）.
【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.
12．随着疫情的结束，广州的游客人数越来越多．据统计，2024年“五·一”假期广州接待游客近11040000人次，再创新高．数11040000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
13．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为，
圆锥的母线为：，
圆锥的侧面积为：，
底面圆的面积为：，
该几何体的全面积为：．
故答案为：．
【分析】先根据题意求出母线长，进而根据圆锥侧面积公式即可求解。
14．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为　 　．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设到小孔O的距离为，根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故到小孔O的距离为，
故答案为：3．
【分析】由，可得出，进而得出，即，解得，即可得出答案。
15．抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【知识点】函数值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大．
∵，
，
故答案为：
【分析】根据二次函数的图象得到该抛物线的开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数图象上的点的坐标特征即可求解。
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为　 　．
【答案】6.4
【知识点】二次函数的最值；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝-x2+x＝-（x-8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【分析】作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的三线合一的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义列式并计算出BG＝8，从而得出BC＝16；利用AA证明△ABD∽△DCE，从而根据相似比变形得出CE＝-x2+x=-（x-8）2+6.4，最后根据二次函数的性质即可求出CE的最大值。
三、解答题（共72分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果.
18．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴；
又点分别是的中点，
，，
四边形为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
（平行四边形的对边相等）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．先化简：，再从，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
20．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小芸随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：：无所谓；：反对；：赞成），并将调查结果绘制成图和图的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为____________；
（2）将图补充完整；
（3）针对随机调查的情况，小芸决定从九（）班表示赞成的小亮、小华和小文的这位家长中随机选择位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小华的家长被同时选中的概率．
【答案】（1）；
（2）解：调查的中学生家长人数为人，
∴“赞成”的中学生家长人数为人，
将图补充完整如下：
（3）解：用分别表示小亮、小华和小文的家长，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中小亮和小华的家长被同时选中的有种结果，
∴小亮和小华的家长被同时选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（）用乘以“赞成”的百分比即可求解；
（）求出调查的中学生家长人数，用总人数减去的人数即可求出的人数，再补充完整条形统计图即可；
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小亮和小华的家长被同时选中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i=1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．
（1）斜面AD的坡度i=____________；
（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）1：1
（2）解：设DF为米，
∵DF：BF=1：2，
∴BF=2米，
∵AC=300米，BC=500米，
∴AE=（300－）米，DE=（500－2）米，
∵AE=DE，
∴300－=500－2，解得=200，
∴DF=200米，BF=400米，AE=DE=100米，
在Rt△ADE中，AD=
∴AD=米，
在Rt△BDF中，BD=
∴BD=米，
∴AD+BD=（+）米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）∵从点D看向点A的仰角为45°，DE⊥AE，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴DE=AE，
∵斜面AD的坡度i=AE：DE，
∴斜面AD的坡度i=1：1．
【分析】（1）根据坡度i=AE：DE即可求解；
（2）设DF为米，根据斜面BD的坡度得出BF为2米，再根据AC为300米，BC为500米得到AE、DE，从而根据DE=AE即可列出方程求解，再根据勾股定理即可求解。
22．如图，中，，，绕点B顺时针旋转与重合，点C在x轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点E．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）已知与关于直线对称．
①尺规作图：作；（保留作图痕迹，不写作法．）
②若与反比例函数交于点F，连接，求的面积．
【答案】（1）解：，，
，，
，
由旋转的性质 得，
，
，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线为，
令．整理得，
反比例函数与直线仅有一个公共点，
，即，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：①如图所示，即为所求
②如图，
由旋转的性质得
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，
四边形是菱形，
，
点的纵坐标为4，
把代入得，，
，
，
，
，
，
的面积为9．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到，再根据旋转的性质得到，则，即，根据待定系数法得到直线的解析式为，令，则，根据反比例函数与一次函数的交点问题结合一元二次方程根的判别式即可得到，解得，进而即可求解；
（2）①根据轴对称的性质作出点B关于直线的对称点D，再连接、即可．
②根据题意得到，则四边形是菱形，从而即可得到的坐标，即，根据三角形等面积法结合即可求解。
23．【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：；
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了，
当时，，
未充电前电量显示为，
假设充电充了分钟，应增加电量：，
出发是电量为，走完剩余路程，
应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：
，解得，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，，根据待定系数法将点，可得，将，代入，可得，即可求出答案.
（2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解方程即可求出答案.
24．已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．
（1）求证：①；
②直线是的切线；
（2）如图2，作弦，使，连接、，若，，求的半径；
（3）如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：①，
，
，
，
；
②作直径，连接，
则，
，
，，
，
经过直径的一端点，
直线是的切线；
（2）解：作直径，连接、．
则，
，
，
∴，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
；
（3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，
，
，
的半径，
，
，
，
，
，
，
根据两点之间线段最短，
此时最小，
最小值为．
∴存在，最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）①先根据题意得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到；
②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论；
（2）作直径，连接、．则，再根据平行线的判定证明，则，根据勾股定理得到，进而即可求解；
（3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，则，进而根据两点间线段最短即可求解。
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】（1）解：将，代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（3）解：如图，
根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵C（0，3），
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
【分析】（1）利用待定系数法将ABC三点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，求解即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，据此假设点P和点Q的坐标，得出，根据“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”得出，从而得出，此时即可求出点P的坐标和最大值；
（3）先根据折叠性质得出，，，结合“两直线平行、内错角相等”综合推出，从而根据等腰三角形的性质得出，假设出M和P点坐标，结合C点坐标利用两点之间的距离公式计算得出，，从而得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
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