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广东省广州市执信中学2024-2025学年下学期九年级中考三模数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．实数，-2，-3的大小关系是（　　）
A．＜-3＜-2 B．-3＜＜-2 C．-2＜＜-3 D．-3＜-2＜
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： ，，，
∵，22=4，32=9，
∴2<<3，
∴-3＜＜-2.
故选B.
【分析】根据绝对值法比较大小即可求出答案.
2．如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看如图
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；实数的绝对值；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A项错误；
B．，故B项错误；
C．，故C项错误；
D．，故D项正确；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方， 去绝对值符号及合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（　　）
A．米； B．米； C．米； D．米．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【解答】根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 米．
故选C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
5．定义运算：※，例如：4※．若关于的方程※有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可知：※，
当时，原来方程变形为，方程无解；
当时，
关于的方程※有实数根，
△，
解得或．
故答案为：D．
【分析】根据定义运算可得※，然后根据根的判别式进行判断即可.
6．国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一段时间N95口罩需求量增大，某工厂6个生产车间日生产量（万只）如图所示，因任务需要，现决定再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为4500万只，则下列关于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（　　）
A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：6个生产车间的平均数为：
（万只）
6个生产车间的方差为：
7个生产车间的平均数为：
（万只）
7个生产车间的方差为：
∴平均数不变，方差变小
故选：B
【分析】根据平均数和方差的定义即可求出答案.
7．已知A、B两地是一条直路，甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两人出发2h后相遇 B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙骑自行车的速度为90km/h D．乙比甲提前到达目的地
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
两人出发后2小时后相遇，故A选项正确；
甲的速度为：，故B选项正确；
乙的速度为：，故C选项正确；
乙从开始到达目的地所用的时间为：，
乙比甲提前小时到达，故D选项错误，
故答案为：D．
【分析】根据函数图象中的数据，再利用“时间、路程和速度”的关系求出甲、乙的速度，再求出乙到达目的地的时间，最后逐项分析判断即可.
8．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∵的周长与的周长比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据位似图形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴，
∴．
∴反比例函数经过第二、四象限，经过第一、二、三象限。
四个选项中，只有C选项符合。
故答案为：C．
【分析】本题先根据二次函数的图象，得出，，然后分析出此时对应的反比例函数经过第二、四象限，经过第一、二、三象限，最后结合四个选项即可得出答案。
10．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”．
①点是一次函数的“2倍值点”；
②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则；
③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”；
④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（　　）
A．① B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”，
．
又，
点是一次函数的“2倍值点”，故①正确．
对于②，由题意， “2倍值点”的，
．
联立方程组，
．
二次函数存在唯一的“2倍值点”，
．
或，②错误．
对于③，联立方程组，
．
．
为正整数，
．
反比例函数总存在二个的“倍值点”．
设其中一点为，另一个点为，
．
这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误．
对于④，联立方程组，
．
函数的“倍点”为．
点与点的距离为．
又当时，
．即，
又为正整数，
不合题意，故④错误．
故选：A．
【分析】根据新定义，结合反比例函数，一次函数，二次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为　 　米．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】科学记数法表示的数，一般形式为。本题先确定a=2.5，然后计算得出n=-5，代入即可用科学记数法表示。
12．把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方尺公式因式分解，即可得到答案.
13．若是关于的方程的解，则的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．如图，⊙的直径为2，以圆上一点为圆心、为半径作弧，交圆于点，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交圆O于E点，连接、．
是直径，
，
，，
，
，
∴，
，
同理可得：，，
∴，，
，
故答案为：．
【分析】连接并延长交圆O于E点，连接、，根据圆周角定理的推论可得，再根据勾股定理可得EC，再根据等边三角形性质可得，则，同理可得：，，则，，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE=FN，若AB=cm，则BC=　 　cm．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过点F作FG⊥BC于G，则四边形CNFG为矩形，
∴GC=FN，
由折叠可知△ABE≌△AFE，MN为矩形的对称轴，
∴AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF，AF=BF，
∴AB=AF=BF，即△ABF为等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠BAE=∠FAE=30°，∠AEB=∠AEF=60°
在Rt△ABE中，∠BAE =30°，AB=cm，
设BE长为x，则AE=2x，
∴AE2-BE2=AB2，即，
解得x=1cm，
∴BE=EF=1cm，
∵FE=FN，GC=FN，
∴GC=FN=1cm，
在Rt△EFG中，∠FEG= 180°-∠AEB-∠AEF= 180°-60°-60° =60°，
∴∠EFG =30°，
∴EG=EF=cm，
∴BC=BE+EG+GC=1++1= cm
故答案为：．
【分析】本题做辅助线后，结合矩形的性质可以进一步推出四边形CNFG为矩形，从而得出GC=FN，然后结合折叠的性质进一步得出AB=AF=BF，即△ABF为等边三角形，从而得出∠BAF=60°，并结合直角三角形锐角互余得出∠BAE=∠FAE=30°，∠AEB=∠AEF=60°，然后根据30°直角三角形的性质以及勾股定理，列式求出BE=1cm，EG=cm，CG=1cm，最后根据BC=BE+EG+GC代入计算即可．
16．如图，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计）．已知，．若在线段上找一点P修建游客休息亭，且，当点B到点P的距离与的长度之和最小时，　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作， 且， 连接交于点， 连接，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当，，三点共线时，取得最小值即点与点重合，取得最小值，
过点作于点，
∵，，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作， 且， 连接交于点， 连接，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当，，三点共线时，取得最小值即点与点重合，取得最小值，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质雕刻AT，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠DAM，再根据直线平行性质可得，则，根据等边三角形性质可得，，则，根据角之间的关系可得∠CAE，过点作于点，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得NC，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。
18．先化简，再求值：，其中a2﹣4a+2＝0
【答案】解：原式=[]
.
∵a2﹣4a+2=0，
∴a2﹣4a=﹣2，
∴原式.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
19．如图，中，是边上一点．
（1）在边上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若的面积是面积的9倍，且，求的长．
【答案】解：（1）如图，点E就是所求作的点．
（2）∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即．
解得：DE=2．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．垫球是排球队常规训练的重要项目之一，也是我市初中体育学业水平考试的一个选考项目．下列图表中的数据是从九年级一班、二班各随机抽取五名学生垫球测试成绩：
测试学生序号 ① ② ③ ④ ⑤
一班 7 8 6 7 7
二班 4 8 7 10 6
解答下列问题：
（1）一班五名学生的测试成绩的众数是　 　，二班五名学生的测试成绩的中位数是　 　．
（2）请你在图中补全二班五名学生的垫球测试成绩的折线统计图．从题中的信息，估计　 　班的垫球成绩要稳定．
（3）把前三次对应序号下一班学生的垫球测试成绩减去二班学生垫球测试成绩，分别可得到数字3、0、﹣1，从这三个数中任意选取两个数组成有序数对（x，y），请用列表法或画树状图法列出可能出现的结果，并计算点（x，y）落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的概率．
【答案】（1）7、7；
解：（2）补全折线图如下：
一；
（3）三个数中任意选取两个数确定的点（x，y）出现的情况有：
　 3 0 ﹣1
3 　 （3，0） （3，﹣1）
0 （0，3） 　 （0，﹣1）
﹣1 （﹣1，3） （﹣1，0） 　
落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的点有：（0，﹣1）、（﹣1，0），
因此点（x，y）落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的概率为＝．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）一班五名学生的测试成绩的众数是7，二班五名学生的测试成绩的中位数是7，
故答案为7、7；
（2）由折线图知，一班成绩波动幅度小，
所以一班垫球成绩稳定，
故答案为一；
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求出答案.
（2）根据表格数据补全折线图，再由两线条的波动幅度可判定成绩的稳定性
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度，但手中只有一把刻度模糊的直角三角板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿重合，如图①，一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽．
（1）【实践探究】小红受到小星的启发，将的按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米，求该刻度尺的宽度的长；
（2）【问题解决】小红继续按相同的方式将的放置在刻度尺上，求与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米．（结果精确到厘米）
（参考数据，，，，，）
【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，，厘米，，
∴（厘米），
即该刻度尺的宽度约为2.43厘米．
（2）解：∵，
∴，
在中，，厘米，，
∴（厘米），
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．
【知识点】已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据“两直线平行、内错角相等”得出，在中，利用，将厘米、tan∠ABO=tan39°≈0.81代入计算即可求出AO；
（2）先根据“两直线平行、内错角相等”得出，在中，利用，将厘米、tan∠ACO=tan24°≈0.45代入计算即可求出OC。
（1）解：∵，
∴，
在中，，厘米，
，
∴（厘米），
即该刻度尺的宽度约为2.43厘米．
（2）∵，
∴，
在中，，厘米，
，
∴（厘米），
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．
22．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若的半径，，求的长．
【答案】（1）解：与相切，理由如下：
连接，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角以及圆的半径相等，综合得出，此时利用“同位角相等、两直线平行”得出，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”推出，最后根据切线的判定即可得出结论；
（2）根据余弦的定义以及余弦值，即可得出，从而得出，然后代入计算求出，根据，代入计算即可求解．
（1）解：与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
23．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
【答案】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为，
6÷2=3，
∴从图中可知，该抛物线经过点，代入中，得到，解得．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为；
任务2：结合条件，最右侧同学所在的横坐标为．
当m时，m．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为m．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务3：当绳子摇至最低处时，抛物线经过（3，1）、（0，0），假设解析式为，
将（3，1）代入，得9b=1，解得b=，
∴此时解析式可表示为．
出手高度降低至，
抛物线下降1-0.85=．
下移后的抛物线解析式为．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】任务1：按要求建立平面直角坐标系后，结合图中信息得知，该抛物线经过（-3，1）、（3，1）、（0，2）这三个点，选择任意一个点利用待定系数法代入求解a，即可得出抛物线解析式；
任务2，因为“ 同时保持的间距 ”，计算出最右侧同学所在的横坐标为，然后结合“任务一”中计算出来的抛物线解析式，代入计算求出当m时对应的y=1.64m，并依据条件“长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的”计算出最右侧同学屈膝后的身高为m，对比即可得出答案；
任务3，先利用待定系数法求出当绳子摇至最低处时的解析式，然后分析得出，出手高度降低至，则抛物线下降，此时得出下移后的抛物线解析式为，将x=1.8代入求出y=0.21，对比即可得出答案。
24．已知抛物线，其中是实数．
（1）已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于两点（点在轴正半轴），与轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接交于点，连接．记的面积分别为，求的最大值；
②过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：．
【答案】（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为。
（2）解：①过点作于点，点作于点，如图，
的面积为，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为将代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：将
代入求得：
故直线的解析式为：
∵直线与直线交于点F，
∴将点的纵坐标代入
得：解得：，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式可得顶点坐标为，利用待定系数法求出顶点为，从而得出答案；
（2）做辅助线，根据三角形的面积公式可推得，待定系数法求直线的解析式为，设，求得直线的解析式为，设，求得直线OD的解析式为，根据，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为即可求出答案；
（3）根据（1）得顶点，做辅助线后，利用待定系数法求直线的解析式为：，求得直线与直线的交点坐标为，，根据直线与抛物线交于两点，求得，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得，根据等角的余角相等可得，推得，根据中线的判定可得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明．
（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为；
（2）①过点作于点，点作于点，如图，
的面积为 ，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为将代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：将
代入求得：
故直线的解析式为：
∵直线与直线交于点F，
∴将点的纵坐标代入
得：解得：，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
．
25．如图1，已知正方形的边长为2，点E、F分别是边上的动点且满足．
（1）求证：；
（2）如图2，正方形的对角线相交于点O，线段相交于点M，过点O作线段的垂线，垂足为点N．求证：；
（3）在（2）的条件下，当取最小值时，若平面内存在一点H，使得，求线段的最小值．
【答案】（1）证明：设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为2，
∴，
作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴当点E在上时，，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，
∴，
当点H在线段上时，，取得最小值，．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；解直角三角形；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设与交于点G，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得∠FEO，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.（3）以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，则，根据边之间的关系可得，分情况讨论：当点E在上时，，取得最小值，根据直线平行判定定理可得，则，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得EF，再根据点的坐标可得，根据两点间距离可得CN，再根据正切定义可得，则点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，；当点H在线段上时，，取得最小值，．
（1）证明：设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为2，
∴，
作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴当点E在上时，，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，
∴，
当点H在线段上时，，取得最小值，．
1 / 1广东省广州市执信中学2024-2025学年下学期九年级中考三模数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．实数，-2，-3的大小关系是（　　）
A．＜-3＜-2 B．-3＜＜-2 C．-2＜＜-3 D．-3＜-2＜
2．如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（　　）
A．米； B．米； C．米； D．米．
5．定义运算：※，例如：4※．若关于的方程※有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．
C．或 D．或
6．国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一段时间N95口罩需求量增大，某工厂6个生产车间日生产量（万只）如图所示，因任务需要，现决定再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为4500万只，则下列关于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（　　）
A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差不变
7．已知A、B两地是一条直路，甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两人出发2h后相遇 B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙骑自行车的速度为90km/h D．乙比甲提前到达目的地
8．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
9．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”．
①点是一次函数的“2倍值点”；
②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则；
③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”；
④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（　　）
A．① B．①④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为　 　米．
12．把多项式分解因式的结果是　 　．
13．若是关于的方程的解，则的值为　 　．
14．如图，⊙的直径为2，以圆上一点为圆心、为半径作弧，交圆于点，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE=FN，若AB=cm，则BC=　 　cm．
16．如图，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点D修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计）．已知，．若在线段上找一点P修建游客休息亭，且，当点B到点P的距离与的长度之和最小时，　 　．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中a2﹣4a+2＝0
19．如图，中，是边上一点．
（1）在边上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若的面积是面积的9倍，且，求的长．
20．垫球是排球队常规训练的重要项目之一，也是我市初中体育学业水平考试的一个选考项目．下列图表中的数据是从九年级一班、二班各随机抽取五名学生垫球测试成绩：
测试学生序号 ① ② ③ ④ ⑤
一班 7 8 6 7 7
二班 4 8 7 10 6
解答下列问题：
（1）一班五名学生的测试成绩的众数是　 　，二班五名学生的测试成绩的中位数是　 　．
（2）请你在图中补全二班五名学生的垫球测试成绩的折线统计图．从题中的信息，估计　 　班的垫球成绩要稳定．
（3）把前三次对应序号下一班学生的垫球测试成绩减去二班学生垫球测试成绩，分别可得到数字3、0、﹣1，从这三个数中任意选取两个数组成有序数对（x，y），请用列表法或画树状图法列出可能出现的结果，并计算点（x，y）落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的概率．
21．小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度，但手中只有一把刻度模糊的直角三角板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿重合，如图①，一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽．
（1）【实践探究】小红受到小星的启发，将的按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米，求该刻度尺的宽度的长；
（2）【问题解决】小红继续按相同的方式将的放置在刻度尺上，求与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米．（结果精确到厘米）
（参考数据，，，，，）
22．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若的半径，，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
24．已知抛物线，其中是实数．
（1）已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于两点（点在轴正半轴），与轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接交于点，连接．记的面积分别为，求的最大值；
②过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：．
25．如图1，已知正方形的边长为2，点E、F分别是边上的动点且满足．
（1）求证：；
（2）如图2，正方形的对角线相交于点O，线段相交于点M，过点O作线段的垂线，垂足为点N．求证：；
（3）在（2）的条件下，当取最小值时，若平面内存在一点H，使得，求线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： ，，，
∵，22=4，32=9，
∴2<<3，
∴-3＜＜-2.
故选B.
【分析】根据绝对值法比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看如图
故选：A．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；实数的绝对值；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A项错误；
B．，故B项错误；
C．，故C项错误；
D．，故D项正确；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方， 去绝对值符号及合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【解答】根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 米．
故选C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可知：※，
当时，原来方程变形为，方程无解；
当时，
关于的方程※有实数根，
△，
解得或．
故答案为：D．
【分析】根据定义运算可得※，然后根据根的判别式进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：6个生产车间的平均数为：
（万只）
6个生产车间的方差为：
7个生产车间的平均数为：
（万只）
7个生产车间的方差为：
∴平均数不变，方差变小
故选：B
【分析】根据平均数和方差的定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知，
两人出发后2小时后相遇，故A选项正确；
甲的速度为：，故B选项正确；
乙的速度为：，故C选项正确；
乙从开始到达目的地所用的时间为：，
乙比甲提前小时到达，故D选项错误，
故答案为：D．
【分析】根据函数图象中的数据，再利用“时间、路程和速度”的关系求出甲、乙的速度，再求出乙到达目的地的时间，最后逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∵的周长与的周长比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据位似图形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴，
∴．
∴反比例函数经过第二、四象限，经过第一、二、三象限。
四个选项中，只有C选项符合。
故答案为：C．
【分析】本题先根据二次函数的图象，得出，，然后分析出此时对应的反比例函数经过第二、四象限，经过第一、二、三象限，最后结合四个选项即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”，
．
又，
点是一次函数的“2倍值点”，故①正确．
对于②，由题意， “2倍值点”的，
．
联立方程组，
．
二次函数存在唯一的“2倍值点”，
．
或，②错误．
对于③，联立方程组，
．
．
为正整数，
．
反比例函数总存在二个的“倍值点”．
设其中一点为，另一个点为，
．
这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误．
对于④，联立方程组，
．
函数的“倍点”为．
点与点的距离为．
又当时，
．即，
又为正整数，
不合题意，故④错误．
故选：A．
【分析】根据新定义，结合反比例函数，一次函数，二次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】科学记数法表示的数，一般形式为。本题先确定a=2.5，然后计算得出n=-5，代入即可用科学记数法表示。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方尺公式因式分解，即可得到答案.
13．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交圆O于E点，连接、．
是直径，
，
，，
，
，
∴，
，
同理可得：，，
∴，，
，
故答案为：．
【分析】连接并延长交圆O于E点，连接、，根据圆周角定理的推论可得，再根据勾股定理可得EC，再根据等边三角形性质可得，则，同理可得：，，则，，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过点F作FG⊥BC于G，则四边形CNFG为矩形，
∴GC=FN，
由折叠可知△ABE≌△AFE，MN为矩形的对称轴，
∴AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF，AF=BF，
∴AB=AF=BF，即△ABF为等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠BAE=∠FAE=30°，∠AEB=∠AEF=60°
在Rt△ABE中，∠BAE =30°，AB=cm，
设BE长为x，则AE=2x，
∴AE2-BE2=AB2，即，
解得x=1cm，
∴BE=EF=1cm，
∵FE=FN，GC=FN，
∴GC=FN=1cm，
在Rt△EFG中，∠FEG= 180°-∠AEB-∠AEF= 180°-60°-60° =60°，
∴∠EFG =30°，
∴EG=EF=cm，
∴BC=BE+EG+GC=1++1= cm
故答案为：．
【分析】本题做辅助线后，结合矩形的性质可以进一步推出四边形CNFG为矩形，从而得出GC=FN，然后结合折叠的性质进一步得出AB=AF=BF，即△ABF为等边三角形，从而得出∠BAF=60°，并结合直角三角形锐角互余得出∠BAE=∠FAE=30°，∠AEB=∠AEF=60°，然后根据30°直角三角形的性质以及勾股定理，列式求出BE=1cm，EG=cm，CG=1cm，最后根据BC=BE+EG+GC代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作， 且， 连接交于点， 连接，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当，，三点共线时，取得最小值即点与点重合，取得最小值，
过点作于点，
∵，，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作， 且， 连接交于点， 连接，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当，，三点共线时，取得最小值即点与点重合，取得最小值，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质雕刻AT，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠DAM，再根据直线平行性质可得，则，根据等边三角形性质可得，，则，根据角之间的关系可得∠CAE，过点作于点，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得NC，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。
18．【答案】解：原式=[]
.
∵a2﹣4a+2=0，
∴a2﹣4a=﹣2，
∴原式.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
19．【答案】解：（1）如图，点E就是所求作的点．
（2）∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即．
解得：DE=2．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】（1）7、7；
解：（2）补全折线图如下：
一；
（3）三个数中任意选取两个数确定的点（x，y）出现的情况有：
　 3 0 ﹣1
3 　 （3，0） （3，﹣1）
0 （0，3） 　 （0，﹣1）
﹣1 （﹣1，3） （﹣1，0） 　
落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的点有：（0，﹣1）、（﹣1，0），
因此点（x，y）落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的概率为＝．
【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）一班五名学生的测试成绩的众数是7，二班五名学生的测试成绩的中位数是7，
故答案为7、7；
（2）由折线图知，一班成绩波动幅度小，
所以一班垫球成绩稳定，
故答案为一；
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求出答案.
（2）根据表格数据补全折线图，再由两线条的波动幅度可判定成绩的稳定性
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出落在二次函数y＝x2﹣1的图象上的点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，，厘米，，
∴（厘米），
即该刻度尺的宽度约为2.43厘米．
（2）解：∵，
∴，
在中，，厘米，，
∴（厘米），
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．
【知识点】已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据“两直线平行、内错角相等”得出，在中，利用，将厘米、tan∠ABO=tan39°≈0.81代入计算即可求出AO；
（2）先根据“两直线平行、内错角相等”得出，在中，利用，将厘米、tan∠ACO=tan24°≈0.45代入计算即可求出OC。
（1）解：∵，
∴，
在中，，厘米，
，
∴（厘米），
即该刻度尺的宽度约为2.43厘米．
（2）∵，
∴，
在中，，厘米，
，
∴（厘米），
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．
22．【答案】（1）解：与相切，理由如下：
连接，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角以及圆的半径相等，综合得出，此时利用“同位角相等、两直线平行”得出，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”推出，最后根据切线的判定即可得出结论；
（2）根据余弦的定义以及余弦值，即可得出，从而得出，然后代入计算求出，根据，代入计算即可求解．
（1）解：与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
23．【答案】解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为，
6÷2=3，
∴从图中可知，该抛物线经过点，代入中，得到，解得．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为；
任务2：结合条件，最右侧同学所在的横坐标为．
当m时，m．
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为m．
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
任务3：当绳子摇至最低处时，抛物线经过（3，1）、（0，0），假设解析式为，
将（3，1）代入，得9b=1，解得b=，
∴此时解析式可表示为．
出手高度降低至，
抛物线下降1-0.85=．
下移后的抛物线解析式为．
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】任务1：按要求建立平面直角坐标系后，结合图中信息得知，该抛物线经过（-3，1）、（3，1）、（0，2）这三个点，选择任意一个点利用待定系数法代入求解a，即可得出抛物线解析式；
任务2，因为“ 同时保持的间距 ”，计算出最右侧同学所在的横坐标为，然后结合“任务一”中计算出来的抛物线解析式，代入计算求出当m时对应的y=1.64m，并依据条件“长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的”计算出最右侧同学屈膝后的身高为m，对比即可得出答案；
任务3，先利用待定系数法求出当绳子摇至最低处时的解析式，然后分析得出，出手高度降低至，则抛物线下降，此时得出下移后的抛物线解析式为，将x=1.8代入求出y=0.21，对比即可得出答案。
24．【答案】（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为。
（2）解：①过点作于点，点作于点，如图，
的面积为，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为将代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：将
代入求得：
故直线的解析式为：
∵直线与直线交于点F，
∴将点的纵坐标代入
得：解得：，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式可得顶点坐标为，利用待定系数法求出顶点为，从而得出答案；
（2）做辅助线，根据三角形的面积公式可推得，待定系数法求直线的解析式为，设，求得直线的解析式为，设，求得直线OD的解析式为，根据，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为即可求出答案；
（3）根据（1）得顶点，做辅助线后，利用待定系数法求直线的解析式为：，求得直线与直线的交点坐标为，，根据直线与抛物线交于两点，求得，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得，根据等角的余角相等可得，推得，根据中线的判定可得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明．
（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为；
（2）①过点作于点，点作于点，如图，
的面积为 ，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为将代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：将
代入求得：
故直线的解析式为：
∵直线与直线交于点F，
∴将点的纵坐标代入
得：解得：，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
．
25．【答案】（1）证明：设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为2，
∴，
作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴当点E在上时，，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，
∴，
当点H在线段上时，，取得最小值，．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；解直角三角形；定点定长辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设与交于点G，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得∠FEO，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.（3）以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，则，根据边之间的关系可得，分情况讨论：当点E在上时，，取得最小值，根据直线平行判定定理可得，则，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，，根据勾股定理可得EF，再根据点的坐标可得，根据两点间距离可得CN，再根据正切定义可得，则点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，；当点H在线段上时，，取得最小值，．
（1）证明：设与交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：以点B为原点，边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为2，
∴，
作点O关于的对称点G，连接，设交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴当点E在上时，，取得最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点H在以点N为圆心，以长为直径的圆弧上运动，
∴，
当点H在线段上时，，取得最小值，．
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