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广东省广州市广州中学2025年中考数学模拟卷三
一、选择题（共10题，每题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、
等边三角形是轴对称图形 ，不是
中心对称图形 ，故A不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形 ，是中心对称图形 ，故B符合题意；
C、 正五边形是轴对称图形 ，不是中心对称图形 ，故C不符合题意；
D、 圆是轴对称图形 ，也是中心对称图形 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a6÷a3＝a2
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3＝a6 ，故不符合题意；
B、a6÷a3＝a4 ，故不符合题意；
C、， 故不符合题意；
D、 ， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法、二次根式的加法及完全平方公式分别计算，再判断即可.
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，
∴，
∵直线，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠3的度数，然后根据垂直解题即可．
5．为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下：
天数
人数
则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．4和5 B．4和4 C．14和5 D．14和4
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为
共有个数据，
将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为
故答案为：B．
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案.
6．某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m，
由提前2天完成任务，则有：．
故选A．
【分析】设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m，根据等量关系“计划天数-实际天数=2”建立方程即可.
7．如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，AC与OD相较于E
，
，
∵是半圆的半径，是半圆的切线，
，
，
∠DCE=90°-∠OCA=63°
∠AEO=90°-∠CAB=63°=∠DEC
∠D=180°-∠DCA-∠DEC=54°
故选：C．
【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得∠BOC，根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出GE的长，最后求出即可.
9．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
10．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；动点问题的函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
，
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【分析】等腰直角三角形ABC，AB=2，则底边BA边上的高是1，根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
二、填空题（共6题，每题3分，满分18分）
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
12．已知，，则　 　．
【答案】8
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：，
，，
xy=2
，
故答案为：
【分析】首先把提取公因式变形为，再把x-2y=-4，变形为2y-x=4.然后整体代入计算即可求解．
13．如图，在矩形中，若，则的长为　 　．
【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：在矩形中， ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，最后将数据代入求出AE的长即可.
14．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．如图，在中，，平分，于点，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵平分，于点，
∴，
∵，，，
∴，，
∴
解得，
故答案为：
【分析】过点作于点，根据角平分线性质可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，已知点A是反比例函数（）图像上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点B、C，交坐标轴于点E、D，连接．现有以下四个结论：；②连接，则有；③的面积是个定值；④不存在一点A，使得．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵轴，轴，且C点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，，，
∴，
故①错误；
如图所示：连接，
∵，，且B点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，，，，，
∴，，
∴，
故②正确；
由②可知：，，
∴，
故③正确；
假设，则有，
∴，
解得：，
故④错误．
故答案为：②③．
【分析】设，则， 求出AC和CD的长，从而可判断出①是否正确；连接ED，再求出，， 可判断出，从而可判断出②是否正确；再利用三角形的面积公式判断出③是否正确；最后利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
三、解答题（共9题，满分72分）
17．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的非负性；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算：．然后进行实数的混合运算。
18．先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】解：
∵
∴
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
19．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
．
平分，
，
∴，
．
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，且，
．
，，
，
．
，
，
∴，
，
，
．
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=AD，即可证出平行四边形是菱形；
（2）先证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等角对等边的性质可得，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
（1）证明：∵，
．
平分，
，
∴，
．
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，且，
．
，，
，
．
，
，
∴，
，
，
．
．
20．如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）证明：∵直线与圆O相切于点B
∴，
∵，
∴，
∴，
∴

（2）如图所示；
【知识点】切线的性质；尺规作图-作角的平分线；圆周角定理的推论；圆周角的概念
【解析】【分析】本题主要考查尺规作图，切线的性质，圆周角定理．
（1）由切线得到，由，得到，则；
（2）连接OC， 作BOC的角平分线交FB于E. 连接CE，CE是圆的切线。理由：由于FB是圆的切线，FB⊥OB，△COE≌△BOE（SAS），所以OC⊥CE，CE是圆的切线。
（1）证明：∵直线与圆O相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是圆O直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）方法1：
如图，直线l是圆O的切线；
方法2：
方法3：
方法4：
方法5：
21．2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 50 60
售出电影票数量y（张） 124 84
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本）
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）；

（2）解：由题意可得，，
当X=，二次函数的最大值4561
∵，且x是整数，
∴当或41时，w取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据题意和表格中的数据，x=5，y=124；x=60，y=84.设一次函数的解析式为y=kx+b，用待定系数法求一次函数的解析式。
（2）票房收入= 电影票数量y乘以售价x ，根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
（1）解：设y与x之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）；
（2）解：由题意可得，
，
∵，且x是整数，
∴当或41时，w取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
22．打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 ▲ 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1），如图所示
（2）
（3）解：列表如下：
B C D
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生人数共有（名）．
类的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：．
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是．
故答案为：．
【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；总人数-A类人数-B类人数-C类人数=类的人数，补全条形统计图即可．
（2）用乘以类的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：此次被调查的学生人数共有（名）．
类的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．故答案为：．
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是．
故答案为：．
（3）列表如下：
B C D
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
23．手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，．
（1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形为矩形，
，，
由旋转得，
，
在中，，，
，
，
答：点到地面的距离为．
（2）解：过点作，交延长线于点，
由（1）得BE=115cm，
，
在Rt△BCF中，∠BCF=30°，∠CFB=90°
∴∠ABG=180°-75°-60°=45°
在中，，
，
，
答：调节后悬臂的长约为．

【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解．
（1）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，点B到地面的距离为BF+EF即可求解．
（2）过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解。
（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形为矩形，
，，
由旋转得，
，
在中，，，
，
，
，
答：点到地面的距离为．
（2）解：过点作，交延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：调节后悬臂的长约为．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】（1）解：将，代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（3）解：如图，
根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵C（0，3），
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
【分析】（1）利用待定系数法将ABC三点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，求解即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，据此假设点P和点Q的坐标，得出，根据“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”得出，从而得出，此时即可求出点P的坐标和最大值；
（3）先根据折叠性质得出，，，结合“两直线平行、内错角相等”综合推出，从而根据等腰三角形的性质得出，假设出M和P点坐标，结合C点坐标利用两点之间的距离公式计算得出，，从而得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
25．如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接．
（1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________；
（2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由：
（3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长．
【答案】（1），
（2）解：线段，，的数量关系会变化，数量关系为．
理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．
则，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：由（2）知，，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
于是作、、、外接圆，如图，
当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此的面积最大．
作，则平分，，在上截取一点，使得，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）①如图，在图1中．
，且，
，
，
、、、四点共圆，
；
②由题意可知，，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据圆内接四边形性质可得；根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将绕点顺时针旋转交直线于点，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，再根据角之间的关系可得，根据圆内接四边形性质可得、、、四点共圆，作、、、外接圆，当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此的面积最大，作，则平分，，在上截取一点，使得，根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省广州市广州中学2025年中考数学模拟卷三
一、选择题（共10题，每题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a6÷a3＝a2
C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下：
天数
人数
则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．4和5 B．4和4 C．14和5 D．14和4
6．某公司准备铺设一条长的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设道路，根据题意可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
7．如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
9．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或4
10．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共6题，每题3分，满分18分）
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是　 　．
12．已知，，则　 　．
13．如图，在矩形中，若，则的长为　 　．
14．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在中，，平分，于点，若，，，则的长为　 　．
16．如图，已知点A是反比例函数（）图像上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点B、C，交坐标轴于点E、D，连接．现有以下四个结论：；②连接，则有；③的面积是个定值；④不存在一点A，使得．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共9题，满分72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中a满足．
19．如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
20．如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法）
21．2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 50 60
售出电影票数量y（张） 124 84
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本）
22．打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 ▲ 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
23．手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，．
（1）如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，）
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
25．如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使，且，过点C作直线l于点D，连接．
（1）小娟在研究这个图形时发现，，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________；
（2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由：
（3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、
等边三角形是轴对称图形 ，不是
中心对称图形 ，故A不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形 ，是中心对称图形 ，故B符合题意；
C、 正五边形是轴对称图形 ，不是中心对称图形 ，故C不符合题意；
D、 圆是轴对称图形 ，也是中心对称图形 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3＝a6 ，故不符合题意；
B、a6÷a3＝a4 ，故不符合题意；
C、， 故不符合题意；
D、 ， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法、二次根式的加法及完全平方公式分别计算，再判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，
∴，
∵直线，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠3的度数，然后根据垂直解题即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为
共有个数据，
将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为
故答案为：B．
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m，
由提前2天完成任务，则有：．
故选A．
【分析】设原计划每天铺设道路，则实际每天铺路m，根据等量关系“计划天数-实际天数=2”建立方程即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，AC与OD相较于E
，
，
∵是半圆的半径，是半圆的切线，
，
，
∠DCE=90°-∠OCA=63°
∠AEO=90°-∠CAB=63°=∠DEC
∠D=180°-∠DCA-∠DEC=54°
故选：C．
【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质可得∠BOC，根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出GE的长，最后求出即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；动点问题的函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
，
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【分析】等腰直角三角形ABC，AB=2，则底边BA边上的高是1，根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
12．【答案】8
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：，
，，
xy=2
，
故答案为：
【分析】首先把提取公因式变形为，再把x-2y=-4，变形为2y-x=4.然后整体代入计算即可求解．
13．【答案】1
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：在矩形中， ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，最后将数据代入求出AE的长即可.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵平分，于点，
∴，
∵，，，
∴，，
∴
解得，
故答案为：
【分析】过点作于点，根据角平分线性质可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】②③
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵轴，轴，且C点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，，，
∴，
故①错误；
如图所示：连接，
∵，，且B点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，，，，，
∴，，
∴，
故②正确；
由②可知：，，
∴，
故③正确；
假设，则有，
∴，
解得：，
故④错误．
故答案为：②③．
【分析】设，则， 求出AC和CD的长，从而可判断出①是否正确；连接ED，再求出，， 可判断出，从而可判断出②是否正确；再利用三角形的面积公式判断出③是否正确；最后利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；绝对值的非负性；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算：．然后进行实数的混合运算。
18．【答案】解：
∵
∴
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，解方程可得a值，再代入代数式即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵，
．
平分，
，
∴，
．
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，且，
．
，，
，
．
，
，
∴，
，
，
．
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=AD，即可证出平行四边形是菱形；
（2）先证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等角对等边的性质可得，再利用角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
（1）证明：∵，
．
平分，
，
∴，
．
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，且，
．
，，
，
．
，
，
∴，
，
，
．
．
20．【答案】（1）证明：∵直线与圆O相切于点B
∴，
∵，
∴，
∴，
∴

（2）如图所示；
【知识点】切线的性质；尺规作图-作角的平分线；圆周角定理的推论；圆周角的概念
【解析】【分析】本题主要考查尺规作图，切线的性质，圆周角定理．
（1）由切线得到，由，得到，则；
（2）连接OC， 作BOC的角平分线交FB于E. 连接CE，CE是圆的切线。理由：由于FB是圆的切线，FB⊥OB，△COE≌△BOE（SAS），所以OC⊥CE，CE是圆的切线。
（1）证明：∵直线与圆O相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是圆O直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）方法1：
如图，直线l是圆O的切线；
方法2：
方法3：
方法4：
方法5：
21．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）；

（2）解：由题意可得，，
当X=，二次函数的最大值4561
∵，且x是整数，
∴当或41时，w取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据题意和表格中的数据，x=5，y=124；x=60，y=84.设一次函数的解析式为y=kx+b，用待定系数法求一次函数的解析式。
（2）票房收入= 电影票数量y乘以售价x ，根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
（1）解：设y与x之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）；
（2）解：由题意可得，
，
∵，且x是整数，
∴当或41时，w取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
22．【答案】（1），如图所示
（2）
（3）解：列表如下：
B C D
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生人数共有（名）．
类的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：．
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是．
故答案为：．
【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；总人数-A类人数-B类人数-C类人数=类的人数，补全条形统计图即可．
（2）用乘以类的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：此次被调查的学生人数共有（名）．
类的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．故答案为：．
（2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是．
故答案为：．
（3）列表如下：
B C D
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
23．【答案】（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形为矩形，
，，
由旋转得，
，
在中，，，
，
，
答：点到地面的距离为．
（2）解：过点作，交延长线于点，
由（1）得BE=115cm，
，
在Rt△BCF中，∠BCF=30°，∠CFB=90°
∴∠ABG=180°-75°-60°=45°
在中，，
，
，
答：调节后悬臂的长约为．

【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解．
（1）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，点B到地面的距离为BF+EF即可求解．
（2）过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解。
（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形为矩形，
，，
由旋转得，
，
在中，，，
，
，
，
答：点到地面的距离为．
（2）解：过点作，交延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：调节后悬臂的长约为．
24．【答案】（1）解：将，代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为．
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（3）解：如图，
根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵C（0，3），
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．
【分析】（1）利用待定系数法将ABC三点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，求解即可得出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，据此假设点P和点Q的坐标，得出，根据“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”得出，从而得出，此时即可求出点P的坐标和最大值；
（3）先根据折叠性质得出，，，结合“两直线平行、内错角相等”综合推出，从而根据等腰三角形的性质得出，假设出M和P点坐标，结合C点坐标利用两点之间的距离公式计算得出，，从而得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
25．【答案】（1），
（2）解：线段，，的数量关系会变化，数量关系为．
理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．
则，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：由（2）知，，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
于是作、、、外接圆，如图，
当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此的面积最大．
作，则平分，，在上截取一点，使得，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）①如图，在图1中．
，且，
，
，
、、、四点共圆，
；
②由题意可知，，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据圆内接四边形性质可得；根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将绕点顺时针旋转交直线于点，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，再根据角之间的关系可得，根据圆内接四边形性质可得、、、四点共圆，作、、、外接圆，当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此的面积最大，作，则平分，，在上截取一点，使得，根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
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