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广东省深圳市可园学校2025年初中学业水平测试数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．某超市促销活动中，A商品以原价3元的倒数（　　）元出售．
A．3 B． C． D．
2．计算 的结果为（）
A．1 B． C． D．
3．下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（　　）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
5．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则这个一元二次方程的另一个根为　 　．
10．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为　 　平方米．
11．如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=　 　．
12．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为　 　．
13．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
15．先化简再求值：，其中．
16．为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近，质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g） 频数 频率
68≤x＜71 2 0.1
71≤x＜74 3 0.15
74≤x＜77 10 a
77≤x＜80 5 0.25
合计 20 1
分析上述数据，得到下表：
统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 b 6.3
乙厂 75 c 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
17．综合实践
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元：若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）：线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共个，其中A款盲盒m个（）， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
18．如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
19．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，　 　．
②S关于t的函数解析式为　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
20．综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴3的倒数为．
故选：B ．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】利用分式的加减运算方法求解即可。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
又是的切线，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故选B．
【分析】根据垂直可得，根据切线性质可得，则，根据四边形内角和定理可得∠OCB，再根据补角可得∠OCD，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
7．【答案】A
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据直角三角形锐角互余，求出，再根据“两直线平行、内错角相等”即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A。
【分析】做辅助线后，结合“等弧对应的圆心角相等”得出，由以及三角形面积公式，可得，同时得出，结合正切定义得；然后利用勾股定理求出，再利用正切的定义分析列式即可得答案．
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：将x=1代入一元二次方程 有： ，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
10．【答案】2π
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形面积可得，连接，根据圆内接四边形性质可得，根据勾股定理可得OA，再根据圆的面积即可求出答案.
11．【答案】32°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AO=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB+∠OAC=64°，
∴∠ACB=64°÷2=32°．
故答案为32°.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠OAC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据余弦定义可得AB，再根据边之间的关系可得BC，再根据余弦定义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE=，
Rt△DAF中，DF=，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF=，
∴PD==3，
如图2，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG=，
∵AC=，
∴CG= ，
∴EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH=，
∴EH=EF﹣FH=，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=，
∴，
∴EN=，
∴NH=EH﹣EN=，
Rt△GNH中，GN= ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
，
，即，
解得：，，
当时，，因此不符合题意，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题先通过提公因式法、完全平方公式将括号里面的两个分式变形，然后根据分式的混合运算法则将式子化简得到，再利用十字相乘法解一元二次方程 ，得到，；此时需要结合原分式，根据分母不为零的性质确定只有x=-1符合条件，最后代入化简后的式子进行计算即可。
16．【答案】（1）0.5；76；75
（2）解：乙厂中，的数据有75，76，76，74，75，74，74，75，共8个，补全图形如图：
（3）解：两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：（只），
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）
甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b＝76，
乙厂鸡腿质量70，71，71，72，73，74，74，74，75，75，75，76，76，77，77，77，77，78，79，79，
所以其中位数c＝＝75（g），
故答案为：0.5；76；75；
【分析】（1）根据1减去其他组的频率可得a，再根据众数，中位数的定义可得b，c.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据2000乘以加工成优等品的鸡腿占比即可求出答案.
（1）甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b＝76，
乙厂鸡腿质量70，71，71，72，73，74，74，74，75，75，75，76，76，77，77，77，77，78，79，79，
所以其中位数c＝＝75（g），
故答案为：0.5；76；75；
（2）乙厂中，的数据有75，76，76，74，75，74，74，75，共8个，补全图形如图：
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）（只），
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
17．【答案】解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，
根据题意得，解得，
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒单价为元，B款亚运盲盒单价为元；
任务2：；
任务3：由题意可得，
解得：，
答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务2：若在线下商店购买，共需要元，
若在线上淘宝店购买，共需要元；
【分析】任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：根据线上和线下销售活动规则分别建立代数式即可求出答案.
任务3：根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，如图
则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得出，再根据条件，替换即可得出结论；
（2）做辅助线，根据垂径定理得出，然后结合（1）的证明结果推出，根据“等角对等边”得出，在中利用勾股定理得出，然后中，根据勾股定理列式，最后变形并替换即可求出，从而得出答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
19．【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴。
（3）①4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）①解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：（1）①3；②；（3）①4；
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；
②先求出，进而利用勾股定理求出，则根据正方形面积列式得出；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，利用顶点式得出S关于t的函数解析式为，利用待定系数法将代入求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①结合P点在BC和AB上运动时对应的S和t的函数关系式，由此可得，则，根据题意可以看作，则；
②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
20．【答案】（1），
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②或.
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴（SAS）；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
故答案为：（1），；
②如图，连接，，，
∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
∴，
∴在上，且为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积=，
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或.
【分析】（1）先结合图形可以推出，结合m=1以及比例关系式得出，，此时利用SAS证明得出，再结合全等三角形的性质得出，，然后角度变形即可得出；
（2）结合条件，利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”得；从而得出，然后结合对应角相等并且变形即可得出；
（3）①先结合等腰直角三角形的性质、对称性以及（1）中的计算步骤，可以先证明四边形为正方形，然后利用勾股定理求出，，再分和两种情况，结合勾股定理列出函数解析式，结合函数性质可得最小值；
②做辅助线后，结合正方形的性质可得，可得在上，且为直径，此时结合圆周角定理得，再做辅助线，结合勾股定理求解正方形面积为20，结合，再解方程可得答案.
1 / 1广东省深圳市可园学校2025年初中学业水平测试数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．某超市促销活动中，A商品以原价3元的倒数（　　）元出售．
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴3的倒数为．
故选：B ．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．计算 的结果为（）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】利用分式的加减运算方法求解即可。
3．下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断。
4．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（　　）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
5．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
又是的切线，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故选B．
【分析】根据垂直可得，根据切线性质可得，则，根据四边形内角和定理可得∠OCB，再根据补角可得∠OCD，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
7．如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据直角三角形锐角互余，求出，再根据“两直线平行、内错角相等”即可得出答案。
8．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A。
【分析】做辅助线后，结合“等弧对应的圆心角相等”得出，由以及三角形面积公式，可得，同时得出，结合正切定义得；然后利用勾股定理求出，再利用正切的定义分析列式即可得答案．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则这个一元二次方程的另一个根为　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：将x=1代入一元二次方程 有： ，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
10．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为　 　平方米．
【答案】2π
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形面积可得，连接，根据圆内接四边形性质可得，根据勾股定理可得OA，再根据圆的面积即可求出答案.
11．如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=　 　．
【答案】32°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AO=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB+∠OAC=64°，
∴∠ACB=64°÷2=32°．
故答案为32°.
【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠OAC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
12．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据余弦定义可得AB，再根据边之间的关系可得BC，再根据余弦定义即可求出答案.
13．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE=，
Rt△DAF中，DF=，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF=，
∴PD==3，
如图2，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG=，
∵AC=，
∴CG= ，
∴EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH=，
∴EH=EF﹣FH=，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=，
∴，
∴EN=，
∴NH=EH﹣EN=，
Rt△GNH中，GN= ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
，即，
解得：，，
当时，，因此不符合题意，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题先通过提公因式法、完全平方公式将括号里面的两个分式变形，然后根据分式的混合运算法则将式子化简得到，再利用十字相乘法解一元二次方程 ，得到，；此时需要结合原分式，根据分母不为零的性质确定只有x=-1符合条件，最后代入化简后的式子进行计算即可。
16．为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近，质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g） 频数 频率
68≤x＜71 2 0.1
71≤x＜74 3 0.15
74≤x＜77 10 a
77≤x＜80 5 0.25
合计 20 1
分析上述数据，得到下表：
统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差
甲厂 75 76 b 6.3
乙厂 75 c 77 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【答案】（1）0.5；76；75
（2）解：乙厂中，的数据有75，76，76，74，75，74，74，75，共8个，补全图形如图：
（3）解：两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）解：（只），
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）
甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b＝76，
乙厂鸡腿质量70，71，71，72，73，74，74，74，75，75，75，76，76，77，77，77，77，78，79，79，
所以其中位数c＝＝75（g），
故答案为：0.5；76；75；
【分析】（1）根据1减去其他组的频率可得a，再根据众数，中位数的定义可得b，c.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
（4）根据2000乘以加工成优等品的鸡腿占比即可求出答案.
（1）甲厂中76g出现了7次，出现次数最多，则b＝76，
乙厂鸡腿质量70，71，71，72，73，74，74，74，75，75，75，76，76，77，77，77，77，78，79，79，
所以其中位数c＝＝75（g），
故答案为：0.5；76；75；
（2）乙厂中，的数据有75，76，76，74，75，74，74，75，共8个，补全图形如图：
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而要求的规格是75g，由于甲厂的方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂；
（4）（只），
答：估计可加工成优等品的鸡腿有13000只．
17．综合实践
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元：若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）：线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共个，其中A款盲盒m个（）， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【答案】解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，
根据题意得，解得，
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒单价为元，B款亚运盲盒单价为元；
任务2：；
任务3：由题意可得，
解得：，
答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务2：若在线下商店购买，共需要元，
若在线上淘宝店购买，共需要元；
【分析】任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：根据线上和线下销售活动规则分别建立代数式即可求出答案.
任务3：根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
18．如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，如图
则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得出，再根据条件，替换即可得出结论；
（2）做辅助线，根据垂径定理得出，然后结合（1）的证明结果推出，根据“等角对等边”得出，在中利用勾股定理得出，然后中，根据勾股定理列式，最后变形并替换即可求出，从而得出答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
19．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，　 　．
②S关于t的函数解析式为　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴。
（3）①4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）①解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：（1）①3；②；（3）①4；
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；
②先求出，进而利用勾股定理求出，则根据正方形面积列式得出；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，利用顶点式得出S关于t的函数解析式为，利用待定系数法将代入求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①结合P点在BC和AB上运动时对应的S和t的函数关系式，由此可得，则，根据题意可以看作，则；
②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
20．综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②或.
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴（SAS）；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
故答案为：（1），；
②如图，连接，，，
∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
∴，
∴在上，且为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积=，
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或.
【分析】（1）先结合图形可以推出，结合m=1以及比例关系式得出，，此时利用SAS证明得出，再结合全等三角形的性质得出，，然后角度变形即可得出；
（2）结合条件，利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”得；从而得出，然后结合对应角相等并且变形即可得出；
（3）①先结合等腰直角三角形的性质、对称性以及（1）中的计算步骤，可以先证明四边形为正方形，然后利用勾股定理求出，，再分和两种情况，结合勾股定理列出函数解析式，结合函数性质可得最小值；
②做辅助线后，结合正方形的性质可得，可得在上，且为直径，此时结合圆周角定理得，再做辅助线，结合勾股定理求解正方形面积为20，结合，再解方程可得答案.
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