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广东省深圳市南山区教育科学研究院附属学校教育集团荔香学校2024-2025学年中考适应性考试数学模拟试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．计算的结果等于（　　）
A． B．4 C． D．8
2．下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．2025年春节档新片中的《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《美国队长4》《封神第二部》《浴火之路》等十部影片上映．根据国家电影局统计，2025年春节档《哪吒之魔童闹海》票房居于首位，据网络平台最新数据，截止到4月6日18时15分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超154.78亿元，超《侏罗纪世界》《头脑特工队2》《蜘蛛侠·英雄无归》《复仇者联盟3·无限战争》《星球大战·原力觉醒》票房成绩，成为首部进入全球票房榜前5，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！距超越《泰坦尼克号》（票房164.23亿）进入全球影史票房榜第4名，仅差8.45亿元．用科学记数法表示154.78亿时，下列写法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一个不透明的口袋中有2个红球和1个黑球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
7．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①；②的度数不变；③；④．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共5小题）
9．分解因式： =　 　
10．计算的结果等于　 　 ．
11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　 　cm．
12．如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是　 　．
13．阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．计算：
（1）；
（2）．
15．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　　；
（2）解不等式②，得　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　　．
16．中华人民共和国国务院令（第790号）要求：《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行．某校为落实这一条例，举办了“守护青春，网络有你”网络安全知识竞赛活动，现随机抽取七年级20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该组数据的中位数是______分，众数是______分；
（2）请计算这组数据的平均数，并回答（1）中的两个统计量，哪个更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”；
（3）若该校七年级共有180名学生参加了本次竞赛，估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有多少名．
17．已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离
3.6
②填空：小王从体育场到图书馆的速度为______ ；
③当时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可）
18．综合与实践
问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．
建模分析：
第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；
第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表：
1 2 4 6 7
2.25 2.67 3 2.67 2.25
第四步：成绩分析．
问题解决：
（1）求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求实心球起点处的坐标；
（3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．
19．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（1）如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
（2）如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
②若，则的长度为多少．
20．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．
（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
（2）拓展探究
如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】根据有理数的减法即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B、选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
D、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A：点在的左边， ，选项错误；
B：点在的左边， ，选项错误；
C：∵，a＜0、b＞0， ，选项错误；
D：∵，a＜0、b＞0， ，选项正确。
故答案为：D．
【分析】本题根据“右大左小”，即可判断A、B选项；根据a、b距离0的位置，即可得出，然后结合数轴上的信息得出a＜0、b＞0，即可得出、，从而得出答案。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 红 黑
红 　 （红，红） （红，黑）
红 （红，红） 　 （红，黑）
黑 （黑，红） （黑，红） 　
共有6种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有2种，
∴两次摸出小球的颜色相同的概率为．
故选：B．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两次摸出小球的颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到，
∴△OAB 与△OCD的相似比等于；
由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
∴△OAB 与△OCD的相似比等于；
故答案为：D．
【分析】本题先根据条件得出△OAB 与△OCD的相似比等于，然后结合坐标得出OB=1，OD=3，最后代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】将点坐标代入解析式可得x值，再比较大小即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，CP=DQ，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
【分析】通过SAS可以证明，从而可得，，，进而判断①；根据进而可得，进而判断③，再根据，利用四边形内角和可得，进而判断②；证明，进而判断④；
9．【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
10．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方，幂的乘方即可求出答案.
11．【答案】14.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别AB、BC的中点，
∴，DE为△ABC的中位线，
∴DE//AC．
∵F、E分别AC、BC的中点，
∴，EF为△ABC的中位线，
∴EF//AB．
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴，，
∴cm.
故答案为：14．
【分析】由中位线的判定定理可得DE//AC，EF//AB，进而可证明四边形ADEF是平行四边形．再结合中点的定义可得，，代入周长公式即可得到结论．
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，
∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，，，
∴，，，设垂足为K，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点F到边的距离是；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式. 解题关键在于利于折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合勾股定理和面积法求出相关线段长度，再通过作垂线计算点到边的距离.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据零次幂计算（-2024）0=1、绝对值的非负性计算、二次根式的化简计算、负整数指数幂计算、特殊角三角函数值sin60°=，然后进一步计算即可；
（2）先将括号里的分式与整数之和进行通分计算，同时利用提供因式和完全平方公式对括号外面的分式进行变形，再算除法进行约分计算并化简即可．
（1）原式
．
（2）原式
．
15．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），
移项，得，
合并同类项，得，
（2），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
（4）结合（3）的图中信息得出，原不等式组的解集为，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【分析】按照解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的性质，分别求出（1）和（2）中的x的取值范围即可；
（3）结合（1）和（2）的计算结果，在数轴上表示解题即可；
（4）根据（3）的画图结果，写出x的公共部分即可得出解集。
16．【答案】（1）75；80
（2）解：∵这组数据的平均数为：（分）．
∴中位数更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”．
（3）解：（名）．
答：估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有90名．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80．
故答案为：75，80．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据180乘以不低于“平均水平”的学生占比即可求出答案.
（1）解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80．
故答案为：75，80．
（2）解：∵这组数据的平均数为：（分）．
∴中位数更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”．
（3）解：（名）．
答：估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有90名．
17．【答案】（1）①1.8，3.6，0；
②0.09；
③
（2）0.9km
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①，20分钟和40分钟的时候，小王仍在图书馆；160分钟的时候，小明已回到家中。
由图填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0
②小王从体育场到图书馆的速度为，
③当时，设y与x的函数解析式为，
将，代入，得，，解得：，
∴；
当时，，
∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：；
（2）解：小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，
设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，
则，解得：，
此时离他们家的距离为．
故答案为：（1）①1.8，3.6，0；②0.09；
【分析】（1）①根据图象求出小王去体育场骑共享单车的速度为（3.6÷20）km/min，然后计算出第10分钟时的路程即为离家的距离，为；结合图象分析出20分钟和40分钟的时候，小王仍在图书馆；160分钟的时候，小明已回到家中，从而得出答案；
②根据图象，由小王从体育场到图书馆的距离（3.6-1.8）km，除以时间（70-50）min，计算即可；
③分当时和时两种情况，分别用待定系数法列式和分析即可得出答案；
（2）先计算出小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，然后假设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，此时小王哥哥离家3.6-0.18t，小王离家1.8-0.06t，列出方程求出，进一步计算即可。
（1）解：①，
由图填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0
故答案为：1.8，3.6，0；
②小王从体育场到图书馆的速度为，
故答案为：0.09；
③当时，设y与x的函数解析式为，
把，代入得，，解得：，
∴；
当时，，
∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：；
（2）小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，
设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，
则，解得：，
此时离他们家的距离为．
18．【答案】（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点．
设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
将代入，得．
解得．
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为；
（2）解：当时，．
∴实心球起点处的坐标为；
（3）解：令，则，
解得（不合题意，舍去）．
∵，
小宇在此次掷球中不得满分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=0代入解析式可得x，再比较大小即可求出答案.
（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点．
设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
将代入，得．
解得．
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为；
（2）解：当时，．
∴实心球起点处的坐标为；
（3）解：令，则，
解得（不合题意，舍去）．
∵，
小宇在此次掷球中不得满分．
19．【答案】（1）解：如图所示，△ADE即为所求：
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示；因为，所以，而为的直径，所以，因此，则即为所求；
（2）①过点尺规作图作即可得到答案；
②由切线性质以及“两直线平行、同旁内角互补、内错角相等”，综合得出，结合等腰三角形的性质推出，结合圆周角定理得出，从而得出，此时利用AAS证明，即可得出=5．
（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，则即为所求；
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：
∵为直径，，
∴为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或．
（1）①是；
②四边形是“垂美四边形”，理由如下：
证明：设与分别相交于点M和点N，
∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴四边形是“垂美四边形”。
（2）．理由如下：
证明：如图3，设相交于点O，
已知四边形中，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴。
（3）或．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是“垂美四边形”．
故答案为：（1）是．
（3）解：∵，，．
∴，
过点P作于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
经检验，是原方程的解，
当时，，此时点P在线段上，
当时，，此时点P在线段的延长线上，
当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或．
【分析】（1）①结合垂直平分线的定义，首先分别得出点A和C在线段的垂直平分线上，从而得出是的垂直平分线，即可证明是的垂直平分线，最后根据“垂美四边形”的定义即可得到结论；
②依据正方形的性质得出，，并结合图中信息综合得出，此时利用SAS证明，从而得出；依据直角三角形锐角互余推出，最后依据三角形内角和列式计算得出，从而得出答案；
（2）结合图中信息，利用勾股定理列式即可证明结论；
（3）先利用勾股定理求出AB=5，然后做辅助线并利用AA证明，从而得到，结合“垂美四边形”的性质综合推出，此时可以证明，则，解出，，最后代入计算并分析即可得到答案．
1 / 1广东省深圳市南山区教育科学研究院附属学校教育集团荔香学校2024-2025学年中考适应性考试数学模拟试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．计算的结果等于（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】根据有理数的减法即可求出答案.
2．下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B、选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
D、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A：点在的左边， ，选项错误；
B：点在的左边， ，选项错误；
C：∵，a＜0、b＞0， ，选项错误；
D：∵，a＜0、b＞0， ，选项正确。
故答案为：D．
【分析】本题根据“右大左小”，即可判断A、B选项；根据a、b距离0的位置，即可得出，然后结合数轴上的信息得出a＜0、b＞0，即可得出、，从而得出答案。
4．2025年春节档新片中的《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《美国队长4》《封神第二部》《浴火之路》等十部影片上映．根据国家电影局统计，2025年春节档《哪吒之魔童闹海》票房居于首位，据网络平台最新数据，截止到4月6日18时15分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超154.78亿元，超《侏罗纪世界》《头脑特工队2》《蜘蛛侠·英雄无归》《复仇者联盟3·无限战争》《星球大战·原力觉醒》票房成绩，成为首部进入全球票房榜前5，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！距超越《泰坦尼克号》（票房164.23亿）进入全球影史票房榜第4名，仅差8.45亿元．用科学记数法表示154.78亿时，下列写法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
5．一个不透明的口袋中有2个红球和1个黑球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 红 黑
红 　 （红，红） （红，黑）
红 （红，红） 　 （红，黑）
黑 （黑，红） （黑，红） 　
共有6种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有2种，
∴两次摸出小球的颜色相同的概率为．
故选：B．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两次摸出小球的颜色相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到，
∴△OAB 与△OCD的相似比等于；
由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
∴△OAB 与△OCD的相似比等于；
故答案为：D．
【分析】本题先根据条件得出△OAB 与△OCD的相似比等于，然后结合坐标得出OB=1，OD=3，最后代入计算即可。
7．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】将点坐标代入解析式可得x值，再比较大小即可求出答案.
8．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①；②的度数不变；③；④．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，CP=DQ，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
【分析】通过SAS可以证明，从而可得，，，进而判断①；根据进而可得，进而判断③，再根据，利用四边形内角和可得，进而判断②；证明，进而判断④；
二、填空题（共5小题）
9．分解因式： =　 　
【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
10．计算的结果等于　 　 ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方，幂的乘方即可求出答案.
11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　 　cm．
【答案】14.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别AB、BC的中点，
∴，DE为△ABC的中位线，
∴DE//AC．
∵F、E分别AC、BC的中点，
∴，EF为△ABC的中位线，
∴EF//AB．
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴，，
∴cm.
故答案为：14．
【分析】由中位线的判定定理可得DE//AC，EF//AB，进而可证明四边形ADEF是平行四边形．再结合中点的定义可得，，代入周长公式即可得到结论．
12．如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，
∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，，，
∴，，，设垂足为K，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点F到边的距离是；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式. 解题关键在于利于折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合勾股定理和面积法求出相关线段长度，再通过作垂线计算点到边的距离.
13．阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据零次幂计算（-2024）0=1、绝对值的非负性计算、二次根式的化简计算、负整数指数幂计算、特殊角三角函数值sin60°=，然后进一步计算即可；
（2）先将括号里的分式与整数之和进行通分计算，同时利用提供因式和完全平方公式对括号外面的分式进行变形，再算除法进行约分计算并化简即可．
（1）原式
．
（2）原式
．
15．解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　　；
（2）解不等式②，得　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　　．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），
移项，得，
合并同类项，得，
（2），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
（4）结合（3）的图中信息得出，原不等式组的解集为，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【分析】按照解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的性质，分别求出（1）和（2）中的x的取值范围即可；
（3）结合（1）和（2）的计算结果，在数轴上表示解题即可；
（4）根据（3）的画图结果，写出x的公共部分即可得出解集。
16．中华人民共和国国务院令（第790号）要求：《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行．某校为落实这一条例，举办了“守护青春，网络有你”网络安全知识竞赛活动，现随机抽取七年级20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均为整数）进行整理，并绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该组数据的中位数是______分，众数是______分；
（2）请计算这组数据的平均数，并回答（1）中的两个统计量，哪个更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”；
（3）若该校七年级共有180名学生参加了本次竞赛，估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有多少名．
【答案】（1）75；80
（2）解：∵这组数据的平均数为：（分）．
∴中位数更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”．
（3）解：（名）．
答：估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有90名．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80．
故答案为：75，80．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据180乘以不低于“平均水平”的学生占比即可求出答案.
（1）解：将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80．
故答案为：75，80．
（2）解：∵这组数据的平均数为：（分）．
∴中位数更能反映这组学生竞赛成绩的“平均水平”．
（3）解：（名）．
答：估计此次竞赛中成绩不低于“平均水平”的学生有90名．
17．已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离
3.6
②填空：小王从体育场到图书馆的速度为______ ；
③当时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①1.8，3.6，0；
②0.09；
③
（2）0.9km
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①，20分钟和40分钟的时候，小王仍在图书馆；160分钟的时候，小明已回到家中。
由图填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0
②小王从体育场到图书馆的速度为，
③当时，设y与x的函数解析式为，
将，代入，得，，解得：，
∴；
当时，，
∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：；
（2）解：小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，
设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，
则，解得：，
此时离他们家的距离为．
故答案为：（1）①1.8，3.6，0；②0.09；
【分析】（1）①根据图象求出小王去体育场骑共享单车的速度为（3.6÷20）km/min，然后计算出第10分钟时的路程即为离家的距离，为；结合图象分析出20分钟和40分钟的时候，小王仍在图书馆；160分钟的时候，小明已回到家中，从而得出答案；
②根据图象，由小王从体育场到图书馆的距离（3.6-1.8）km，除以时间（70-50）min，计算即可；
③分当时和时两种情况，分别用待定系数法列式和分析即可得出答案；
（2）先计算出小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，然后假设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，此时小王哥哥离家3.6-0.18t，小王离家1.8-0.06t，列出方程求出，进一步计算即可。
（1）解：①，
由图填表：
小王离家的时间 10 20 40 160
小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0
故答案为：1.8，3.6，0；
②小王从体育场到图书馆的速度为，
故答案为：0.09；
③当时，设y与x的函数解析式为，
把，代入得，，解得：，
∴；
当时，，
∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：；
（2）小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，
设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，
则，解得：，
此时离他们家的距离为．
18．综合与实践
问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．
建模分析：
第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；
第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表：
1 2 4 6 7
2.25 2.67 3 2.67 2.25
第四步：成绩分析．
问题解决：
（1）求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求实心球起点处的坐标；
（3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．
【答案】（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点．
设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
将代入，得．
解得．
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为；
（2）解：当时，．
∴实心球起点处的坐标为；
（3）解：令，则，
解得（不合题意，舍去）．
∵，
小宇在此次掷球中不得满分．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）将y=0代入解析式可得x，再比较大小即可求出答案.
（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点．
设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
将代入，得．
解得．
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为；
（2）解：当时，．
∴实心球起点处的坐标为；
（3）解：令，则，
解得（不合题意，舍去）．
∵，
小宇在此次掷球中不得满分．
19．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（1）如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使；
（2）如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；
②若，则的长度为多少．
【答案】（1）解：如图所示，△ADE即为所求：
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示；因为，所以，而为的直径，所以，因此，则即为所求；
（2）①过点尺规作图作即可得到答案；
②由切线性质以及“两直线平行、同旁内角互补、内错角相等”，综合得出，结合等腰三角形的性质推出，结合圆周角定理得出，从而得出，此时利用AAS证明，即可得出=5．
（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，则即为所求；
（2）解：①过点作，交与点，如图所示：
∵为直径，，
∴为的切线；
②∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．
（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
（2）拓展探究
如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．
【答案】（1）①是；②四边形是“垂美四边形”，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或．
（1）①是；
②四边形是“垂美四边形”，理由如下：
证明：设与分别相交于点M和点N，
∵以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
即，
∴四边形是“垂美四边形”。
（2）．理由如下：
证明：如图3，设相交于点O，
已知四边形中，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴。
（3）或．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是“垂美四边形”．
故答案为：（1）是．
（3）解：∵，，．
∴，
过点P作于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当四边形是四边形是“垂美四边形”时，则，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
经检验，是原方程的解，
当时，，此时点P在线段上，
当时，，此时点P在线段的延长线上，
当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，的值为或．
【分析】（1）①结合垂直平分线的定义，首先分别得出点A和C在线段的垂直平分线上，从而得出是的垂直平分线，即可证明是的垂直平分线，最后根据“垂美四边形”的定义即可得到结论；
②依据正方形的性质得出，，并结合图中信息综合得出，此时利用SAS证明，从而得出；依据直角三角形锐角互余推出，最后依据三角形内角和列式计算得出，从而得出答案；
（2）结合图中信息，利用勾股定理列式即可证明结论；
（3）先利用勾股定理求出AB=5，然后做辅助线并利用AA证明，从而得到，结合“垂美四边形”的性质综合推出，此时可以证明，则，解出，，最后代入计算并分析即可得到答案．
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