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广东广州市天河区广州天省实验学校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若是一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
5．人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1是一个竹筒水容器，图2是该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（　　）
A． B．该抛物线必过点
C．当时，y随x增大而减小 D．当时，
8．如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（　　）
A． B． C． D．1
9．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为　 　．
13．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是　 　．
14．如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是　 　cm．
15．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为　 　．
16．在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是　 　．
三、解答题（共9小题，满分62分）
17．解方程：．
18．如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，．
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为，则______．
19．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
A. B. C. D.
（1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是　 　；
（2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率．
20．抛物线经过点．
（1）求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标．
（2）已知点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线 与x轴交于点A，B，且.AB=4，求a的值.
22．如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．
（1）在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线．
23．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答：
①连接DE，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
24．中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接．
（1）如图1，当为的角平分线时，若．
①求的值；
②连接，求证：．
（2）如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
25．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，点，记，
（1）求的值；
（2）点在直线上，且在点的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围．
（3）在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是方程的根，
∴代入得：，
解得．
故选：D．
【分析】本题考查了一元二次方程，将代入方程，直接计算的值，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为，
故答案为：C.
【分析】将抛物线y=ax2向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x+m）2；将抛物线y=ax2向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-m）2；将抛物线y=ax2向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=ax2+m；将抛物线y=ax2向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=ax2-m，据此即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，所以位似比为，且点，
情况一： 位似图形与原图形在原点同侧，点坐标为
情况二： 位似图形与原图形在原点异侧，点坐标为，
即或，
故选：D．
【分析】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，本题中，位似中心为原点O，相似比， （各边长缩小到原来的），已知点，只需分两种情况计算对应点的坐标即可。根据位似变换的性质计算即可。
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过圆心作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴由垂径定理可得，
由题意得：，在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：B．
【分析】本题可通过垂径定理结合勾股定理求解：连接，过圆心作OD垂直 于点，延长交圆于点。先由垂径定理得到被平分，求出 的长度；再在直角 中，利用勾股定理算出的长度；最后结合圆的半径，求出的长度，即为水容器所能装水的最大深度。本题的核心是垂径定理与勾股定理的综合应用，通过作辅助线构造直角三角形，是解决这类圆中弦长、深度问题的关键思路。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据邻补角定义得出，再根据圆内接四边形的性质得出，进而根据圆周角定理即可得出的度数是 144°。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将代入，得，A选项正确；
∵b=4a，
∴对称轴为直线，
设关于对称轴的对称点为，则，解得，
∴对称点为，即该抛物线必过点，B选项正确；
∵对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y随x增大而减小，C选项正确；
∵抛物线过点，对称轴为直线，
-2-=-5，
∴该抛物线与x轴另一交点为，且开口向上，
∴当时，，D选项错误．
故答案为：D．
【分析】本题结合条件将点代入，计算出c的值，即可判断A选项；
结合条件并计算出对称轴为x=-2，然后根据对称性计算出m=-4，从而得出该抛物线必过点，即可判断B选项；
由对称轴及抛物线开口方向，得出y随x的增减情况，从而判断C选项；
由对称轴及抛物线过点，依据对称性可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项．
8．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲手中的牌为2，5，8，乙手中有4张牌，分别为4，5，8，9，因此甲随机抽取 1 张，总共有4种等可能的结果。
其中，与甲手中牌相邻的数为4（与5相邻）、9（与8相邻），共2种符合条件的结果。故恰好与自己手中牌是相邻数的概率是。
故答案为：C。
【分析】 先明确甲、乙手中的牌，再找出乙中与甲牌相邻的牌，用符合条件的牌数除以乙的总牌数，即可得到概率，根据概率公式计算概率即可.
9．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程的正数解为，
将代入中，得，
解得．
根据图2的构造，大正方形的边长为，
将、代入，得到大正方形的边长=，
∴大正方形的面积=；
故答案为：D．
【分析】本题根据条件将代入中，即可求出，再根据图形的得出大正方形的边长为2x+m，此时可以将、代入求出大正方形的边长，最后根据大正方形的面积计算公式计算即可。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，，，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意可得出，，进而得出，，进而可得出，解得。
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】关于原点对称的点的坐标特点，即“横纵坐标互为相反数”，本题据此即可得出答案。
12．【答案】48
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从频率统计图得出，摸到白球的概率约为．
设黑球有个，则总球数为（）个，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
【分析】本题先根据频率统计图确定白球的稳定频率基本维持在0.2，因此摸到白球的概率为0.2，然后假设黑球的个数为，结合概率公式列式并求解，最后检验即可。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴；
解得；
故答案为：．
【分析】本题根据反比例函数在第二、四象限的特点，首先得到，然后根据不等式的求解步骤即可求出k的取值范围。
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线的长为，则侧面展开图的半径为，
∵圆锥形的烟囱帽的侧面积是，
∴，
解得：．（负值舍去）
故答案为：
【分析】设母线的长为，则侧面展开图的半径为，根据扇形面积计算公式，可得出，进而即可得出．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形是的内接正六边形，
．
，，
．
在中，，，
，，
即正六边形的边心距是．
故答案为：．
【分析】根据正六边形的性质可得出，，进而解直角三角形即可得出正六边形的边心距是．
16．【答案】
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，
，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图，
∵，，
∴，，
∴，
如图，当三点共线时，有最大值，为，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，根据勾股定理可得出AB=10，进而根据内心的性质，根据，可得出，则，当三点共线时，有最大值，为，有两点间的距离公式可得出，，可得出，进而即可得出的最大值为。
17．【答案】解：
变形得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程结构，发现方程两边均含有公因式，可采用因式分解法求解。先通过移项将右边化为 0，再提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后即可得到原方程的根。
18．【答案】（1）证明：∵，，，，，，
，
∵，
．
（2）
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）∵，且，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据SAS即可得出；
（2）根据相似三角形的性质，即可得出．
（1）证明：∵，，，，
，，
，
∵，
．
（2）解：∵，且，
．
答：．
19．【答案】（1）
（2）列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种，
分别为：(A，C)、(B，C)、(C，A)、(C，B)、(C，C)、(C，D)、(D，C)
∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）已知共有A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）4张完全相同的邮票，随机抽取 1 张时，每张被抽中的可能性相等。故小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是。
故答案为：。
【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键．
（1） 单次等可能事件，直接用符合条件的牌数除以总牌数即可；
（2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率．
（1）解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是；
（2）解：列表如下：
第二次 第一次 A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种，
∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为．
20．【答案】（1）解：把，代入，得：，解得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∵点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，
又∵小球从左侧向点P运动，横坐标逐渐增大，且三点的横坐标满足，
∴小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）首先根据 点． 可得出m=-4，进而将函数解析式由一般式转化为顶点式，即可得出点P的坐标；（2）首先根据函数解析式可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点，即可得出点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，进而根据，即可得出小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
（1）解：把，代入，得：，
解得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∵点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，
又∵小球从左侧向点P运动，横坐标逐渐增大，且三点的横坐标满足，
∴小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
21．【答案】（1）证明： ∵a=1，b=-(a+1)，c=2a-2
∴ 该方程总有两个实数根
（2）解：∵抛物线与x轴交于点 A，B，
∴当y=0，时
解得：
∵ AB=4，
∴ |a-1-2|= 4
解得： a=7，a=-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的联系.
(1)一元二次方程的根的判别式为，当时，方程总有两个实数根，将本题方程的系数代入判别式，对结果进行化简变形，可判断其恒大于等于0，从而完成证明；
(2)抛物线与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根，设根为、，由根与系数的关系求出和，再结合，利用完全平方公式列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值。
22．【答案】（1）
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-直线、射线、线段；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
【分析】 本题综合考查尺规作图、圆的相关性质与切线的判定，解题的核心是熟练运用圆周角定理、等腰三角形性质与切线判定定理，通过构造辅助线搭建条件与结论的桥梁。
（1） 要在的延长线上取点使，本质是作一条线段等于已知线段：以点为圆心、长为半径画弧，与 的延长线的交点即为，再连接 即可，作图时需保留弧的痕迹。
（2） 证明切线需紧扣切线的判定定理：连接半径，证明。解题时，先利用直径所对圆周角为直角、角平分线的性质得到相关角度，再结合圆周角定理推导出；接着通过等腰三角形的性质得到角度相等，进而推出，最终由得到，完成切线的证明
（1）解：根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
23．【答案】（1）解：把代入解析式得，因此反比例函数的解析式为；
把代入反比例函数，将代入得B点坐标为；
一次函数过点和代入，得方程组得一次函数的解析式为，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识．
（1） 先利用已知点 A 的坐标，代入反比例函数解析式求出参数 m，确定反比例函数表达式；再用反比例函数求出点 B 的坐标，最后将 A、B 两点坐标代入一次函数，用待定系数法求出一次函数的解析式。
（2） ① 先求出直线与坐标轴的交点 D、C 的坐标，得到的面积；再设出直线上动点 P 的坐标，结合反比例函数得到 E、F 的坐标，用坐标表示出 PE 的长度，根据面积关系列方程求解，最终得到 的值。
② 先结合图象确定点 P 在点 E 上方时 p 的取值范围，再针对关于 x 的方程，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论： 观察图象可知，点在点上方时，或，对p的取值进行分类讨论：
a. 当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；
b.当时，方程为一元二次方程；
，再分类讨论即可．
（1）把代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
；
把，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
24．【答案】（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得，根据角平分线的定义得到，依据正切定义得出，利用推出、，最后代入计算即可求解；
②做辅助线后，结合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，结合平行四边形的性质推出是等腰直角三角形，结合“两直线平行、内错角相等”以及角度变形、等腰三角形的判定及性质，证明，从而得到，进而求出，得出结论；
（2）做辅助线得出，结合正切定义得出，利用AA证明，推出，利用中线定义代入得出，，根据，得到，即可求出，再利用二次函数即分式的性质即可求出的最大值．
（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
25．【答案】（1）解：直线经过点，，．
（2）解：
同理可得，
，
整理得：，
解得，（舍去），
，．
，
，
即，
的面积的取值范围是：．
即．
（3）解：设，，
，即，而，．
如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，，
则，，
∴轴，
即轴，
则，
；
由旋转知，，，
，
即∥，；∥，，
四边形和四边形都是平行四边形．
轴，点、关于点对称，轴，
抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过、的中点，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
图像经过和，
，
化简得，
∵，
，即；
，
，
，
，
，
．
抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；切线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 直接将点 B 的坐标代入一次函数解析式，即可求出 k 的值。
(2) 要确定⊙F 的面积取值范围，需找到圆与线段 CD 有交点的两个临界状态：
当 恰好经过点时，圆的半径达到最大值。可通过作辅助线构造相似三角形，设出点 的坐标，利用相似关系求出 点坐标，进而得到 的最大长度；
当 与线段 相切时，圆的半径达到最小值。连接圆心与切点，利用切线性质与坐标关系，求出的最小长度；
最后结合圆的面积公式，即可得到 面积的取值范围。
（3）设，，由（2）得的范围；连接，过点A作于点H，由旋转知，，则可求得点的坐标；由旋转性质易得四边形和四边形都是平行四边形．点、关于点对称，抛物线的对称轴为直线，从而设抛物线的解析式为顶点式，即；由抛物线经过A、B两点，则得方程组，整理得，即可求得抛物线顶点纵坐标的最大值与最小值，从而求得结果．
（1）解：直线经过点，
，
．
（2）解：（i）当经过点时，
为直径，
，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，
，
∴，
，
．
设点，，解得，
，，
当与线段相切于点经过点时，连接，因为直径，所以圆心必在直线上，
设，则点，则，
连接，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，则点，
同理可得，
，
整理得：，
解得，（舍去），
，．
，
，
即，
的面积的取值范围是：．
即．
（3）解：设，，
，即，而，．
如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，，
则，，
∴轴，
即轴，
则，
；
由旋转知，，，
，
即∥，；∥，，
四边形和四边形都是平行四边形．
轴，点、关于点对称，轴，
抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过、的中点，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
图像经过和，
，
化简得，
∵，
，即；
，
，
，
，
，
．
抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为．
1 / 1广东广州市天河区广州天省实验学校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．若是一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是方程的根，
∴代入得：，
解得．
故选：D．
【分析】本题考查了一元二次方程，将代入方程，直接计算的值，即可得出答案．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为，
故答案为：C.
【分析】将抛物线y=ax2向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x+m）2；将抛物线y=ax2向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-m）2；将抛物线y=ax2向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=ax2+m；将抛物线y=ax2向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=ax2-m，据此即可得出答案.
4．如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，所以位似比为，且点，
情况一： 位似图形与原图形在原点同侧，点坐标为
情况二： 位似图形与原图形在原点异侧，点坐标为，
即或，
故选：D．
【分析】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，本题中，位似中心为原点O，相似比， （各边长缩小到原来的），已知点，只需分两种情况计算对应点的坐标即可。根据位似变换的性质计算即可。
5．人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1是一个竹筒水容器，图2是该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过圆心作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴由垂径定理可得，
由题意得：，在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：B．
【分析】本题可通过垂径定理结合勾股定理求解：连接，过圆心作OD垂直 于点，延长交圆于点。先由垂径定理得到被平分，求出 的长度；再在直角 中，利用勾股定理算出的长度；最后结合圆的半径，求出的长度，即为水容器所能装水的最大深度。本题的核心是垂径定理与勾股定理的综合应用，通过作辅助线构造直角三角形，是解决这类圆中弦长、深度问题的关键思路。
6．如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据邻补角定义得出，再根据圆内接四边形的性质得出，进而根据圆周角定理即可得出的度数是 144°。
7．如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（　　）
A． B．该抛物线必过点
C．当时，y随x增大而减小 D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将代入，得，A选项正确；
∵b=4a，
∴对称轴为直线，
设关于对称轴的对称点为，则，解得，
∴对称点为，即该抛物线必过点，B选项正确；
∵对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y随x增大而减小，C选项正确；
∵抛物线过点，对称轴为直线，
-2-=-5，
∴该抛物线与x轴另一交点为，且开口向上，
∴当时，，D选项错误．
故答案为：D．
【分析】本题结合条件将点代入，计算出c的值，即可判断A选项；
结合条件并计算出对称轴为x=-2，然后根据对称性计算出m=-4，从而得出该抛物线必过点，即可判断B选项；
由对称轴及抛物线开口方向，得出y随x的增减情况，从而判断C选项；
由对称轴及抛物线过点，依据对称性可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项．
8．如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲手中的牌为2，5，8，乙手中有4张牌，分别为4，5，8，9，因此甲随机抽取 1 张，总共有4种等可能的结果。
其中，与甲手中牌相邻的数为4（与5相邻）、9（与8相邻），共2种符合条件的结果。故恰好与自己手中牌是相邻数的概率是。
故答案为：C。
【分析】 先明确甲、乙手中的牌，再找出乙中与甲牌相邻的牌，用符合条件的牌数除以乙的总牌数，即可得到概率，根据概率公式计算概率即可.
9．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-直接代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程的正数解为，
将代入中，得，
解得．
根据图2的构造，大正方形的边长为，
将、代入，得到大正方形的边长=，
∴大正方形的面积=；
故答案为：D．
【分析】本题根据条件将代入中，即可求出，再根据图形的得出大正方形的边长为2x+m，此时可以将、代入求出大正方形的边长，最后根据大正方形的面积计算公式计算即可。
10．如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，，，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意可得出，，进而得出，，进而可得出，解得。
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】关于原点对称的点的坐标特点，即“横纵坐标互为相反数”，本题据此即可得出答案。
12．在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为　 　．
【答案】48
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从频率统计图得出，摸到白球的概率约为．
设黑球有个，则总球数为（）个，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
【分析】本题先根据频率统计图确定白球的稳定频率基本维持在0.2，因此摸到白球的概率为0.2，然后假设黑球的个数为，结合概率公式列式并求解，最后检验即可。
13．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴；
解得；
故答案为：．
【分析】本题根据反比例函数在第二、四象限的特点，首先得到，然后根据不等式的求解步骤即可求出k的取值范围。
14．如图，圆锥形的烟囱帽的侧面积是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是　 　cm．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线的长为，则侧面展开图的半径为，
∵圆锥形的烟囱帽的侧面积是，
∴，
解得：．（负值舍去）
故答案为：
【分析】设母线的长为，则侧面展开图的半径为，根据扇形面积计算公式，可得出，进而即可得出．
15．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形是的内接正六边形，
．
，，
．
在中，，，
，，
即正六边形的边心距是．
故答案为：．
【分析】根据正六边形的性质可得出，，进而解直角三角形即可得出正六边形的边心距是．
16．在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，
，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图，
∵，，
∴，，
∴，
如图，当三点共线时，有最大值，为，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，根据勾股定理可得出AB=10，进而根据内心的性质，根据，可得出，则，当三点共线时，有最大值，为，有两点间的距离公式可得出，，可得出，进而即可得出的最大值为。
三、解答题（共9小题，满分62分）
17．解方程：．
【答案】解：
变形得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程结构，发现方程两边均含有公因式，可采用因式分解法求解。先通过移项将右边化为 0，再提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后即可得到原方程的根。
18．如图，在中，，分别是边和上的点，其中，，，．
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为，则______．
【答案】（1）证明：∵，，，，，，
，
∵，
．
（2）
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）∵，且，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据SAS即可得出；
（2）根据相似三角形的性质，即可得出．
（1）证明：∵，，，，
，，
，
∵，
．
（2）解：∵，且，
．
答：．
19．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
A. B. C. D.
（1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是　 　；
（2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率．
【答案】（1）
（2）列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种，
分别为：(A，C)、(B，C)、(C，A)、(C，B)、(C，C)、(C，D)、(D，C)
∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）已知共有A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）4张完全相同的邮票，随机抽取 1 张时，每张被抽中的可能性相等。故小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是。
故答案为：。
【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键．
（1） 单次等可能事件，直接用符合条件的牌数除以总牌数即可；
（2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率．
（1）解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是；
（2）解：列表如下：
第二次 第一次 A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种，
∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为．
20．抛物线经过点．
（1）求m的值以及此抛物线最低点（或最高点）P的坐标．
（2）已知点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，有一小球沿着抛物线从左侧向点P运动的过程中，判断小球经过A、B、C三点的先后顺序，并说明理由．
【答案】（1）解：把，代入，得：，解得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∵点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，
又∵小球从左侧向点P运动，横坐标逐渐增大，且三点的横坐标满足，
∴小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）首先根据 点． 可得出m=-4，进而将函数解析式由一般式转化为顶点式，即可得出点P的坐标；（2）首先根据函数解析式可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点，即可得出点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，进而根据，即可得出小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
（1）解：把，代入，得：，
解得，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∵点，，在抛物线上且位于对称轴的左侧，
又∵小球从左侧向点P运动，横坐标逐渐增大，且三点的横坐标满足，
∴小球经过三点的先后顺序为A、C、B．
21．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线 与x轴交于点A，B，且.AB=4，求a的值.
【答案】（1）证明： ∵a=1，b=-(a+1)，c=2a-2
∴ 该方程总有两个实数根
（2）解：∵抛物线与x轴交于点 A，B，
∴当y=0，时
解得：
∵ AB=4，
∴ |a-1-2|= 4
解得： a=7，a=-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的联系.
(1)一元二次方程的根的判别式为，当时，方程总有两个实数根，将本题方程的系数代入判别式，对结果进行化简变形，可判断其恒大于等于0，从而完成证明；
(2)抛物线与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根，设根为、，由根与系数的关系求出和，再结合，利用完全平方公式列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值。
22．如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．
（1）在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；尺规作图-直线、射线、线段；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
【分析】 本题综合考查尺规作图、圆的相关性质与切线的判定，解题的核心是熟练运用圆周角定理、等腰三角形性质与切线判定定理，通过构造辅助线搭建条件与结论的桥梁。
（1） 要在的延长线上取点使，本质是作一条线段等于已知线段：以点为圆心、长为半径画弧，与 的延长线的交点即为，再连接 即可，作图时需保留弧的痕迹。
（2） 证明切线需紧扣切线的判定定理：连接半径，证明。解题时，先利用直径所对圆周角为直角、角平分线的性质得到相关角度，再结合圆周角定理推导出；接着通过等腰三角形的性质得到角度相等，进而推出，最终由得到，完成切线的证明
（1）解：根据题意，作图如下：
则点、为所求．
（2）证明：连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
又为半径，
是切线．
23．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答：
①连接DE，若，求的值；
②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数．
【答案】（1）解：把代入解析式得，因此反比例函数的解析式为；
把代入反比例函数，将代入得B点坐标为；
一次函数过点和代入，得方程组得一次函数的解析式为，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识．
（1） 先利用已知点 A 的坐标，代入反比例函数解析式求出参数 m，确定反比例函数表达式；再用反比例函数求出点 B 的坐标，最后将 A、B 两点坐标代入一次函数，用待定系数法求出一次函数的解析式。
（2） ① 先求出直线与坐标轴的交点 D、C 的坐标，得到的面积；再设出直线上动点 P 的坐标，结合反比例函数得到 E、F 的坐标，用坐标表示出 PE 的长度，根据面积关系列方程求解，最终得到 的值。
② 先结合图象确定点 P 在点 E 上方时 p 的取值范围，再针对关于 x 的方程，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论： 观察图象可知，点在点上方时，或，对p的取值进行分类讨论：
a. 当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；
b.当时，方程为一元二次方程；
，再分类讨论即可．
（1）把代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
；
把，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）①与轴、轴相交于点、点，求得，，
，
，
，
，
连接，
．
，
，．
，点在线段EF外，如图，
．
②由图象可知，点在点上方时，
或，
当时，方程为一元一次方程，
方程有一个实数根．
当时，方程为一元二次方程，
．
当时，，方程有2个实数解，
当，且时，，即，方程有2个实数解，
当时，，即，方程无实数解，
当时，，方程有两个相等实数解，
当时，方程有一个实数解．
24．中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接．
（1）如图1，当为的角平分线时，若．
①求的值；
②连接，求证：．
（2）如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
【答案】（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得，根据角平分线的定义得到，依据正切定义得出，利用推出、，最后代入计算即可求解；
②做辅助线后，结合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得出是平行四边形，结合平行四边形的性质推出是等腰直角三角形，结合“两直线平行、内错角相等”以及角度变形、等腰三角形的判定及性质，证明，从而得到，进而求出，得出结论；
（2）做辅助线得出，结合正切定义得出，利用AA证明，推出，利用中线定义代入得出，，根据，得到，即可求出，再利用二次函数即分式的性质即可求出的最大值．
（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
25．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，点，记，
（1）求的值；
（2）点在直线上，且在点的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围．
（3）在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：直线经过点，，．
（2）解：
同理可得，
，
整理得：，
解得，（舍去），
，．
，
，
即，
的面积的取值范围是：．
即．
（3）解：设，，
，即，而，．
如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，，
则，，
∴轴，
即轴，
则，
；
由旋转知，，，
，
即∥，；∥，，
四边形和四边形都是平行四边形．
轴，点、关于点对称，轴，
抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过、的中点，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
图像经过和，
，
化简得，
∵，
，即；
，
，
，
，
，
．
抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；切线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 直接将点 B 的坐标代入一次函数解析式，即可求出 k 的值。
(2) 要确定⊙F 的面积取值范围，需找到圆与线段 CD 有交点的两个临界状态：
当 恰好经过点时，圆的半径达到最大值。可通过作辅助线构造相似三角形，设出点 的坐标，利用相似关系求出 点坐标，进而得到 的最大长度；
当 与线段 相切时，圆的半径达到最小值。连接圆心与切点，利用切线性质与坐标关系，求出的最小长度；
最后结合圆的面积公式，即可得到 面积的取值范围。
（3）设，，由（2）得的范围；连接，过点A作于点H，由旋转知，，则可求得点的坐标；由旋转性质易得四边形和四边形都是平行四边形．点、关于点对称，抛物线的对称轴为直线，从而设抛物线的解析式为顶点式，即；由抛物线经过A、B两点，则得方程组，整理得，即可求得抛物线顶点纵坐标的最大值与最小值，从而求得结果．
（1）解：直线经过点，
，
．
（2）解：（i）当经过点时，
为直径，
，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，
，
∴，
，
．
设点，，解得，
，，
当与线段相切于点经过点时，连接，因为直径，所以圆心必在直线上，
设，则点，则，
连接，过点A，B分别作轴的垂线，垂足为K，H，则点，
同理可得，
，
整理得：，
解得，（舍去），
，．
，
，
即，
的面积的取值范围是：．
即．
（3）解：设，，
，即，而，．
如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，，
则，，
∴轴，
即轴，
则，
；
由旋转知，，，
，
即∥，；∥，，
四边形和四边形都是平行四边形．
轴，点、关于点对称，轴，
抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过、的中点，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
图像经过和，
，
化简得，
∵，
，即；
，
，
，
，
，
．
抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为．
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