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湖南常德市临澧县第一中学2026届高三年级阶段性检测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．已知复数满足：，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．12 B． C． D．7
6．已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．
7．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．1 C． D．
8．在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
9．下面说法正确的是（ ）
A．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，，则
B．命题“，”的否定形式是“，”
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．数据1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
10．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）
附：若，则
.
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____.
13．在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______
14．甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______．
四、解答题
15．在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的正三角形．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数）
17．已知圆外有一点.
(1)当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：.
18．已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直角三角形，求的值；
(3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？
19．某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望．
(1)当时，求；
(2)证明：；
(3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．C
5．B
6．C.
7．A
8．B
9．ABD
10．BCD
11．BCD
12．14
13．
14．
15．（1）取中点，
因为，是的中点，所以．
又，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）因为平面平面，
且平面平面，，
可得平面．
如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
则，．
设平面的法向量为，
由，得，
取，，得．
由，得，所以，
设与平面所成角为，则．
因此直线与平面所成角的正弦值是．
16．（1）当时，则，故，
故，，
因此所求切线方程，
即．
（2）由题意定义域为R，，
（ⅰ）若，则恒成立，
可知在R上递减，无极值，不合题意．
（ⅱ）若，令，解得；
令，解得；
可知在单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
所以，即，
令，，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以实数a取值范围为．
17．（1）圆，圆心，半径.
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
由于直线与圆相切，所以，解得或，
所以直线的方程为或；
（2）记点关于轴的对称点为，则.
由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在，
设反射光线所在直线，即.
又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则，
整理得，
则两条切线的斜率之积.
所以，
.
18．（1）设，则，两式相减，得，即.
因为为的中点，所以，
所以直线的斜率为，所以，
所以，即.
因为椭圆的焦距为，所以，又因为，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为.设，如图：
将代入方程，消得，
，解得.
则.
若时，有，即，,
即，
所以，化简整理得，解得，符合；
若时，则，即，所以.
又因为，联立方程组解得或（舍去），
所以，所以，符合.
若时，则，即，所以.
又因为，联立方程组解得或（舍去），
所以，所以，符合.
综上，或.
（3）由直线的方程，知.
因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为，
令，得点的横坐标为，因为，
所以，
所以为定值.
19．（1）初始状态，即个在线、个宕机．
第个月选中在线节点的概率为，此时；
选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时；
修复失败的概率为，此时．
所以，．
，．
所以
，
故当时，．
（2）由题意知的可能取值有、、、，
所以，
，
，
，
所以
．
因为，
所以，
所以
，
所以．
（3）因为，设，
所以，
所以，，，
所以是以为公比的等比数列，
，，,
故，
所以，
所以，
第个月的期望宕机节点数的期望为．
每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为．
设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为，
故（万元）.

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