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2026年高考数学全国卷模拟试题
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆心为，，垂足为.线段绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（）
A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足
C．若，则公比 D．若(t为常数)，则
10．抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（ ）
A．直线过点 B．
C．的最小值为2 D．当取最小值时，
11．半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（ ）
A．点在曲线上 B．曲线围成的区域面积等于16
C．曲线与直线有三个交点 D．曲线上点的横坐标的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分
12．已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______；
13．若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______.
14．已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15（13分）．已知中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值.
16（15分）．如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
17（15分）．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积.
18（17分）．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈 列队 翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.
(1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
(2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.
19（17分）．已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，；
(3)若，设，且，证明：
第1页共4页 第2页共4页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B D D D C ACD ACD
题号 11
答案 ACD
12．/
13．9
14． 3
15（1）；
根据正弦定理化简得：，再由余弦定理，
代入上式得：，因为，所以.
（2）因为的角平分线与交于点，
所以，因为，
所以，
得，故；
所以，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值为.
16．（1）
如图，在中，取中点，连接，
因为，所以，
又，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
且，
因为是上靠近的三等分点，所以，所以，
由，平面，平面知平面，
由，平面，平面知平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）
在中，作，垂足为，
在中，由是中点，，
可得，
将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，
则，
所以是二面角的平面角，，所以，
因为平面，所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
如图，以为原点，过平行于的直线为轴，分别为轴和轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
因为，，所以，，
取得．
同样可求得平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角为，
则，故．
17．（1）由椭圆的定义可得，可得，
因为，所以，故，
因此椭圆的标准方程为.
（2）设点、，且，
联立可得， ，
由韦达定理可得，，
所以
，解得，
所以，则到直线的距离，
所以.
18．（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，
若，则3轮都失败，则；
若，则3轮中只有1轮成功，；
若，则3轮中只有2轮成功，；
若，则3轮都成功，；
所以.
（2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件，
则，，，
由全概率公式可得，
即，则，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
②设第轮得分期望为，则，
所以前轮期望总得分为.
19．（1）.
①若，则恒成立，在上单调递增.
②若，令，得.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，.
令，则，.
由于 在单调递增，故在上单调递增.
又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
故，即.
所以得证.
（3）当时，，在上单调递增，且.
因为，所以，所以.
只需证，即证.
由（2）知，，
所以.
又因为，所以，
由于,所以，即.
因此，从而得证.
答案第1页，共2页
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