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广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．11
4．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于
C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于
7．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．或 D．
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．分解因式：　 　．
12．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是　 　边形．
13．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 　．
14．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为　 　．
15．如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．先化简，再求值：，其中
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
19．如图，等腰三角形中，．
（1）在线段上求作点D，使得点D到和的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求的度数．
20．如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形．
21．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式
原式
例如：求代数式的最小值．
原式，当时，有最小值，最小值是
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：______求代数式的最小值为______；
（2）若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______；
（3）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长．
22．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
23．如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系．
（3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：四个选项，只有D选项可看作由“基本图案”经过平移得到，其余三个选项均不可。
故答案为：D．
【分析】图形平移前后的大小，形状都不变化。本题据此逐项判断发现，只有D选项可以看做是圆环平移得到的图形，从而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，此项错误，故不符合题意；
B、 ∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，此项正确，故符合题意；
D、∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①当3为底、6为腰时，
∵，
∴3、6、6可以构成三角形，
此时三角形的周长为3+6+6=15；
②当3为腰、底为6时，
∵，
∴不能构成三角形。
综上，这个等腰三角形的周长为15．
故答案为：B．
【分析】本题先结合条件分两种情况讨论，即当3为底和6为底，然后再结合三角形的三边关系先判断是否能构成三角形，最后计算周长即可。
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A、C、D的等号右侧均为多项式，不符合因式分解的定义，不符合题意；
选项B的等号右侧为最简整式的乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查对因式分解概念的掌握，要明确因式分解是把一个多项式化为几个最简整式乘积的形式，因此只有选项B符合．
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，说明“存在一个锐角≤”；反证法需否定结论，即假设结论的反面成立，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即“每一个锐角都……”，“不大于（≤）”的否定是“大于（＞）”，因此结论的反面是“每一个锐角都大于45°”；
故答案为：D．
【分析】本题考查了反证法，反证法的核心思路是：假设结论不成立→经过正确推理→导出与已知事实的矛盾→推翻假设，此题只需考虑如何进行假设，所以要明确题干中所给命题的结论是“至少有一个锐角不大于45°”；同时假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．【答案】C
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：，解得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
故答案为C．
【分析】 本题考查根据不等式组的解集情况求参数取值范围，先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的公共解集确定参数满足的条件，因为不等式组的解集为x＜3，两个“小于”型的不等式，其解集取两个中较小的那个，所以m+2≥3，即可得出结果.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边上的垂直平分线，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据中垂线的性质得出，进而得出．
9．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由，
得，
两边同乘得：
，
∴，
∴，
解得．
情况一：整式方程无解
当时，方程变为，显然无解，此时；
情况二：解为增根
若解 是增根（即），代入得：
，
解得·，
当 时，分母为零，原方程无解，此时．
综上，当 或 时，原分式方程方程无解．
故答案为：C．
【分析】本题主要考察分式方程无解的问题，解题时，应先将方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程求解；需明确分式方程无解的情况有两种：1、去分母后得到的整式方程本身无解；2、整式方程有解，但解是增根（使原分式方程分母为零）. 因此，需分别针对以上两种情况求出对应的m值，综合得出结论.
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：从函数图象可知，不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】本题数形结合，根据不等式kx+b＜x的解集得出，一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，从而得出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（9-m2）=；
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．【答案】五
【知识点】多边形内角与外角；邻补角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：360°÷（180°-108°）=5（边），
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【分析】本题依据多边形外角和定理，先计算出多边形的每一个外角是（180°-108°），再根据多边形外角和为360°，列示计算即可求出答案．
13．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
14．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以， ，
因为，DE是中位线，
所以，.
故答案为：2
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图：过点G作，垂足为H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
由平移得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴的面积，
故答案为：
【分析】本题结合等边三角形的性质与平移来求阴影部分的面积，由平移可知 与 形状大小完全相同，对应线段平行且相等，已知 AB=2，且 EC=2BE，由此可确定平移的距离与EC的长；观察图形可知，阴影部分为 ，且可通过角度关系推出该三角形是等边三角形，过点G作，垂足为H，再利用勾股定理和三角形的面积公式求解即可．
16．【答案】解：解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
不等式组的解集为
．
不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 本题主要考查一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集的能力.解题时，应分别对每个不等式进行求解，求出两个不等式的解集后，再取它们的公共部分（即同时满足两个条件的x的取值范围），作为原不等式组的解集；最后，根据解集在数轴上的表示规则（实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点），将解集在给定的数轴上准确画出.
17．【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题意在考查分式运算中的化简技巧与代入求值能力，重点在于对混合运算法则的把握和因式分解的灵活运用.首先观察括号里的表达式，将“a+1”化为分母为“a-1”的分式，将括号内两个分式合并；再将除法转化为乘法，同时将“a2-4a+4”进行因式分解；最后化简得到结果，再把a的值代入.
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作.
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求作.
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分.因此，我们连接点A（1，1）与原点O（0，0），在AO的延长线上截取OA1=OA2，得到对应点A1（-1，-1），同样的方法可以得到对应点B1，C1，连接点A1，B1，C1.
（2）明确图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.我们可以连接点A与原点，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，得到线段OA2，则点A2的坐标为（1，-1），同样方法得到对应点B2，C2.连接点A2，B2，C2.
19．【答案】（1）解：如图，点即为所求，
证明：过点作于点，与点，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据点D到AB、BC的距离相等可知，需要作∠ABC的角平分线，因此要熟悉角平分线的做法.以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB、BC相交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点连线长度的一半为半径画弧，交于一点，连接此点与点B，交AC于点D；根据全等三角形的判定与性质，证明DF=DE，即点D到两边的距离相等；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”，可以得到∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，再由角平分线的性质可以得到∠ABC=2∠A，所以在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，设∠A=x，则有x+2x+2x=180°，解出x即为答案.
（1）解：点即为所求，
证明：过点作于点，与点，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
20．【答案】（1）解：设，
在中，，，
∴
∴，即，
解得，（舍去）
∴，，
∵是等边三角形，
∴。
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点F是线段AD的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形。
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）结合“含30°直角三角形的性质”，得出，然后根据勾股定理求出x的值之后即可求出，最后依据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出，，依据线段中点的定义得出；结合“含30°直角三角形的性质”得出，从而综合得出，然后角度求和并结合“同旁内角互补、两直线平行”得出，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论．
（1）解：设
在中，，，
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∵是等边三角形
∴
（2）∵是等边三角形
∴，
∵点F是线段AD的中点
∴
在中，，
∴
∴
∵
∴，即
∴四边形是平行四边形
21．【答案】（1）；
（2）1；大；
（3）解：，即，
即，
所以，，，
所以，，，
∴，
答：的周长是．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
（1）
解：
；
，
，
当时，有最小值，最小值是，
故答案为：；；
（2）
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是，
故答案为：1；大；．
【分析】
（1）先利用配方法把原多项多转化为平方差公式并分解因式即可，同理利用配方法化原多项式为一个完全平方式与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求其最小值即可．
（2）利用添括号和配方法化原多项式一个完全平方式的相反数与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求其最大值即可；
（3）先拆常数项为两个9与25的和，再分别与前面的多项式相加可得到三个完全平方式，由于完全平方式是非负数且它们的和为0，则每一个完全平方式都等于0，即可分别求出a、b、c的值，再代入求出三角形的周长即可．
（1）解：
；
，
，
当时，有最小值，最小值是，
故答案为：；；
（2）
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是，
故答案为：1；大；．
（3），
即，
即，
所以，，，
所以，，，
∴，
答：的周长是．
22．【答案】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为（）万元，
由题意可列：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴种机器人的价格为（万元），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元.
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为（）个，
∴由题意可列：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润越大，
把代入可得：，
∴最大利润为万元，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，根据“ 每个B种机器人比B种机器人贵5万元 ”可设“A种机器人的价格为万元，则B种机器人的价格为（）万元”；由“ 用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”可列分式方程，正确解出方程.需要注意的是，解分式方程需要检验.
（2）在第一问的基础上，先计算出A、B两种机器人的售价：A种提价15%，B种售价为购价的倍；
接着，设第二批购进A种机器人的数量为m个，则B种为（100-m）个，根据“总资金不超过6200万元”和“A种数量不超过B种数量的3倍”这两个条件，列出关于m的不等式组，解出m的整数取值范围；再写出总利润关于m的表达式，可以判断为一次函数，且系数为负，根据一次函数的性质，从而确定利润最大时m的值，并求出对应的最大利润及购进方案.
（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴种机器人的价格为（万），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为个，
∴由题意可得：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润最大，
把代入可得：，
∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，结合已知条件可得BE∥CD且BE=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”即可判定；
（2）根据平行四边形性质可证进而得到，根据平行四边形的性质和翻折性质可得，再由“等边对等角”可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）根据平行四边形的性质“对边相等”及已知条件AB=BE可证“”；进而推出角关系，根据“等角对等边”判定△ABD是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”及勾股定理计算S△ABD；根据FD=2FA，可得，计算；再由平行四边形与翻折的性质可证，即，可以说明.
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：四个选项，只有D选项可看作由“基本图案”经过平移得到，其余三个选项均不可。
故答案为：D．
【分析】图形平移前后的大小，形状都不变化。本题据此逐项判断发现，只有D选项可以看做是圆环平移得到的图形，从而得出答案。
2．若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，此项错误，故不符合题意；
B、 ∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，此项正确，故符合题意；
D、∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①当3为底、6为腰时，
∵，
∴3、6、6可以构成三角形，
此时三角形的周长为3+6+6=15；
②当3为腰、底为6时，
∵，
∴不能构成三角形。
综上，这个等腰三角形的周长为15．
故答案为：B．
【分析】本题先结合条件分两种情况讨论，即当3为底和6为底，然后再结合三角形的三边关系先判断是否能构成三角形，最后计算周长即可。
4．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A、C、D的等号右侧均为多项式，不符合因式分解的定义，不符合题意；
选项B的等号右侧为最简整式的乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查对因式分解概念的掌握，要明确因式分解是把一个多项式化为几个最简整式乘积的形式，因此只有选项B符合．
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于
C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，说明“存在一个锐角≤”；反证法需否定结论，即假设结论的反面成立，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即“每一个锐角都……”，“不大于（≤）”的否定是“大于（＞）”，因此结论的反面是“每一个锐角都大于45°”；
故答案为：D．
【分析】本题考查了反证法，反证法的核心思路是：假设结论不成立→经过正确推理→导出与已知事实的矛盾→推翻假设，此题只需考虑如何进行假设，所以要明确题干中所给命题的结论是“至少有一个锐角不大于45°”；同时假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：，解得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
故答案为C．
【分析】 本题考查根据不等式组的解集情况求参数取值范围，先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的公共解集确定参数满足的条件，因为不等式组的解集为x＜3，两个“小于”型的不等式，其解集取两个中较小的那个，所以m+2≥3，即可得出结果.
8．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边上的垂直平分线，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据中垂线的性质得出，进而得出．
9．关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．或 D．
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由，
得，
两边同乘得：
，
∴，
∴，
解得．
情况一：整式方程无解
当时，方程变为，显然无解，此时；
情况二：解为增根
若解 是增根（即），代入得：
，
解得·，
当 时，分母为零，原方程无解，此时．
综上，当 或 时，原分式方程方程无解．
故答案为：C．
【分析】本题主要考察分式方程无解的问题，解题时，应先将方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程求解；需明确分式方程无解的情况有两种：1、去分母后得到的整式方程本身无解；2、整式方程有解，但解是增根（使原分式方程分母为零）. 因此，需分别针对以上两种情况求出对应的m值，综合得出结论.
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：从函数图象可知，不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】本题数形结合，根据不等式kx+b＜x的解集得出，一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，从而得出答案。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（9-m2）=；
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是　 　边形．
【答案】五
【知识点】多边形内角与外角；邻补角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：360°÷（180°-108°）=5（边），
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【分析】本题依据多边形外角和定理，先计算出多边形的每一个外角是（180°-108°），再根据多边形外角和为360°，列示计算即可求出答案．
13．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
14．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为　 　．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以， ，
因为，DE是中位线，
所以，.
故答案为：2
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可.
15．如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图：过点G作，垂足为H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
由平移得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴的面积，
故答案为：
【分析】本题结合等边三角形的性质与平移来求阴影部分的面积，由平移可知 与 形状大小完全相同，对应线段平行且相等，已知 AB=2，且 EC=2BE，由此可确定平移的距离与EC的长；观察图形可知，阴影部分为 ，且可通过角度关系推出该三角形是等边三角形，过点G作，垂足为H，再利用勾股定理和三角形的面积公式求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
不等式组的解集为
．
不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 本题主要考查一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集的能力.解题时，应分别对每个不等式进行求解，求出两个不等式的解集后，再取它们的公共部分（即同时满足两个条件的x的取值范围），作为原不等式组的解集；最后，根据解集在数轴上的表示规则（实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点），将解集在给定的数轴上准确画出.
17．先化简，再求值：，其中
【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题意在考查分式运算中的化简技巧与代入求值能力，重点在于对混合运算法则的把握和因式分解的灵活运用.首先观察括号里的表达式，将“a+1”化为分母为“a-1”的分式，将括号内两个分式合并；再将除法转化为乘法，同时将“a2-4a+4”进行因式分解；最后化简得到结果，再把a的值代入.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作.
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求作.
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分.因此，我们连接点A（1，1）与原点O（0，0），在AO的延长线上截取OA1=OA2，得到对应点A1（-1，-1），同样的方法可以得到对应点B1，C1，连接点A1，B1，C1.
（2）明确图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.我们可以连接点A与原点，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，得到线段OA2，则点A2的坐标为（1，-1），同样方法得到对应点B2，C2.连接点A2，B2，C2.
19．如图，等腰三角形中，．
（1）在线段上求作点D，使得点D到和的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，点即为所求，
证明：过点作于点，与点，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据点D到AB、BC的距离相等可知，需要作∠ABC的角平分线，因此要熟悉角平分线的做法.以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB、BC相交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点连线长度的一半为半径画弧，交于一点，连接此点与点B，交AC于点D；根据全等三角形的判定与性质，证明DF=DE，即点D到两边的距离相等；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”，可以得到∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，再由角平分线的性质可以得到∠ABC=2∠A，所以在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，设∠A=x，则有x+2x+2x=180°，解出x即为答案.
（1）解：点即为所求，
证明：过点作于点，与点，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
20．如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：设，
在中，，，
∴
∴，即，
解得，（舍去）
∴，，
∵是等边三角形，
∴。
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵点F是线段AD的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形。
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）结合“含30°直角三角形的性质”，得出，然后根据勾股定理求出x的值之后即可求出，最后依据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出，，依据线段中点的定义得出；结合“含30°直角三角形的性质”得出，从而综合得出，然后角度求和并结合“同旁内角互补、两直线平行”得出，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论．
（1）解：设
在中，，，
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∵是等边三角形
∴
（2）∵是等边三角形
∴，
∵点F是线段AD的中点
∴
在中，，
∴
∴
∵
∴，即
∴四边形是平行四边形
21．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式
原式
例如：求代数式的最小值．
原式，当时，有最小值，最小值是
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：______求代数式的最小值为______；
（2）若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______；
（3）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长．
【答案】（1）；
（2）1；大；
（3）解：，即，
即，
所以，，，
所以，，，
∴，
答：的周长是．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
（1）
解：
；
，
，
当时，有最小值，最小值是，
故答案为：；；
（2）
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是，
故答案为：1；大；．
【分析】
（1）先利用配方法把原多项多转化为平方差公式并分解因式即可，同理利用配方法化原多项式为一个完全平方式与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求其最小值即可．
（2）利用添括号和配方法化原多项式一个完全平方式的相反数与一个常数和的形式，再利用偶次方的非负性求其最大值即可；
（3）先拆常数项为两个9与25的和，再分别与前面的多项式相加可得到三个完全平方式，由于完全平方式是非负数且它们的和为0，则每一个完全平方式都等于0，即可分别求出a、b、c的值，再代入求出三角形的周长即可．
（1）解：
；
，
，
当时，有最小值，最小值是，
故答案为：；；
（2）
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值是，
故答案为：1；大；．
（3），
即，
即，
所以，，，
所以，，，
∴，
答：的周长是．
22．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
【答案】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为（）万元，
由题意可列：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴种机器人的价格为（万元），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元.
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为（）个，
∴由题意可列：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润越大，
把代入可得：，
∴最大利润为万元，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，根据“ 每个B种机器人比B种机器人贵5万元 ”可设“A种机器人的价格为万元，则B种机器人的价格为（）万元”；由“ 用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”可列分式方程，正确解出方程.需要注意的是，解分式方程需要检验.
（2）在第一问的基础上，先计算出A、B两种机器人的售价：A种提价15%，B种售价为购价的倍；
接着，设第二批购进A种机器人的数量为m个，则B种为（100-m）个，根据“总资金不超过6200万元”和“A种数量不超过B种数量的3倍”这两个条件，列出关于m的不等式组，解出m的整数取值范围；再写出总利润关于m的表达式，可以判断为一次函数，且系数为负，根据一次函数的性质，从而确定利润最大时m的值，并求出对应的最大利润及购进方案.
（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴种机器人的价格为（万），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
（2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为个，
∴由题意可得：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润最大，
把代入可得：，
∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
23．如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系．
（3）如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，结合已知条件可得BE∥CD且BE=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”即可判定；
（2）根据平行四边形性质可证进而得到，根据平行四边形的性质和翻折性质可得，再由“等边对等角”可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）根据平行四边形的性质“对边相等”及已知条件AB=BE可证“”；进而推出角关系，根据“等角对等边”判定△ABD是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”及勾股定理计算S△ABD；根据FD=2FA，可得，计算；再由平行四边形与翻折的性质可证，即，可以说明.
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折性质可得：，
∴，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
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