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江苏省镇江市2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（　　）
A．小明得了95分
B．小明答对了95%的试题
C．95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数
D．小明排名在第95名
2．（　　）
A． B．
C． D．
3．若函数，则导函数（　　）
A． B． C． D．
4．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　）
A． B． C．2 D．
5．在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．28
6．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C． D．
8．过原点的直线与曲线都相切，则实数（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（　　）
A．回归直线至少经过点、、、、中的一个点
B．若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位
C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
D．对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10．已知函数，其导函数为，则（　　）
A．有两个极值点
B．有三个互不相同的零点
C．方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D．
11．现有本不同的书，下列说法正确的有（　　）
A．如果平均分成堆，则共有种分法
B．如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法
C．如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法
D．如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个　 　．
13．的展开式中，含的项的系数为　 　.（用数字作答）
14．如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为　 　h.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最值．
16．某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和种不同的素菜．
（1）当时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
（2）若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求的最小值．
17．某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为．
（1）求的值和样本容量；
（2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？
附：．
18．设.
（1）求；
（2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
（3）若，求.
19．已知函数．
（1）当时，求的极值．
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值.
故答案为：C．
【分析】根据样本估计总体的百分位数的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据排列数的运算公式直接求解即可．
3．【答案】C
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：因为，则.
故答案为：C.
【分析】先切化弦，再根据导数除法法则求解.
4．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则样本的方差，标准差为.
故答案诶：D.
【分析】根据样本数据的平均数为1，求得，最根据方差的运算公式求方差，再求标准差即可.
5．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，共有种选法，
选取的3名学生都是男学生，有种选法，则至少要有一位女学生的选法有种.
故答案为：A.
【分析】利用组合知识求解即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在区间上为增函数，
所以，不等式对任意的恒成立，即，
当时，，所以，，
即实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得在上恒成立，即.
7．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
的展开式通项为，
则的展开式通项为，
由，可得，
故展开式中的系数为.
故答案为：D.
【分析】写出二项展开式的通项，利用通项求解即可.
8．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.
故答案为：D.
【分析】根据公切线的求解方式求解即可．
9．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A选项，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心点，A错；
对于B选项，若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位，B对；
对于C选项，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于或，C错；
对于D选项，对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，
若样本点的中心为，则，解得，D对.
故答案为：BD.
【分析】根据回归方程及相关系数的概念逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
由，可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则函数的递增区间为、，单调递减区间为，函数有两个极值点，故A正确；
B、由，解得或，所以只有两个不同的零点，故B错误；
C、由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，故C正确；
D、由A选项可知，，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可判断A；令求解即可判断B；由A选项，作出函数的图象，数形结合求解即可判断C；由A选项可知，，直接验证，即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、将本不同的书平均分成堆，则不同的分法种数为种，故A正确；
B、将本不同的书分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，
则不同的分法种数为种，故B正确；
C、将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，则每本书有种不同的选择，
所以，不同的分法种数为种，故C错误；
D、将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，共有种，
在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同，
且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等，
若甲乙分得书的数量相等，则甲乙丙三人分得书的数量可以为、、、，
所以，甲乙分得书的数量相等的分法种数为，
因此，甲分得的书比乙多的分法种数为种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均分组原理求解即可判断A；利用组合计数原理求解即可判断B；利用分步乘法计数原理即可判断C；利用间接法求解即可判断D.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：由题意设，
则，
令，解得，
可以取任意实数，不妨取，
则从1到的平均变化率为.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】设，利用平均变化率的定义计算即可.
13．【答案】180
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
当时，含的项的系数为；
当时，含x的项的系数为，
的展开式中含的项的系数为.
故答案为：180.
【分析】根据二项式定理求特定项的系数即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，其中，
由题意，，，，
则，，
设从到所需时间为，，其中，
则，
由可得，
当时，；当时，，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则.
故答案为：.
【分析】设，则，用表示、的长，设从到所需时间为，由题意可得，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值即可得从到所需的最少时间 .
15．【答案】（1）解：函数，，，，
则线在点处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的最大值为，函数无最小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）令，求得x的值，利用导数分析函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.
（1）因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
故的最大值为，函数无最小值.
16．【答案】（1）解：当时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，
若每份学生餐有1荤3素，不同的选择方法有种；
（2）解：从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任选2荤2素，不同的选择方法有种，
由题意可得，即，即，
因为，所以，的最小值为5.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1） 当时， 利用组合数，结合分步乘法计数原理求解即可；
（2）利用组合数结合分步乘法计数原理，结合题意列关于的不等式，求正整数的最小值即可.
（1）当时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，
若每份学生餐有1荤3素，不同的选择方法有种.
（2）从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任选2荤2素，不同的选择方法有种，
根据题意，令，即，即，
因为，所以解得.所以的最小值为5.
17．【答案】（1）解：在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，则，解得，
因为第一小组的频数为，所以样本容量为；
（2）解：由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为
分；
（3）解：零假设获奖与性别无关，
由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人，
成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人，
可得出如下列联表：
获奖 不获奖 合计
男生
女生
合计
，
所以没有的把握认为获奖与性别有关.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为列式求的值，再利用样本容量、频数与频率之间的关系求样本容量即可；
（2）根据频率分布直方图求参赛学生的平均成绩即可；
（3）列出列联表，进行零假设，计算的观测值，与临界值比较判断即可.
（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，
则，解得，
因为第一小组的频数为，则样本容量为.
（2）由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为
分.
（3）提出零假设获奖与性别无关，
由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人，
成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人，
可得出如下列联表：
　 获奖 不获奖 合计
男生
女生
合计
所以，，
所以，没有的把握认为获奖与性别有关.
18．【答案】（1）解：由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）解：由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）解：由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减得结果。
(2) 写出二项式系数通项 ，根据 是唯一最大值列不等式组，求解 的取值。
(3) 换元后将 改写为 ，展开后得到 ，再利用组合数性质求和。
（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
则，
令，可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
函数的极大值为，无极小值；
（2）解：的定义域为，
，
当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）证明：当时，，其中，则，
，
记，
则
，当且仅当时等号成立，
故，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式；二项展开式
【解析】【分析】（1）当时，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值和极小值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，求函数的单调递增区间和单调递减区间即可；
（3）当时，计算得出，然后利用二项式定理，结合基本不等式证明不等式成立.
（1）当时，，其中，
则，
令可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值.
（2）的定义域为，
，
当时，对任意的，，此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）当时，，其中，则，
，
记，
则
，当且仅当时，等号成立，
故，故.
1 / 1江苏省镇江市2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（　　）
A．小明得了95分
B．小明答对了95%的试题
C．95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数
D．小明排名在第95名
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值.
故答案为：C．
【分析】根据样本估计总体的百分位数的定义判断即可.
2．（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据排列数的运算公式直接求解即可．
3．若函数，则导函数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：因为，则.
故答案为：C.
【分析】先切化弦，再根据导数除法法则求解.
4．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则样本的方差，标准差为.
故答案诶：D.
【分析】根据样本数据的平均数为1，求得，最根据方差的运算公式求方差，再求标准差即可.
5．在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，共有种选法，
选取的3名学生都是男学生，有种选法，则至少要有一位女学生的选法有种.
故答案为：A.
【分析】利用组合知识求解即可.
6．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数在区间上为增函数，
所以，不等式对任意的恒成立，即，
当时，，所以，，
即实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得在上恒成立，即.
7．在的展开式中，的系数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
的展开式通项为，
则的展开式通项为，
由，可得，
故展开式中的系数为.
故答案为：D.
【分析】写出二项展开式的通项，利用通项求解即可.
8．过原点的直线与曲线都相切，则实数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.
故答案为：D.
【分析】根据公切线的求解方式求解即可．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（　　）
A．回归直线至少经过点、、、、中的一个点
B．若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位
C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
D．对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A选项，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心点，A错；
对于B选项，若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位，B对；
对于C选项，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于或，C错；
对于D选项，对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，
若样本点的中心为，则，解得，D对.
故答案为：BD.
【分析】根据回归方程及相关系数的概念逐项判断即可.
10．已知函数，其导函数为，则（　　）
A．有两个极值点
B．有三个互不相同的零点
C．方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
由，可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则函数的递增区间为、，单调递减区间为，函数有两个极值点，故A正确；
B、由，解得或，所以只有两个不同的零点，故B错误；
C、由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，故C正确；
D、由A选项可知，，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可判断A；令求解即可判断B；由A选项，作出函数的图象，数形结合求解即可判断C；由A选项可知，，直接验证，即可判断D.
11．现有本不同的书，下列说法正确的有（　　）
A．如果平均分成堆，则共有种分法
B．如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法
C．如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法
D．如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法
【答案】A,B,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、将本不同的书平均分成堆，则不同的分法种数为种，故A正确；
B、将本不同的书分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，
则不同的分法种数为种，故B正确；
C、将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，则每本书有种不同的选择，
所以，不同的分法种数为种，故C错误；
D、将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，共有种，
在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同，
且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等，
若甲乙分得书的数量相等，则甲乙丙三人分得书的数量可以为、、、，
所以，甲乙分得书的数量相等的分法种数为，
因此，甲分得的书比乙多的分法种数为种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均分组原理求解即可判断A；利用组合计数原理求解即可判断B；利用分步乘法计数原理即可判断C；利用间接法求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：由题意设，
则，
令，解得，
可以取任意实数，不妨取，
则从1到的平均变化率为.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】设，利用平均变化率的定义计算即可.
13．的展开式中，含的项的系数为　 　.（用数字作答）
【答案】180
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
当时，含的项的系数为；
当时，含x的项的系数为，
的展开式中含的项的系数为.
故答案为：180.
【分析】根据二项式定理求特定项的系数即可.
14．如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为　 　h.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，其中，
由题意，，，，
则，，
设从到所需时间为，，其中，
则，
由可得，
当时，；当时，，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则.
故答案为：.
【分析】设，则，用表示、的长，设从到所需时间为，由题意可得，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值即可得从到所需的最少时间 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最值．
【答案】（1）解：函数，，，，
则线在点处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的最大值为，函数无最小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）令，求得x的值，利用导数分析函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.
（1）因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
故的最大值为，函数无最小值.
16．某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和种不同的素菜．
（1）当时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
（2）若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，
若每份学生餐有1荤3素，不同的选择方法有种；
（2）解：从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任选2荤2素，不同的选择方法有种，
由题意可得，即，即，
因为，所以，的最小值为5.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1） 当时， 利用组合数，结合分步乘法计数原理求解即可；
（2）利用组合数结合分步乘法计数原理，结合题意列关于的不等式，求正整数的最小值即可.
（1）当时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，
若每份学生餐有1荤3素，不同的选择方法有种.
（2）从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任选2荤2素，不同的选择方法有种，
根据题意，令，即，即，
因为，所以解得.所以的最小值为5.
17．某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为．
（1）求的值和样本容量；
（2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？
附：．
【答案】（1）解：在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，则，解得，
因为第一小组的频数为，所以样本容量为；
（2）解：由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为
分；
（3）解：零假设获奖与性别无关，
由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人，
成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人，
可得出如下列联表：
获奖 不获奖 合计
男生
女生
合计
，
所以没有的把握认为获奖与性别有关.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为列式求的值，再利用样本容量、频数与频率之间的关系求样本容量即可；
（2）根据频率分布直方图求参赛学生的平均成绩即可；
（3）列出列联表，进行零假设，计算的观测值，与临界值比较判断即可.
（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，
则，解得，
因为第一小组的频数为，则样本容量为.
（2）由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为
分.
（3）提出零假设获奖与性别无关，
由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人，
成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人，
可得出如下列联表：
　 获奖 不获奖 合计
男生
女生
合计
所以，，
所以，没有的把握认为获奖与性别有关.
18．设.
（1）求；
（2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
（3）若，求.
【答案】（1）解：由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）解：由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）解：由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减得结果。
(2) 写出二项式系数通项 ，根据 是唯一最大值列不等式组，求解 的取值。
(3) 换元后将 改写为 ，展开后得到 ，再利用组合数性质求和。
（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
19．已知函数．
（1）当时，求的极值．
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证：．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
则，
令，可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
函数的极大值为，无极小值；
（2）解：的定义域为，
，
当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）证明：当时，，其中，则，
，
记，
则
，当且仅当时等号成立，
故，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式；二项展开式
【解析】【分析】（1）当时，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值和极小值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，求函数的单调递增区间和单调递减区间即可；
（3）当时，计算得出，然后利用二项式定理，结合基本不等式证明不等式成立.
（1）当时，，其中，
则，
令可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值.
（2）的定义域为，
，
当时，对任意的，，此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）当时，，其中，则，
，
记，
则
，当且仅当时，等号成立，
故，故.
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