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江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题可知，利用复数的除法运算求出，进而得到.
2．已知向量，，若，且满足，则（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，得到，
由.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.
3．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，即，
所以，又，则，
又，则，
所以.
故答案为：C
【分析】由向量在向量上的投影向量为，得到，再结合模长公式求解.
4．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，由有两解，得，
即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先利用正弦定理可得，再利用三角形有两解的条件列式即可求解.
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故答案为：C
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出角B，再通过已知三角等式求出角A，最终确定三角形的形状。
6．记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，
则的面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，直接利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即可.
7．已知，则（　　）
A．5 B． C．-5 D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，可变形为.
因为，，
所以.
左边，
即.
右边，
即.
所以.
可得：
.
即.
所以，也就是.
故答案为：D.
【分析】由，，结合和差公式化简可得，再整理变形即可求解．
8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且，则的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
，即的最大值是.
故答案为：D
【分析】根据题意可得，再由得到，结合基本不等式求最值即可.
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9．已知复数，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，设，显然，但，故A错误；
对于B，设，，则，
所以，
，
所以，故B正确；
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，
为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，根据复数的乘法运算，举例判断即可；对于B，设，，再由复数的运算法则即可判断；对于C，根据复数的概念即可判断；对于D，利用复数加法的几何意义即可判断.
10．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．两个非零向量和，若，则与垂直
C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B，两个非零向量和，若，
则，整理可得，故与垂直，故B对；
对于C，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，
解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D，因为向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故答案为：BC.
【分析】取结合向量共线定理，则可判断选项A；利用平面向量数量积的运算性质，则可判断选项B；将两向量垂直转化为两向量的数量积为零，再结合单位向量的定义得出向量的坐标，则判断选项C；利用数量积求投影向量的公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，在中，由可得；
由余弦定理可得，即；
整理可得，解得或（舍），即A正确；
对于B，由圆内接四边形的性质可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍）；
易知，所以，即B正确；
对于C，在中，易知，
所以，即C错误；
对于D，易知，所以；
由C可知；
；
所以，即D正确.
故答案为：ABD
【分析】对于A，在中利用余弦定理求出即可判断；对于B，求出，结合三角形面积公式进行计算；对于C，利用余弦定理求出，进而得到即可判断；对于D，利用三角恒等变换以及二倍角公式计算即可.
三、填空题（每小题5分 满分15分）
12．设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第　 　象限
【答案】一
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，则，即，
所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限.
故答案为：一.
【分析】本题考查虚数单位的周期性、复数的除法运算、共轭复数及复平面内点的位置判断，核心是先利用i的幂次周期性化简i2025，再化简求出z，最后根据z的坐标确定其在复平面的象限。
13．若，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
，
化简得到：，
则，即.
故答案为：.
【分析】将表示为，将表示为，再利用两角和、差的正弦公式转化化简求值即可.
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为　 　；设，则　 　．
【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理；向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由，设，则，，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题可知：，，，
则，小三角形面积，
因为，所以，即，
，则，
因为，，
又，
所以，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，解得，则.
故答案为：；.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，假设，根据，利用余弦定理求长度，再求大小正三角形的面积，即可求得的值；利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系计算，可得点坐标，最后根据点坐标，结合向量的线性运算求解即可.
四、解答题（共5小题 满分77分）
15．已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
【答案】（1）解：复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
（2）解：由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）先根据复数的除法运算求得，再根据纯虚数的等价条件求解；
（2）根据复数的几何意义得到，结合模长公式解方程即可．
（1）复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
（2）由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
16．已知与满足，，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）解：由，可得，即，
则；
（2）解：因为，所以，
，，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由，利用向量数量积的运算求得，再根据向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
（1）由已知得，所以，
则.
（2）因为，所以，
又因为，，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
17．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【答案】（1）解：由，
得.
解法一：由正弦定理得，
在中，，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以.
解法二：由余弦定理得，，
化简得，
由余弦定理得，，
又因为，
所以.
（2）解：由是的平分线，
得.
解法一：，
又因为，
所以
.
解法二：由，得
则，
解得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法一：由已知条件和正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合三角形中角B的取值范围，从而化简得出角B的值.
解法二：由已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而化简得出角B的值.
（2）利用两种方法求解.
解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，再利用三角形的面积公式得出的面积.
解法二：由结合三角形的面积公式得到的长，再利用三角形的面积公式得出的面积.
（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
18．某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
【答案】（1）解：由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
（2）解：如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，
又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据题意用表示出活动区域面积，再结合三角恒等变形求最值即可；
（2）设，用表示出活动区域面积，再利用三角函数恒等变换求出最值．
（1）由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
（2）如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，
又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
19．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）当时称为调和点列，若，求值；
（3）已知，且，点为线段的中点，，，求
【答案】（1）解：由题意可得，，则，即 ；
（2）解：由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由，可得，
则，即，即；
（3）解：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以，
设，，由，得，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
【知识点】平面向量数乘的运算；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由点分别是线段的中点，可得，，再根据射影几何学新定义求解即可；
（2）根据几何学新定义，结合调和点列求解即可；
（3）由射影几何学新定义可得，再由点B为线段的中点，可得，设，，根据，求得，再在，中，利用正余弦定理求解即可.
（1）由条件可得，，则，所以．
（2）由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，
则，即，即．
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，①
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
方法二：因为，所以，
设，则，
又B为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，
得，
所以，
设，则，
由，互补得，
即，
解得，所以，，
所以
1 / 1江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，且满足，则（　　）
A． B． C．2 D．4
3．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
6．记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A．5 B． C．-5 D．
8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且，则的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9．已知复数，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
10．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．两个非零向量和，若，则与垂直
C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
11．如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分 满分15分）
12．设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第　 　象限
13．若，则　 　.
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为　 　；设，则　 　．
四、解答题（共5小题 满分77分）
15．已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16．已知与满足，，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
17．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18．某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
19．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）当时称为调和点列，若，求值；
（3）已知，且，点为线段的中点，，，求
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题可知，利用复数的除法运算求出，进而得到.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，得到，
由.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，即，
所以，又，则，
又，则，
所以.
故答案为：C
【分析】由向量在向量上的投影向量为，得到，再结合模长公式求解.
4．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，由有两解，得，
即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先利用正弦定理可得，再利用三角形有两解的条件列式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故答案为：C
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出角B，再通过已知三角等式求出角A，最终确定三角形的形状。
6．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，
则的面积为.
故答案为：A.
【分析】在中，直接利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，可变形为.
因为，，
所以.
左边，
即.
右边，
即.
所以.
可得：
.
即.
所以，也就是.
故答案为：D.
【分析】由，，结合和差公式化简可得，再整理变形即可求解．
8．【答案】D
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
，即的最大值是.
故答案为：D
【分析】根据题意可得，再由得到，结合基本不等式求最值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，设，显然，但，故A错误；
对于B，设，，则，
所以，
，
所以，故B正确；
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，
为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，根据复数的乘法运算，举例判断即可；对于B，设，，再由复数的运算法则即可判断；对于C，根据复数的概念即可判断；对于D，利用复数加法的几何意义即可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B，两个非零向量和，若，
则，整理可得，故与垂直，故B对；
对于C，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，
解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D，因为向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故答案为：BC.
【分析】取结合向量共线定理，则可判断选项A；利用平面向量数量积的运算性质，则可判断选项B；将两向量垂直转化为两向量的数量积为零，再结合单位向量的定义得出向量的坐标，则判断选项C；利用数量积求投影向量的公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，在中，由可得；
由余弦定理可得，即；
整理可得，解得或（舍），即A正确；
对于B，由圆内接四边形的性质可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍）；
易知，所以，即B正确；
对于C，在中，易知，
所以，即C错误；
对于D，易知，所以；
由C可知；
；
所以，即D正确.
故答案为：ABD
【分析】对于A，在中利用余弦定理求出即可判断；对于B，求出，结合三角形面积公式进行计算；对于C，利用余弦定理求出，进而得到即可判断；对于D，利用三角恒等变换以及二倍角公式计算即可.
12．【答案】一
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，则，即，
所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限.
故答案为：一.
【分析】本题考查虚数单位的周期性、复数的除法运算、共轭复数及复平面内点的位置判断，核心是先利用i的幂次周期性化简i2025，再化简求出z，最后根据z的坐标确定其在复平面的象限。
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
，
化简得到：，
则，即.
故答案为：.
【分析】将表示为，将表示为，再利用两角和、差的正弦公式转化化简求值即可.
14．【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理；向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由，设，则，，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题可知：，，，
则，小三角形面积，
因为，所以，即，
，则，
因为，，
又，
所以，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，解得，则.
故答案为：；.
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，假设，根据，利用余弦定理求长度，再求大小正三角形的面积，即可求得的值；利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系计算，可得点坐标，最后根据点坐标，结合向量的线性运算求解即可.
15．【答案】（1）解：复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
（2）解：由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）先根据复数的除法运算求得，再根据纯虚数的等价条件求解；
（2）根据复数的几何意义得到，结合模长公式解方程即可．
（1）复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
（2）由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
16．【答案】（1）解：由，可得，即，
则；
（2）解：因为，所以，
，，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由，利用向量数量积的运算求得，再根据向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量的夹角公式求解即可.
（1）由已知得，所以，
则.
（2）因为，所以，
又因为，，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
17．【答案】（1）解：由，
得.
解法一：由正弦定理得，
在中，，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以.
解法二：由余弦定理得，，
化简得，
由余弦定理得，，
又因为，
所以.
（2）解：由是的平分线，
得.
解法一：，
又因为，
所以
.
解法二：由，得
则，
解得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法一：由已知条件和正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合三角形中角B的取值范围，从而化简得出角B的值.
解法二：由已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而化简得出角B的值.
（2）利用两种方法求解.
解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，再利用三角形的面积公式得出的面积.
解法二：由结合三角形的面积公式得到的长，再利用三角形的面积公式得出的面积.
（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
18．【答案】（1）解：由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
（2）解：如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，
又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据题意用表示出活动区域面积，再结合三角恒等变形求最值即可；
（2）设，用表示出活动区域面积，再利用三角函数恒等变换求出最值．
（1）由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
（2）如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，
又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
19．【答案】（1）解：由题意可得，，则，即 ；
（2）解：由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由，可得，
则，即，即；
（3）解：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以，
设，，由，得，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
【知识点】平面向量数乘的运算；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由点分别是线段的中点，可得，，再根据射影几何学新定义求解即可；
（2）根据几何学新定义，结合调和点列求解即可；
（3）由射影几何学新定义可得，再由点B为线段的中点，可得，设，，根据，求得，再在，中，利用正余弦定理求解即可.
（1）由条件可得，，则，所以．
（2）由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，
则，即，即．
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，①
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
方法二：因为，所以，
设，则，
又B为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，
得，
所以，
设，则，
由，互补得，
即，
解得，所以，，
所以
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