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安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价高二数学试卷
一、单选题
1．物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知数列满足，若，则为（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
3．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．的二项展开式中x的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（ ）
A．最大 B．最大 C．最大 D．
8．已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则时，概率最大
B．若，，且，则，相互独立
C．，，，则的值为
D．已知，，，则
10．已知函数，则（ ）
A．，是增函数
B．，是奇函数
C．若有三个不同的零点，，，则
D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则
11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知，则__________．
13．某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________．
14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则的最小值为________．
四、解答题
15．已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：.
17．如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.
(1)求的长；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数．
(1)当 求在处的切线方程；
(2)当时，证明；
(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
19．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式．
参考答案
1．D
【详解】由题意可知，则F对于r的瞬时变化率为．
故选：D
2．B
【详解】因为，所以，
所以数列为等比数列，公比为，因为，
所以，则，
即，解得，所以，，
所以.
3．B
【详解】由题可设，则，，
所以，解得．
所以．
4．B
【详解】的二项展开式的通项公式为，
化简得，
令，得，所以，
所以的展开式中x的系数是．
5．B
【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有种，第二类的排法有种，由分类加法原理可得总的排法数为504，
故选：B.
6．B
【详解】依题意，服从超几何分布，则，
当取得最大值时，，即，
解得，，所以.
故选：B
7．D
【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此；
计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况：
甲中奖后乙中奖：概率为；
甲未中奖后乙中奖：概率为；
；
计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况：
甲中、乙中、丙中：；
甲中、乙不中、丙中：；
甲不中、乙中、丙中：；
甲不中、乙不中、丙中：；
；
因此.
8．A
【详解】，
∵存在，对于任意都有，
∴在左侧附近，函数小于0.
，
，
①当时，，
∴存在，对于任意都有，，函数单调递增，
∴当时，，满足题意.
②当时，，
，
∴当时，，函数单调递减，
∴不存在，对于任意都有，
③当时，，
∴存在，对于任意都有，函数单调递减，
∴当时，，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
9．BD
【详解】选项A：若随机变量，，
由于要使最大，则,故时，概率最大，故A错误；
选项B：根据条件概率公式，由，
得，所以，则，相互独立，故B正确；
选项C：由，即，
解得，故C错误；
选项D：由题意知，．因为，
所以，因此，
．又，
所以，故D正确．
10．ACD
【详解】已知，则.
选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以.
所以，是增函数，故A正确.
选项B：，，
则，故不是奇函数，故B错误.
选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根.
其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则.
所以，故C正确.
选项D：设切点为，，
所以切线方程为.
又切线过，所以，即.
切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点.
.
令，即，解得或.
当时，，当时，，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
所以极小值为，极大值为，
所以当时，与有3个交点.
所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确.
11．ABD
【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确；
对于B，，，，，
则，B正确；
对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的.
严格计算：，，，C错误；
对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数，
于是，则，则，于是，D正确.
故选：ABD
12．19
【详解】由得，所以，
∴，解得，故．
故答案为：19．
13．
【详解】先从8人中选4人进组，其余4人进，总事件数为，
甲乙同在组时，只需从剩余6人中选2人补足组，其余4人进，符合要求事件数为，
所以所求概率.
14．/
【详解】由题意得，
令，则最小值在对称轴处取得，
所以，
因此对于固定的，的最小值为，
令，求导得，又，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，所以，
综上所述，的最小值为．
15．(1)，，，．
(2)．
【详解】（1）∵，，成等差数列，
∴，解得：，
又∵，
当时，，得：，
∴，∴，；
因为，
当时，，
两式相减得，
则时，；
当时，由得，解得符合该式；
所以，．
（2）由于，
，
所以．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点在直线上，所以.
因为的渐近线方程为，所以，故.
所以的方程为.
（2）设，由，得，则.
易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为），
设其方程为，即.
由消去，得.
因为直线与相切，
所以，且，得，
所以直线的方程为，
方程的根为，所以，
所以直线的方程为.
又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离，
又点在内部，所以.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为平面，平面，
所以，
所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以在中，由余弦定理，得.
（2）所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
设点到平面的距离为，
由三棱锥的体积公式和性质，
得，所以.
（3）由上可知：，取的中点，显然，
因为平面，平面，
所以，
因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
，
由上可知：是棱中点，，
所以可得，，即
设平面的法向量为，
，
所以，
所以取该平面的一个法向量为，
设直线BC与平面PAB所成角为，
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当，故且，
故，故切线方程为，即.
（2）的定义域为，；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
故；
要证，只需证，
即证；
设，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，.
又，，故.
（3）不妨设，则由得：，
即，
令，则，故在上单调递增，
在上恒成立，
即，又，（*）；
设，则，
由解得：（舍）或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
由（*）可得，解得：，
的取值范围为.
19．(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，.

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