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24.2 数据的离散程度
第1课时 方差
基础提优题目
1.[2025 南京一模] 已知一组数据:6,8,6,6,4,这组数据的方差是 ( )
A.1.2 B.1.4 C.1.6 D.1.8
2.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和,则和的大小关系是 ( )
A. > B. < C. =. D.无法确定
3.已知一组数据:33,47,47,4▲,52,56,其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是 ( )
A.平均数 B.离差平方和 C.众数 D.方差
4.超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为，s ，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为,,则则下列结论一定成立的是 ( )
A. B.> C. s > D.
5.已知甲组数据为1,2,3,4,5,乙组数据为6,7,8,9,x,如果两组数据的离差平方和相等，那么x= .
6.2025 年世界运动会于8月 7 日至 8月 17 日在成都举办，推动了成都各校体育活动如火如荼地开展.在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表.
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是 环.
(2)求 a 的值.
(3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去 请说明理由.
次数 1 2 3 4 5
成绩/环 8 10 8 6 a
综合应用题
7.[2025 邢台期中]在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将 20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是 12秒；另一个错录为 17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19 个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s ，则 ( )
A. B.
C. D.无法判断
8.[2025扬州期中] 已知一组数据x ,x ,…,x 的平均数是 10，方差是 2，数据 2x,+3的方差是 .
9.[2025烟台期末]某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为 85 分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 .
10.当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一.某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作 10次，测试成绩(百分制)如下：
分析数据，得到下列表格.
平均数 中位数 众数 方差
机器人 92 a 95 c
人工 89 90 b 108.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空:a= ,b= .
(2)根据表格中的数据，计算机器人操作 10次的方差 c.
(3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优势.(写一条即可)
创新拓展题
11.某校舞蹈队共 16 名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据如下：
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175.
(1)求这 16名学生身高的平均数和众数.
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在下列两组学生中， 组舞台呈现效果更好.
甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166
乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为 168 cm,168 cm,172 cm，他们的身高的方差为 在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为多少
第2课时 用方差分析数据
基础提优题目
1.[2025泸州]某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.某场比赛，共有 10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分的方差与10个原始评分的方差相比 ( )
A.不变 B.变大 C.变小 D.不能确定
3.如图是A，B两市去年四季平均气温的折线统计图，则四季平均气温波动较小的城市是 (填“A”或“B”).
综合应用题
4.某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数(单位：环)及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示.
甲 乙 丙
平均数 7.9 7.9 8.0
方差 3.29 0.49 1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.[2025运城期末]某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有甲、乙、丙3个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从3个厂家的产品中抽样调查的20只鸡腿的质量(单位：g)绘制成的统计图.如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 厂家的鸡腿(填“甲”或“乙”或“丙”).
6.[2025南京玄武区期末]体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表：
组别 1号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 平均数 方差
甲 96 92 88 94 101 81 92
乙 95 96 87 93 94 93
(1)根据所给数据完成上表.
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义.
(3)如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变.你认为小明的说法对吗 请说出你的理由.
24.2 数据的离散程度
第1课时 方差
1. C 2. A 3. C 4. C
5.5 或10 【点拨】甲组数据都加上4得5,6,7,8,9,或甲组数据都加上5得6,7,8,9,10,因为乙组数据是6,7,8,9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x=5或10.
6.【解】(1)9
(2)因为甲运动员前5 箭的总成绩是5+7+9+9+10=40(环),
甲，乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，所以a=40-8-10-8-6=8.
(3)应选乙运动员去.理由如下：两名运动员的平均成绩均为40÷5=8(环),则
8) ]=1.6.
因为
所以乙运动员的成绩更稳定，应选乙运动员参加全市中学生比赛.
7. B【点拨】由题意可知，录入有误的两个数的和为9+17=26,实际的两个数的和为12+14=26,所以更正后实际成绩的平均数与原来的平均数相同，为13.8秒.因为|9-13.8|>|12-13.8|,|17-13.8|>|14-13.8|,所以方差变小，即
8.8【点拨】因为数据x ,x ,…,x 的平均数是10,所以 所以数据 2x +3,2x +3,…,2x +3
的平均数是 因为数据x ,x ,…,x。的方差是2，
所以 =2,所以
9. m>n
10.【解】(1)91.5;100
(2)根据题意，得机器人操作 10次的方差
(3)机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定(答案不唯一，合理即可).
11.【解】(1)这组数据中出现次数最多的数是165，出现了3次，所以这16名学生身高的众数为165 cm.
这16名学生身高的平均数为(161+162+162+164+165+165+165+166+166+167+168+168+170+172+172+175)÷16=166.75(cm).
(2)甲【点拨】甲组身高的平均数为
则甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为
则乙组身高的方差为
因为25.04>2.16,
所以舞台呈现效果更好的是甲组.
(3)∵168,168,172 的平均数为 169 ，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 且五名学生身高的平均数尽可能大，∴数据的差别要小.∴可供选择的有170和172，此时平均数为 172)=170,方差为 ，符合题意.故选出的另外两名学生的身高分别为170 cm和172 cm.
第2课时用方差分析数据
1. B 2. D
3. A【点拨】由折线统计图可知，A市去年四季平均气温的平均数为 B市去年四季平均气温的平均数为 9.25(℃),所以 因为 所以四季平均气温波动较小的城市是 A.
4. D
5.乙
6.【解】 【点拨】 乙组6号同学的跳绳次数为6×93-(95+96+87+93+94)=93.
(2)甲组中第一个92表示甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92；第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳的平均次数为92.
(3)不对.理由如下：因为乙组的平均数为93，所以如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，则平均数不会发生改变.增加一名学生后的 所以方差发生改变.

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