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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：特殊平行四边形：菱形
课型： 新授课 设计时间： 年 月 日
学习核心内容 5.2.2
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.掌握菱形的三种判定方法（定义、定理1、定理2）； 2.能根据已知条件选择合适的判定方法进行推理证明； 3.感受数学的严谨性，体会菱形判定在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。 1.优秀 良好 合格 待改进 2.优秀 良好 合格 待改进 3.优秀 良好 合格 待改进
学习过程设计
环节一：引入新课 基础回顾： 1.菱形的定义是什么？ 2.菱形的边、对角线分别有哪些性质？ 3.思考引入：已知平行四边形 ，若要使它成为菱形，你能想到添加哪些条件？ 参考答案 1.菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形； 2.菱形性质： 边：四条边都相等； 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。 3.可添加条件示例： 一组邻边相等（如 ）； 对角线互相垂直（如 ）。 环节二：新知探究 问题1：取一张长方形纸片，按图5-14的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的I这部分展开，平铺在桌面上。 （1）剪出的这个图形（I部分展开）是哪一种四边形？一定是菱形吗？ 回答：剪出的图形是四边形，且一定是菱形 。 理由：长方形纸片经两次对折后，沿斜线裁剪，展开后四条边均由同一段裁剪线展开得到，因此四条边长度相等；根据 “四条边相等的四边形是菱形”，可判定该四边形为菱形。 （2）通过折叠、裁剪，议一议，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ 边的性质：① 四条边都相等；② 对边互相平行。 对角线的性质：① 对角线互相垂直平分；② 每条对角线平分一组对角。 （3）一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 一个平行四边形满足以下任一条件，即可判定为菱形： ①一组邻边相等（菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形）； ②对角线互相垂直（菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 （请与你的同伴交流） 探究引导 动手操作：学生分组折叠、裁剪，观察展开后图形的形状； 观察分析：两次折叠后，裁剪的斜边展开后四条边完全重合，故四条边相等；同时折叠形成的折痕（对角线）互相垂直； 猜想论证： 四条边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 问题2： 一般地，判定菱形有以下定理： 定理1：四边相等的四边形是菱形。现在请你证明定理1. 证明提示：先证四边形是平行四边形（两组对边分别相等），再由一组邻边相等得菱形。 已知：四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA。 求证：四边形 ABCD 是菱形。 ∵AB=CD, BC=DA(已知四边相等，两组对边分别相等) ∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) ∵AB=AD(已知一组邻边相等) ∴平行四边形 ABCD 是菱形(菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形) 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 请你自己完成定理1的证明。下面我们给出定理2的证明。 已知：如图5-15，在口ABCD中，BD⊥AC,O为垂足。 求证：口ABCD是菱形。 证明：在口ABCD中， （平行四边形的对角线互相平分）。 因为BD⊥AC, 所以 （根据什么？中垂线性质定理）。 所以口ABCD是菱形（菱形的定义）。 知识点辨析 易错点辨析： 错误结论：“对角线互相垂直的四边形是菱形”。 纠正：必须先证明四边形是平行四边形，再结合对角线垂直才能判定为菱形（如筝形对角线垂直，但不是菱形）。 判定方法梳理： 已知图形判定方法依据平行四边形一组邻边相等菱形定义平行四边形对角线互相垂直定理2任意四边形四条边相等定理1
设计意图：通过动手操作、观察猜想、推理论证，让学生经历菱形判定定理的生成过程，理解定理本质，同时结合易错点辨析与拓展探究，提升学生逻辑推理能力与知识迁移能力。 【知识拓展】 探究活动：如图5-17, 是 的两条中位线。探究：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系？ 建议按下列步骤探索： （1）围成的四边形是否必定是平行四边形？ 回答：是，必定是平行四边形 证明：∵ 、 是 的中位线， 根据三角形中位线定理：，且 ；，且 ∴ , , 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形 是平行四边形。 （2）在什么条件下，围成的四边形是菱形？ 回答：当 （即 是以 为顶点的等腰三角形）时，围成的四边形是菱形 理由：由（1）知四边形 是平行四边形， 且 ，， 若 ，则 ， 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得平行四边形 是菱形。 （3）在什么条件下，围成的四边形是矩形？ 回答：当 （即 是以 为直角顶点的直角三角形）时，围成的四边形是矩形 理由：由（1）知四边形 是平行四边形， ∵ ，，且 ， ∴ , 根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形 是矩形。 （4）你还能发现其他结论吗？ 若 是等腰直角三角形（ 且 ），则围成的四边形是正方形（既是菱形又是矩形）。 四边形 的周长等于 。 四边形 的面积是 面积的 。 若选取不同的中位线组合，结论可推广：当原三角形有两边相等时，对应围成的平行四边形为菱形；当原三角形有直角时，对应围成的平行四边形为矩形。 环节三：典例精析 例2 如图5-16，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F。求证：四边形AFCE是菱形。 证明：因为四边形ABCD是矩形 所以 （矩形的定义） 所以 因为 垂直平分 所以 所以 得 。 所以四边形AFOE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又因为 所以四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 【方法辨析】 本题也可通过证明 （垂直平分线性质），结合平行四边形 ，用定义法（一组邻边相等的平行四边形是菱形）证明； 对比两种方法，体会“先证平行四边形，再证菱形”的核心思路。 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，将菱形ABCD沿AC方向平移至 交CD于点 交 于点 F, 判断四边形 是不是菱形，并说明理由。 四边形 是菱形，理由如下： 【证明四边形 是平行四边形】 由平移性质：，。 因为菱形 中 ，， 所以 （即 ），（即 ）。 根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形 是平行四边形。 【证明一组邻边相等】 菱形 中，对角线 平分 ，即 。 又 ，所以 （两直线平行，内错角相等）。 因此 ，根据“等角对等边”，得 。 【判定菱形】 平行四边形 中一组邻边 ，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”， 所以四边形 是菱形。 2.说出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题，并判断它是否成立。 逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形（或“如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形”）。 是否成立：不成立（是假命题）。 理由：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形（两组邻边分别相等的四边形），其对角线互相垂直，但它不是平行四边形，因此也不是菱形；只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，所以该逆命题不成立。 选做题： 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　D　） A．AB=CD B．AC=BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 4.如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　C　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【综合拓展类作业】 5.如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架.已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1＝60°，则在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B之间的距离为　 60 　 cm． 环节五：课堂总结 菱形的判定方法： 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 定理1：四条边相等的四边形是菱形； 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 判定核心思路： 若已知四边形：先证为平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直；或直接证四条边相等； 若已知平行四边形：只需证一组邻边相等或对角线垂直。 性质与判定的区别： 性质：已知菱形，推导边、对角线的特征； 判定：由边、对角线特征，推导图形为菱形。
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足，求证： ABCD为菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分). ∵BD⊥AC，∴AD＝CD(中垂线的性质). ∴ ABCD是菱形(菱形的定义). 2.如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为　 16 　cm2． 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由． 解：四边形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形． 选做题： 4.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 3 　次．当P出发　9 　秒时，四边形PQCD是菱形． 5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__①③__(填序号)． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC. （1）求证：∠1＝∠2； （2）连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 【方法指导】小组讨论 教师引导[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)] 学生展示 教师评价． 解：（1）在△ABC和△ADC中， ∵AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC,∴∠1＝∠2; （2）四边形BCDE是菱形．理由如下：连接BE，DE. ∵BC=DC,∠1=∠2,∴OD=OB, OC⊥BD. ∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形． 又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形． 【综合拓展类作业】 7.如图，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC分别交于点E，O，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=CO, EF⊥AC. ∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形． ∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形. 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 解：（1）∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∵EF＝BE，∴EF＝BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； （2）∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°, 又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2＝8.
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
5.2.2 菱形的判定 板书设计 一、菱形的判定方法 1.定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 符号：， 菱形 2.定理1 四条边相等的四边形是菱形 符号： 菱形 3.定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 符号：， 菱形 二、判定核心思路 任意四边形：证四边相等 或 先证平行四边形，再证邻边相等/对角线垂直 平行四边形：证一组邻边相等 或 证对角线互相垂直 一、定理2关键依据 （线段垂直平分线性质） 二、典例（例2）思路 证， 对角线互相平分 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 三、易错点提醒 对角线互相垂直的四边形菱形（必须先是平行四边形）
本节课以“动手操作、探究论证”为核心，紧扣菱形判定的知识主线展开教学，通过折叠裁剪实验、定理推导、典例精讲与分层练习的环节设计，让学生完整经历“观察—猜想—证明—应用”的几何探究过程，有效落实菱形三种判定方法的知识目标。课堂贴合八年级学生的几何认知规律，旧知回顾自然衔接新课，易错点辨析及时纠正认知偏差，既夯实了基础知识点，又培养了学生的逻辑推理与动手实践能力，整体课堂节奏紧凑、知识落地性强。 本节课仍存在可优化之处，部分学生在几何证明的书写规范上不够严谨，对“对角线互相垂直的四边形未必是菱形”这一易错点的理解不够深刻，分层教学的针对性稍显不足。后续教学需强化证明步骤的规范训练，增加反例直观演示加深易错点辨析，同时优化课堂练习的梯度设计，兼顾不同层次学生的学习需求，进一步加强菱形判定与生活实际的联结，提升学生知识迁移与综合运用的能力。
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分课时学案
课题 5.2.2菱形 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习 目标 1.掌握菱形的三种判定方法（定义、定理1、定理2）； 2.能根据已知条件选择合适的判定方法进行推理证明； 3.感受数学的严谨性，体会菱形判定在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
评价设计 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
教学过程
导入新课 【引入思考】 基础回顾： 1.菱形的定义是什么？ 2.菱形的边、对角线分别有哪些性质？ 3.思考引入：已知平行四边形 ，若要使它成为菱形，你能想到添加哪些条件？
新知讲解 问题1： 取一张长方形纸片，按图5-14的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的I这部分展开，平铺在桌面上。 （1）剪出的这个图形（I部分展开）是哪一种四边形？一定是菱形吗？ 回答： （2）通过折叠、裁剪，议一议，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ 回答： （3）一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？（请与你的同伴交流） 回答： 探究引导 动手操作：学生分组折叠、裁剪，观察展开后图形的形状； 观察分析：两次折叠后，裁剪的斜边展开后四条边完全重合，故四条边相等；同时折叠形成的折痕（对角线）互相垂直； 猜想论证： 四条边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 问题2： 一般地，判定菱形有以下定理： 定理1：四边相等的四边形是菱形。现在请你证明定理1. 证明提示：先证四边形是平行四边形（两组对边分别相等），再由一组邻边相等得菱形。 已知：四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA。 求证：四边形 ABCD 是菱形。 ∵AB=CD, BC=DA(依据： ) ∴四边形 ABCD 是平行四边形(依据： ) ∵AB=AD(依据： ) ∴平行四边形 ABCD 是菱形(依据： ) 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。下面我们给出定理2的证明。 已知：如图5-15，在口ABCD中，BD⊥AC,O为垂足。 求证：口ABCD是菱形。 证明：在口ABCD中， （平行四边形的对角线互相平分）。 因为BD⊥_____, 所以 （根据什么？中垂线性质定理）。 所以口ABCD是菱形（菱形的定义）。 易错点辨析： 错误结论：“对角线互相垂直的四边形是菱形”。 纠正：必须先证明四边形是平行四边形，再结合对角线垂直才能判定为菱形（如筝形对角线垂直，但不是菱形）。 判定方法梳理： 已知图形判定方法依据平行四边形_______________________ 菱形定义平行四边形_______________________定理2任意四边形_______________________ 定理1
【知识拓展】 探究活动：如图5-17, 是 的两条中位线。探究: 这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系 建议按下列步骤探索： （1）围成的四边形是否必定是平行四边形？ （2）在什么条件下，围成的四边形是菱形？ （3）在什么条件下，围成的四边形是矩形？ （4）你还能发现其他结论吗？ 典例精析 例2 如图5-16，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F。求证：四边形AFCE是菱形。 证明：因为四边形ABCD是矩形 所以 （矩形的定义） 所以 因为 垂直平分 所以 所以 . 所以四边形AFOE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又因为 所以四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 【方法辨析】 本题也可通过证明 （垂直平分线性质），结合平行四边形 ，用定义法（一组邻边相等的平行四边形是菱形）证明； 对比两种方法，体会“先证平行四边形，再证菱形”的核心思路。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，将菱形ABCD沿AC方向平移至 交CD于点 交 于点 F, 判断四边形 是不是菱形，并说明理由。 2.说出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题，并判断它是否成立。 选做题： 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　 　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 4.如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　 　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【综合拓展类作业】 5，如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1＝60°，则在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B之间的距离为　 　 cm．
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 课本知识点 （2）本课主要学习方法或数学思想
课堂作业 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足，求证： ABCD为菱形． 2.如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为　 　 cm2． 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由． 选做题： 4.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发 　 秒时，四边形PQCD是菱形． 5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__ __(填序号)． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC. （1）求证：∠1＝∠2； （2）连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 【方法指导】小组讨论 教师引导[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)] 学生展示 教师评价． 【综合拓展类作业】 7.如图，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC分别交于点E，O，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
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课题名称：特殊平行四边形——菱形
第五章
初中数学
学习目标
能根据已知条件选择合适的判定方法进行推理证明；
02
掌握菱形的三种判定方法（定义、定理1、定理2）；
01
03
感受数学的严谨性，体会菱形判定在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
引入新课
基础回顾：
1.菱形的定义是什么？
2.菱形的边、对角线分别有哪些性质？
边：四条边都相等；对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3.思考引入：已知平行四边形 ，若要使它成为菱形，你能想到添加哪些条件？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
一组邻边相等（如 ）；
对角线互相垂直（如 ）。
探究新知
问题1：
取一张长方形纸片，按图5-14的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的I这部分展开，平铺在桌面上。
探究新知
问题1：
（1）剪出的这个图形（I部分展开）是哪一种四边形？一定是菱形吗？
回答：剪出的图形是四边形，且一定是菱形。
理由：长方形纸片经两次对折后，沿斜线裁剪，展开后四条边均由同一段裁剪线展开得到，因此四条边长度相等；根据 “四条边相等的四边形是菱形”，可判定该四边形为菱形。
探究新知
问题1：
（2）通过折叠、裁剪，议一议，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？
回答：边的性质：① 四条边都相等；② 对边互相平行。
对角线的性质：① 对角线互相垂直平分；② 每条对角线平分一组对角。
探究新知
问题1：
（3）一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？
一个平行四边形满足以下任一条件，即可判定为菱形：
①一组邻边相等（菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
②对角线互相垂直（菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
探究新知
问题2：
一般地，判定菱形有以下定理：
定理1：四边相等的四边形是菱形。现在请你证明定理1.
证明提示：先证四边形是平行四边形（两组对边分别相等），再由一组邻边相等得菱形。
探究新知
问题2：
已知：四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA。
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：∵AB=CD, BC=DA(已知四边相等，两组对边分别相等)
∴四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
∵AB=AD(已知一组邻边相等)
∴平行四边形 ABCD 是菱形(菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形)
探究新知
问题2：
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
下面我们给出定理2的证明。
“对角线互相垂直的四边形是菱形”
探究新知
问题2：
已知：如图5-15，在口ABCD中，BD⊥AC,O为垂足。求证：口ABCD是菱形。
证明：在口ABCD中， （平行四边形的对角线互相平分）。
因为BD⊥AC,
所以 （根据什么？ ）。
所以口ABCD是菱形（菱形的定义）。
中垂线性质定理
探究新知
【知识拓展】
探究活动：如图5-17, DF,EF 是 △ABC 的两条中位线。探究: 这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系
探究新知
【知识拓展】
建议按下列步骤探索：
（1）围成的四边形是否必定是平行四边形？
回答：是，必定是平行四边形
证明：∵ 、 是 的中位线，
根据三角形中位线定理：，且 ；，
且 ∴ ，，
根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，
可得四边形 是平行四边形。
探究新知
【知识拓展】
（2）在什么条件下，围成的四边形是菱形？
回答：当 （即 是以 为顶点的等腰三角形）时，围成的四边形是菱形
理由：由（1）知四边形 是平行四边形，
且 ，，
若 ，则 ，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，
可得平行四边形 是菱形。
探究新知
【知识拓展】
（3）在什么条件下，围成的四边形是矩形？
回答：当 （即 是以 为直角顶点的直角三角形）时，围成的四边形是矩形
理由：由（1）知四边形 是平行四边形，
∵ ，，且 ，∴ ，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形 是矩形。
探究新知
【知识拓展】
（4）你还能发现其他结论吗？
若 是等腰直角三角形（ 且 ），则围成的四边形是正方形（既是菱形又是矩形）。
四边形 的周长等于 。
四边形 的面积是 面积的 。
若选取不同的中位线组合，结论可推广：当原三角形有两边相等时，对应围成的平行四边形为菱形；当原三角形有直角时，对应围成的平行四边形为矩形。
典例精析
例2 如图5-16，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F。求证：四边形AFCE是菱形。
证明：因为四边形ABCD是矩形
所以 （矩形的定义）
所以
因为 垂直平分
所以
典例精析
所以 得 。
所以四边形AFOE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为
所以四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
1.如图，将菱形ABCD沿AC方向平移至 交CD于点 交 于点 F，判断四边形 是不是菱形，并说明理由。
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
四边形 是菱形，理由如下：
∵由平移性质：，。即菱形 中 ，，∴（即 ），（即 ）。
∴四边形 是平行四边形。
∵菱形 中，对角线 平分 ，即 。
又 ， ∴所以 （两直线平行，内错角相等）。
∴ ，根据“等角对等边”，得 。
， ∴四边形 是菱形。
课堂练习
2.说出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题，并判断它是否成立。
逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形（或“如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形”）。
是否成立：不成立（是假命题）。
理由：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形（两组邻边分别相等的四边形），其对角线互相垂直，但它不是平行四边形，因此也不是菱形；只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，所以该逆命题不成立。
课堂练习
【知识技能类作业】 选做题：
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　 　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD
D
课堂练习
【知识技能类作业】 选做题：
4.如图，等宽的丝带重叠部分一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
C
课堂练习
【综合拓展类作业】
5，如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，∠1＝60°，则在墙上悬挂晾衣加的两个铁钉A，B之间的距离为　 cm．
60
课堂小结
1.菱形的判定方法：定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
定理1：四条边相等的四边形是菱形；
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2.判定核心思路：
若已知四边形：先证为平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直；或直接证四条边相等；
若已知平行四边形：只需证一组邻边相等或对角线垂直。
知识梳理
课堂小结
3.性质与判定的区别：
性质：已知菱形，推导边、对角线的特征；
判定：由边、对角线特征，推导图形为菱形。
知识梳理
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
1.如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足，求证： ABCD为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分).
∵BD⊥AC，∴AD＝CD(中垂线的性质).
∴ ABCD是菱形(菱形的定义).
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
2.如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为　 cm2．
16 　
课后提升
【知识技能类作业】 必做题：
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
课后提升
4.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形．
选做题：
9
3
课后提升
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________ (填序号)．
选做题：
①③
课后提升
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
选做题：
课后提升
解：(1)在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；
(2)四边形BCDE是菱形．理由如下：连接BE，DE.
∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．
选做题：
课后提升
【综合拓展类作业】
7.如图，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC分别交于点E，O，F.
求证：四边形AFCE是菱形．
课后提升
【综合拓展类作业】
证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，EF⊥AC.
∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
课后提升
【综合拓展类作业】
8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
课后提升
【综合拓展类作业】
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∵EF＝BE，∴EF＝BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2 ＝8 .
Thanks!
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