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2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，且，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A. 12 B. C. 24 D.
4. 设、、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，在上单调递增，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若复数是方程的一个根，则
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
11. 在锐角中，所对边分别为，已知，则（ ）
A. 若，则
B.
C.
D.
非选择题部分
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：__________.
13. 若，则的值为__________.
14. 正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知复数
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数满足，求的最大值.
16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.
（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？
（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？
17. 在中，角的对边分别为，若，
（1）求角的大小；
（2）若为中点，，求边.
18. 已知函数（、为非零常数）
（1）当时，为偶函数，求的值；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.
19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）已知在仿射坐标系中，，.
①若，求；
②若，求；
（2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围.2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
故.
2. 已知复数，且，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果.
【详解】因为，所以，故的虚部为.
3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A. 12 B. C. 24 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【详解】由题意得，所以矩形的面积为，
由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确.
4. 设、、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，由不等式的基本性质可得，
即“”“”；
若，不妨取，，，则，
但，所以“”“”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
5. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知的最小值为，然后在中求解即可
【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，
则的最小值为．
在中，，，
则．
故选：D
6. 已知，在上单调递增，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简得出，由可得出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，且，
所以，
因为在上单调递增，则，
所以，解得.
7. 如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用平面向量的线性运算和基本定理可得出，再利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，所以，
设，则，解得，
又因为，
且、不共线，所以，这两个等式相加得，
因为，，由基本不等式可得，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
8. 如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】对的取值进行分类讨论，分析点的轨迹，可知函数的周期为，作出其图象，逐项判断即可.
【详解】当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故函数的周期是.
因此最终构成图象如下：
①根据图象的对称性可知函数是偶函数，故①正确.
②由图象经分析可知函数的周期是，故②错误.
③函数在区间上单调递减，故③正确.
④函数在区间上单调递增，由函数的图象即可判断是真命题，故④正确.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若复数是方程的一个根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质化简复数，即可判断A；进而可求模长，即可判断B；再根据复数的几何意义判断C；分析可知方程另一个根为，结合韦达定理运算求解.
【详解】因为，故A错误；
则，故B正确；
且在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
若复数是方程的一个根，则另一个根为，
则，可得，即，故D正确.
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对；
对于B选项，若，则，
又因为，解得或，B错；
对于C选项，，
当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，C对；
对于D选项，若，则，
则在上的投影向量为，D错.
11. 在锐角中，所对边分别为，已知，则（ ）
A. 若，则
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A使用余弦定理可以计算出；选项B使用和差化积公式进行化简可以得到；选项C在B选项基础上使用正弦定理；选项D在B选项基础上使用三角函数进行转换为全部tanA的函数,最后再换元进行计算.
【详解】选项A，由，
根据正弦定理得：，由余弦定理得：，
代入可得，，所以选项A正确；
选项B，对用和差化积公式：
，
在中，，因此原式等价于： ，
，故，
因此或（舍去），即，所以B选项正确；
选项C，由，根据正弦定理，
所以选项C错误；
选项D，由得，
因此
，
由为锐角三角形得：，
因此.令，则，
根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，
当时，，当时， ，
故，所以选项D正确.
非选择题部分
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值.
【详解】原式.
13. 若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
.
14. 正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______.
【答案】或.
【解析】
【分析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解.
【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得.
取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则，
可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，.

设上、下底面正方形的边长分别为，，
则，，解得，，故，.
设，
当在线段上时，则，
由勾股定理得，解得，
所以该正四棱台的体积为；
当在的延长线上时，，
由勾股定理得，解得，
所以该正四棱台的体积为.
综上所述：该正四棱台的体积为或.
故答案为：或.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知复数
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数满足，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解；
（2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运动求解.
【小问1详解】
是纯虚数得出得；
【小问2详解】
设，所以，即，
，
则，
因为当且仅当取等，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.
（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？
（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解.
（2）利用柱体体积公式列式求解.
【小问1详解】
依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积，
因此所求面积为
，
所以需要平方米的玻璃.
【小问2详解】
由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积，
，
所以需要立方米的水.
17. 在中，角的对边分别为，若，
（1）求角的大小；
（2）若为中点，，求边.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小；
（2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
在中，，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以
，
又，所以,所以，
又因为，所以.
18. 已知函数（、为非零常数）
（1）当时，为偶函数，求的值；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可；
（2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
因为是偶函数，所以对任意，都有，
即，化简得，
即对任意的恒成立，故，所以.
【小问2详解】
当时，，
由得，化简得，
因为，所以，可得，解得.
【小问3详解】
当，时，.
设，，
因为在上单调递增，在单调递增，
所以在单调递增，所以的最大值为，
从而依题意可得对任意恒成立，
将变形得，可得，
所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，
函数在区间单调递增，有最大值，
函数（当且仅当取等号）有最小值，
所以，即实数的取值范围是.
19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）已知在仿射坐标系中，，.
①若，求；
②若，求；
（2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
②求出的值，利用平面向量数量积的定义可得出关于的值，解之即可；
（2）由已知条件得出，，利用平面向量数量积的运算性质结合对恒成立，以及且，可求出的取值范围，再利用平面数量积的运算性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
①因为，所以.
②因为，
所以，
，
因为，，
所以，解得.
【小问2详解】
因为，，
所以，，
由，得，
即对恒成立，
因为且，所以，
所以，
化简得，所以，
又因为且，所以或
因为与的夹角为，
所以，
而或，
所以或，
即，故的取值范围为.

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