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安徽省太和中学2025-2026学年高一实验部下学期下学期第2次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．15 B．12 C．16 D．20
3．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
5．如图，在中，设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为
C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个
D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
11．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．
D．若，则
三、填空题
12．在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是__________.
13．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________.
14．已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
(1)求及的值；
(2)求的值．
16．如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．
(1)求的值；
(2)若为边长等于2的正三角形，求的值．
17．已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域．
18．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
(3)若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
19．已知函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴.
(1)求取最大值时的值；
(2)若将的图象向右平移个单位长度，得到，且在内有且仅有一个实数根.
①求的值；
②若，，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为集合，
，
所以.
2．A
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
3．A
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
4．D
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
5．C
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选：C.
6．B
【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”，
则，设，
由题意可得，即，
可得，解得，
所以该难题被攻克的概率．
故选：B．
7．D
【详解】因为，，则，所以，
则，又因为，则，
又，则，
又，，则，所以，
故选：D.
8．A
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
9．ABD
【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，
所以，解得，故A正确；
对于B，样本水质指数的平均数为
，故B正确；
对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为，
则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误；
对于D，第5组的频率为，
故水质指数不低于的频率为，
则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确.
10．AC
【详解】对于A选项，，则，故，A对；
对于B选项，，故，B错；
对于C选项，设向量、的夹角为，则，
因为，故，C对；
对于D选项，在方向上的投影向量为，D错.
故选：AC.
11．BCD
【详解】对于A，若，由的定义有或.
由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即.
所以，故，A正确；
对于B，设有非零向量，则，，故，B错误；
对于C，由于，故，C错误；
对于D，若，，，则，D错误.
故选：BCD.
12．
【详解】在中，，，，则,
由该三角形有两个解，可得,
即.
13．/-0.2
【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
14．
【详解】因为是的两个相邻零点，且，
所以的半周期，，即，
所以函数为 ，
由可知的一个对称中心为，
所以，解得，
又，取 ，所以，即，
因为，所以，
令，则问题转化为方程在上有三个实数根，
即的图象与直线有且仅有三个交点，
结合正弦函数图象可知，解得.
15．(1)；；
(2)
【详解】（1）因为点角的终边上，且，
根据三角函数定义，则，
解得或（舍），
所以．
（2）
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为O为的中点，，
又，故
（2）法一，设，因为O为的中点，，
∴
∵B，O，E三点共线，所以，得
故
因为为边长为2的正三角形
故
（法二）设
又由（1）知与为非零的共线向量.
与为非零的共线向量，所以，得
∴
因为为边长为2的正三角形
故
.
17．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）由图象可知，
且，即，
又，所以；
所以，
又，
解得，，
又，则，
所以；
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上的单调递增区间为和；
（3）当，则，
即
设，
则，，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
故在上的值域为.
18．(1)
(2)
(3).
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
而，
所以，
因为，所以，解得（舍去），
因为，所以，即.
（2）由（1）知，由正弦定理得，所以，，
又，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
即的周长的取值范围是.
（3）设，，则，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
所以.
在中，，，所以，
所以，，
所以，
因为，
其中，，
当，即时，等号成立，
所以，
所以，即的面积的最小值为.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）已知函数，其中，，
则函数可写为，化简可得：.
设，令，
所以 ，
当时，，与条件矛盾，
令，由，，可得，
因为函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴，
所以，结合，解得，
所以.
所以最大值为1，此时，化简得，
（2）①将的图象向右平移个单位长度，得，
方程，化简得：.
令，当时，.
记，方程在上有且仅有一个解，
当时，唯一解；
当时，有两个解；
当时无解.
所以.
②当时，，，.
此时，
当时，设，则 ，
令，这是二次函数，开口向上，对称轴为，
由已知当时的取值范围需包含.
令，
解得，，因为，所以舍掉.
因此时，；当时，；当时，.
若，
当时，单调递减，，
当时，单调递增，，
所以当时的取值范围为，满足要求；
若，
当时，单调递减，，
当时，单调递增，，
所以当时的取值范围为，满足要求；
若，则对于，的最大值小于，与条件矛盾，
因此，又因为，取对数前，故，
当时，，的取值范围为，满足条件，
综上的取值范围为

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