资源简介

广东省深圳市福田区石厦学校2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题
1．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．1
2．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
8．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
10．如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为，计算斜坡的长度　 　．
11． 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了　 　步．
12．如图，已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，与轴交于点，若，则　 　．
13．如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则　 　．
14．计算．．
15．先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
16．“冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分） 频数
A 5
B
C 12
D 15
E 8
②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名七年级学生，其中的值为 ．
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分．
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数．
17．在中，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点的垂直平分线交于，交于点
（1）利用圆规和无刻度直尺，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）；
（2）连接，求证：是的切线；
（3）当四边形为矩形时，若，求弧的长度？
18．【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在．
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度．
【问题解决】
（1）若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？
19．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
20．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图1，在四边形中，若，那么四边形称为“邻等对补四边形”．
【概念辨析】
（1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有___________（填序号）．
【性质探究】
（2）如图3，四边形是邻等对补四边形，其中，．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，求的长？
【拓展应用】
（3）如图4，在Rt中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上0与中间，
结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是
故选：B．
【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，根据数轴上原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小，由点A在0与之间，得到点A表示的数是大于且小于0的负数，结合选项，分析各选项，找出符合该取值范围的数，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．
选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．
选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．
选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查平移的性质与几何体三视图的概念，平移的核心特点是不改变物体的形状和大小，仅改变其位置，此次平移方向为垂直于书本右边缘的左右方向。主视图是从正面观察得到的图形，橡皮擦左右平移时，其在正面视角中的水平位置发生改变，导致主视图随之变化；左视图是从左面观察得到的图形，主要反映橡皮擦的侧面高度和宽度，左右平移不会影响侧面的形状与大小，因此左视图保持不变；俯视图是从上面观察得到的图形，橡皮擦水平位置的改变会使俯视图中图形的位置发生变化，综上可判断正确选项。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故Ａ正确.
B.与，不是同类项，不能合并，故Ｂ错误.
C.，故Ｃ错误.
D.，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算得，与，不是同类项，不能合并，，即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】由题意可知∠A = ∠D，且∠A 与∠D 是直线 AB、CD 被第三条直线所截形成的内错角，根据 “内错角相等，两直线平行” 的判定定理，可直接推出 。
故答案为：B。
【分析】本题考查平行线的判定定理，利用 “内错角相等，两直线平行” 这一规则识别出∠A 与∠D 是直线 AB、CD 被截形成的内错角，再根据内错角相等的条件直接判定两直线平行。
6．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】随机抽取两张卡片，所有等可能的结果为 “美丽”“美山”“美河”“丽山”“丽河”“山河”，共 6 种；其中恰好抽到 “美” 和 “丽” 两张卡片的结果只有 1 种。根据概率公式，可得
．
故答案为：C。
【分析】本题考查用列举法求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次购买了个魔方，
方程中表示第二次购买魔方的数量，说明第二次比第一次少买了10个；
根据“单价=总价÷数量”，表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价；
结合方程，可知第二次购买魔方的单价比第一次低5元。
因此，被墨水污染部分的文字为：“这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个”。
故答案为：D。
【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，结合方程结构，逆向推导题目中被污染的条件含义。设第一次购买数量为，则方程中的代表第二次购买数量，可推得“第二次比第一次少买10个”；再结合单价公式“单价=总价÷数量”，以及方程的结构，可推得“第二次单价比第一次低5元”，进而还原出被污染的文字条件。
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得∠D=∠DAB=90°，然后利用勾股定理算出AC的长，根据角的构成及角平分线的定义可推出∠1=∠2；作EG⊥AC于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ED=EG，利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△AGE，由全等三角形对应边相等得AG=AD，然后在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程可求出EG的长，进而再在Rt△ADE中，利用勾股定理算出AE的长，从而即可求出两条线段的比值.
9．【答案】
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
整理得：，
，，，
则，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【分析】先将方程整理为标准一元二次方程形式，再根据方程有两个相等实数根的条件，令根的判别式 Δ=0，列方程求解 m 的值。
10．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴，
在中，
故答案为：．
【分析】先根据坡度的定义，由坡度i=1：2和竖直高度BC=5m求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理计算出斜坡AB的长度。
11．【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人正好走了一个正多边形
∴360÷15°=24
∴该正多边形为正24边形
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24步
故答案为：24n
【分析】由题意可得：机器人正好走了一个正多边形，根据正多边形外角性质可得该正多边形为正24边形，即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，
设，
的图象向下平移6个单位得到直线；
直线的解析式为，当时，，
，
过点作轴于点，轴于点，
根据平移得到，
，
，
，
，
，
，
故点的横坐标为，纵坐标为，即，
，在反比例函数的图像上，
，解得，
，
将代入，
．
故答案为：8。
【分析】先根据直线平移规律求出平移后直线的解析式及与 x 轴的交点 C 的坐标；再通过作垂线构造相似直角三角形，利用相似三角形的性质，用点 A 的坐标参数a表示出点 B 的坐标；最后结合 A、B 两点都在反比例函数图象上的条件，列方程求出参数a，进而得到点 A 的坐标和反比例函数的k值。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长至H，使得，连接，，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴；
由旋转性质得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】先构造辅助线延长 ED 至 H，使 DH=DE 并连接 BH、CH，利用三角形中位线性质求出 CH 的长度；再结合旋转与等腰直角三角形的性质，推导出对应角相等、边成比例，证明△ABD∽△CBH；最后根据相似三角形的对应边成比例，求出 AD 的长度。
14．【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 先分别计算绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值和零次幂，再按顺序进行加减运算，合并同类项后得到最终结果。
15．【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）50；10
（2）；77
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人），
则获得一等奖的学生人数为（人）．
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取学生总人数（人）；
a的值为；
故答案为：50；10；
（2）解：A组所在扇形的圆心角度数为；
∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，
∴这部分学生成绩的中位数是（分）；
故答案为：；77；
【分析】（1）用 D 组人数除以其占比求出总人数，再用总人数减去其他各组人数得到a的值；
（2）用360°乘以 A 组人数占比求出对应圆心角，再根据中位数定义，结合总人数确定第 25、26 位数据的平均数得到中位数；
（3）先根据样本占比估计总体中 E 组的人数，再按一、二等奖比例计算出一等奖的人数。
（1）解：抽取学生总人数（人）；
a的值为；
（2）解：A组所在扇形的圆心角度数为；
∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，
∴这部分学生成绩的中位数是（分）；
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人），
则获得一等奖的学生人数为（人）．
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人．
17．【答案】（1）解：
（2）证明：连接，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：当四边形为矩形时，如图，
四边形为矩形，
，
∴，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长度
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图，
为线段的垂直平分线；
【分析】（1）按尺规作图方法，作出线段 AD 的垂直平分线 EF，交 AC 于点 E、交 AB 于点 F；
（2）通过连接 OD，利用等腰三角形性质和垂直平分线性质，推导出 OD 垂直 DE，从而证明 DE 是圆 O 的切线；
（3）当四边形 OCED 为矩形时，先推出三角形 ACB 为等腰直角三角形，再结合 OB 与 OC 的比例关系求出半径，最后用弧长公式计算劣弧 BD 的长度。
（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图，
为线段的垂直平分线；
（2）证明：连接，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：当四边形为矩形时，如图，
四边形为矩形，
，
∴，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长度．
18．【答案】（1）温水和开水混合后共毫升水
（2）解：设小康同学接了温水，则接了开水，
根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴小康同学接了温水，开水，
∴这杯水混合后的水温为；
设小康接开水的时间是秒，由题意得：
，
解得：，
∴接开水的时间至少是秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：，
答：此时温水和开水混合后共毫升水；
故答案为：温水和开水混合后共毫升水；
【分析】（1）根据每秒接水量和接水时间，直接计算温水与开水的总量；
（2）①设接温水的时间为 x 秒，根据总水量列方程求出接水时间，再计算两种水的体积，最后用加权平均法求出混合后的水温；
②设接开水的时间为 y 秒，根据混合后水温不低于 40℃的条件列出不等式，求解得到接开水的最少时间。
（1）解：，
答：此时温水和开水混合后共毫升水；
（2）解：设小康同学接了温水，则接了开水，
根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴小康同学接了温水，开水，
∴这杯水混合后的水温为；
设小康接开水的时间是秒，由题意得：
，
解得：，
∴接开水的时间至少是秒．
19．【答案】（1）∵当时，∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
、
（3）∵正方形，∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）本题考察用待定系数法求二次函数解析式，已知抛物线的解析式为，且，，点在抛物线上，将这些数据代入解析式，得到，解方程可求出，因此抛物线的表达式为。
（2）本题考察二次函数的应用，由，点，可得点的坐标为。因为抛物线过和，所以用交点式表示为，展开得。矩形中，，，所以点的坐标为，将代入的解析式，计算得，因此石块不能越过障碍物。
（3）本题考察二次函数的性质和正方形的性质，首先确定正方形的第四个顶点。抛物线开口向下，越小开口越大，越大开口越小。点在和之间，且顶点在正方形内，当抛物线顶点为，且经过点时，开口最大，最大，设解析式为，代入得，解得；当抛物线顶点为，且经过点时，开口最小，最小，设解析式为，代入得，解得，因此的取值范围为。
（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
20．【答案】(1) ②④
(2) 解：①；理由如下：
延长至点E，使，连接，如下图，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过A作于F，作，交于点，如下图，则，
∵，
∴，
∴，，
由①可知：，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
(3)或或1
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②、图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，
如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
；
当时，
连接，过N作于H，如图，
∵，
∴，
，即
解得：，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
；
综上，或或1．
【分析】（1）先明确 “邻等对补四边形” 的定义：存在一组邻边相等，且对角互补；再逐一分析图形，筛选出同时满足这两个条件的图形，得到答案。
（2）①要证明∠ACD=∠ACB，通过延长 CB 到点 E，使 BE=DC，构造△ABE 与△ADC；利用四边形邻等对补的性质推出∠ABE=∠D，结合 AB=AD，用 SAS 证明两三角形全等，再由等腰三角形性质得到∠E=∠ACB，进而证得∠ACD=∠ACB；
②过点 A 作 AF⊥EC 于 F，构造等腰三角形 AG=CG，结合已知角度和三角函数求出 BF、AF 的长度；再由∠BCD=45° 推出△AFG 为等腰直角三角形，得到 FG 和 AG 的长度，最后通过线段和差求出 BC 的长。
（3）先根据勾股定理求出 AC 的长度，再由邻等对补四边形的性质推出∠ANM=90°；分三种情况讨论：①当 AB=BM 时，通过勾股定理和相似三角形求出相关线段的长度，再利用正切的定义求出 tan∠NBM；
②当 AN=AB 时，通过 HL 证明 Rt△ABM≌Rt△ANM，再利用三角函数求出 NG、BG 的长度，进而求出 tan∠NBM；
③当 AN=MN 时，先证明△CMN∽△CAB 求出 CN 的长度，再通过△NHC∽△ABC 求出 NH、BH 的长度，最后根据正切定义求出 tan∠NBM；综合三种情况得到最终结果。
1 / 1广东省深圳市福田区石厦学校2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题
1．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上0与中间，
结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是
故选：B．
【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，根据数轴上原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小，由点A在0与之间，得到点A表示的数是大于且小于0的负数，结合选项，分析各选项，找出符合该取值范围的数，即可求解．
2．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
3．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．
选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．
选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．
选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查平移的性质与几何体三视图的概念，平移的核心特点是不改变物体的形状和大小，仅改变其位置，此次平移方向为垂直于书本右边缘的左右方向。主视图是从正面观察得到的图形，橡皮擦左右平移时，其在正面视角中的水平位置发生改变，导致主视图随之变化；左视图是从左面观察得到的图形，主要反映橡皮擦的侧面高度和宽度，左右平移不会影响侧面的形状与大小，因此左视图保持不变；俯视图是从上面观察得到的图形，橡皮擦水平位置的改变会使俯视图中图形的位置发生变化，综上可判断正确选项。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故Ａ正确.
B.与，不是同类项，不能合并，故Ｂ错误.
C.，故Ｃ错误.
D.，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算得，与，不是同类项，不能合并，，即可得答案.
5．如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】由题意可知∠A = ∠D，且∠A 与∠D 是直线 AB、CD 被第三条直线所截形成的内错角，根据 “内错角相等，两直线平行” 的判定定理，可直接推出 。
故答案为：B。
【分析】本题考查平行线的判定定理，利用 “内错角相等，两直线平行” 这一规则识别出∠A 与∠D 是直线 AB、CD 被截形成的内错角，再根据内错角相等的条件直接判定两直线平行。
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】随机抽取两张卡片，所有等可能的结果为 “美丽”“美山”“美河”“丽山”“丽河”“山河”，共 6 种；其中恰好抽到 “美” 和 “丽” 两张卡片的结果只有 1 种。根据概率公式，可得
．
故答案为：C。
【分析】本题考查用列举法求概率，先列出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算。
7．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次购买了个魔方，
方程中表示第二次购买魔方的数量，说明第二次比第一次少买了10个；
根据“单价=总价÷数量”，表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价；
结合方程，可知第二次购买魔方的单价比第一次低5元。
因此，被墨水污染部分的文字为：“这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个”。
故答案为：D。
【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，结合方程结构，逆向推导题目中被污染的条件含义。设第一次购买数量为，则方程中的代表第二次购买数量，可推得“第二次比第一次少买10个”；再结合单价公式“单价=总价÷数量”，以及方程的结构，可推得“第二次单价比第一次低5元”，进而还原出被污染的文字条件。
8．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得∠D=∠DAB=90°，然后利用勾股定理算出AC的长，根据角的构成及角平分线的定义可推出∠1=∠2；作EG⊥AC于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ED=EG，利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△AGE，由全等三角形对应边相等得AG=AD，然后在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程可求出EG的长，进而再在Rt△ADE中，利用勾股定理算出AE的长，从而即可求出两条线段的比值.
9．一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
整理得：，
，，，
则，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【分析】先将方程整理为标准一元二次方程形式，再根据方程有两个相等实数根的条件，令根的判别式 Δ=0，列方程求解 m 的值。
10．如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为，计算斜坡的长度　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴，
在中，
故答案为：．
【分析】先根据坡度的定义，由坡度i=1：2和竖直高度BC=5m求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理计算出斜坡AB的长度。
11． 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了　 　步．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人正好走了一个正多边形
∴360÷15°=24
∴该正多边形为正24边形
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24步
故答案为：24n
【分析】由题意可得：机器人正好走了一个正多边形，根据正多边形外角性质可得该正多边形为正24边形，即可求出答案.
12．如图，已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，与轴交于点，若，则　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，
设，
的图象向下平移6个单位得到直线；
直线的解析式为，当时，，
，
过点作轴于点，轴于点，
根据平移得到，
，
，
，
，
，
，
故点的横坐标为，纵坐标为，即，
，在反比例函数的图像上，
，解得，
，
将代入，
．
故答案为：8。
【分析】先根据直线平移规律求出平移后直线的解析式及与 x 轴的交点 C 的坐标；再通过作垂线构造相似直角三角形，利用相似三角形的性质，用点 A 的坐标参数a表示出点 B 的坐标；最后结合 A、B 两点都在反比例函数图象上的条件，列方程求出参数a，进而得到点 A 的坐标和反比例函数的k值。
13．如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长至H，使得，连接，，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴；
由旋转性质得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】先构造辅助线延长 ED 至 H，使 DH=DE 并连接 BH、CH，利用三角形中位线性质求出 CH 的长度；再结合旋转与等腰直角三角形的性质，推导出对应角相等、边成比例，证明△ABD∽△CBH；最后根据相似三角形的对应边成比例，求出 AD 的长度。
14．计算．．
【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】 先分别计算绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值和零次幂，再按顺序进行加减运算，合并同类项后得到最终结果。
15．先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16．“冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分） 频数
A 5
B
C 12
D 15
E 8
②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名七年级学生，其中的值为 ．
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分．
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数．
【答案】（1）50；10
（2）；77
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人），
则获得一等奖的学生人数为（人）．
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取学生总人数（人）；
a的值为；
故答案为：50；10；
（2）解：A组所在扇形的圆心角度数为；
∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，
∴这部分学生成绩的中位数是（分）；
故答案为：；77；
【分析】（1）用 D 组人数除以其占比求出总人数，再用总人数减去其他各组人数得到a的值；
（2）用360°乘以 A 组人数占比求出对应圆心角，再根据中位数定义，结合总人数确定第 25、26 位数据的平均数得到中位数；
（3）先根据样本占比估计总体中 E 组的人数，再按一、二等奖比例计算出一等奖的人数。
（1）解：抽取学生总人数（人）；
a的值为；
（2）解：A组所在扇形的圆心角度数为；
∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，
∴这部分学生成绩的中位数是（分）；
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人），
则获得一等奖的学生人数为（人）．
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人．
17．在中，为上一点，以为圆心，为半径的交于另一点的垂直平分线交于，交于点
（1）利用圆规和无刻度直尺，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）；
（2）连接，求证：是的切线；
（3）当四边形为矩形时，若，求弧的长度？
【答案】（1）解：
（2）证明：连接，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：当四边形为矩形时，如图，
四边形为矩形，
，
∴，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长度
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图，
为线段的垂直平分线；
【分析】（1）按尺规作图方法，作出线段 AD 的垂直平分线 EF，交 AC 于点 E、交 AB 于点 F；
（2）通过连接 OD，利用等腰三角形性质和垂直平分线性质，推导出 OD 垂直 DE，从而证明 DE 是圆 O 的切线；
（3）当四边形 OCED 为矩形时，先推出三角形 ACB 为等腰直角三角形，再结合 OB 与 OC 的比例关系求出半径，最后用弧长公式计算劣弧 BD 的长度。
（1）解：作线段的垂直平分线交于，交于点，如图，
为线段的垂直平分线；
（2）证明：连接，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3）解：当四边形为矩形时，如图，
四边形为矩形，
，
∴，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长度．
18．【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在．
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度．
【问题解决】
（1）若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？
【答案】（1）温水和开水混合后共毫升水
（2）解：设小康同学接了温水，则接了开水，
根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴小康同学接了温水，开水，
∴这杯水混合后的水温为；
设小康接开水的时间是秒，由题意得：
，
解得：，
∴接开水的时间至少是秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：，
答：此时温水和开水混合后共毫升水；
故答案为：温水和开水混合后共毫升水；
【分析】（1）根据每秒接水量和接水时间，直接计算温水与开水的总量；
（2）①设接温水的时间为 x 秒，根据总水量列方程求出接水时间，再计算两种水的体积，最后用加权平均法求出混合后的水温；
②设接开水的时间为 y 秒，根据混合后水温不低于 40℃的条件列出不等式，求解得到接开水的最少时间。
（1）解：，
答：此时温水和开水混合后共毫升水；
（2）解：设小康同学接了温水，则接了开水，
根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴小康同学接了温水，开水，
∴这杯水混合后的水温为；
设小康接开水的时间是秒，由题意得：
，
解得：，
∴接开水的时间至少是秒．
19．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】（1）∵当时，∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
、
（3）∵正方形，∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）本题考察用待定系数法求二次函数解析式，已知抛物线的解析式为，且，，点在抛物线上，将这些数据代入解析式，得到，解方程可求出，因此抛物线的表达式为。
（2）本题考察二次函数的应用，由，点，可得点的坐标为。因为抛物线过和，所以用交点式表示为，展开得。矩形中，，，所以点的坐标为，将代入的解析式，计算得，因此石块不能越过障碍物。
（3）本题考察二次函数的性质和正方形的性质，首先确定正方形的第四个顶点。抛物线开口向下，越小开口越大，越大开口越小。点在和之间，且顶点在正方形内，当抛物线顶点为，且经过点时，开口最大，最大，设解析式为，代入得，解得；当抛物线顶点为，且经过点时，开口最小，最小，设解析式为，代入得，解得，因此的取值范围为。
（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
20．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图1，在四边形中，若，那么四边形称为“邻等对补四边形”．
【概念辨析】
（1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有___________（填序号）．
【性质探究】
（2）如图3，四边形是邻等对补四边形，其中，．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，求的长？
【拓展应用】
（3）如图4，在Rt中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值．
【答案】(1) ②④
(2) 解：①；理由如下：
延长至点E，使，连接，如下图，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过A作于F，作，交于点，如下图，则，
∵，
∴，
∴，，
由①可知：，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
(3)或或1
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②、图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，
如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，，
在中，，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
过点N作交于G，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
；
当时，
连接，过N作于H，如图，
∵，
∴，
，即
解得：，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
；
综上，或或1．
【分析】（1）先明确 “邻等对补四边形” 的定义：存在一组邻边相等，且对角互补；再逐一分析图形，筛选出同时满足这两个条件的图形，得到答案。
（2）①要证明∠ACD=∠ACB，通过延长 CB 到点 E，使 BE=DC，构造△ABE 与△ADC；利用四边形邻等对补的性质推出∠ABE=∠D，结合 AB=AD，用 SAS 证明两三角形全等，再由等腰三角形性质得到∠E=∠ACB，进而证得∠ACD=∠ACB；
②过点 A 作 AF⊥EC 于 F，构造等腰三角形 AG=CG，结合已知角度和三角函数求出 BF、AF 的长度；再由∠BCD=45° 推出△AFG 为等腰直角三角形，得到 FG 和 AG 的长度，最后通过线段和差求出 BC 的长。
（3）先根据勾股定理求出 AC 的长度，再由邻等对补四边形的性质推出∠ANM=90°；分三种情况讨论：①当 AB=BM 时，通过勾股定理和相似三角形求出相关线段的长度，再利用正切的定义求出 tan∠NBM；
②当 AN=AB 时，通过 HL 证明 Rt△ABM≌Rt△ANM，再利用三角函数求出 NG、BG 的长度，进而求出 tan∠NBM；
③当 AN=MN 时，先证明△CMN∽△CAB 求出 CN 的长度，再通过△NHC∽△ABC 求出 NH、BH 的长度，最后根据正切定义求出 tan∠NBM；综合三种情况得到最终结果。
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