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安徽怀远第一中学等A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价高一数学
一、单选题
1．已知点是角终边上的一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（ ）
A． B． C．4 D．8
4．已知，且在(为非零向量)上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为
A． B． C． D．
6．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）．
A．； B．； C．； D．．
7．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列式子中成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．在中，为的中点，则
B．在中，若，则是等腰三角形
C．已知，若与的夹角是钝角，则
D．在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若，则的取值范围为
C．若且，则最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知一扇形的半径为，周长为，则该扇形的圆心角为______rad．
13．将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到曲线C，若曲线C的图象关于轴对称，则_____________
14．已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______．
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求向量与的夹角.
16．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式.
(2)设函数.
（i）求的单调递减区间；
（ii）若，求的最大值与最小值.
17．珠城陶山西麓，嘉年华主题乐园中的淮河之眼摩天轮曾被誉为“蚌埠地标”.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为108米，转盘直径为100米，设置有60个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
(1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面83米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感.小明能有多长时间感受这个过程？
(3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有14个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值.
18．如图，在梯形中，，且，设，．
(1)试用和表示；
(2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值．
(3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值.
19．对于一组向量，且，令，如果存在使得，那么称是该向量组的“1向量”.
(1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则向量组是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．
参考答案
1．B
【详解】因为点是角终边上的一点，
所以，，
所以.
故选：B
2．A
【详解】因为是的一个对称中心，所以，，
即，又，故的最小值为.
3．A
【详解】因为向量与的方向相反，
所以，其中，
因，是两个不共线的向量，
则，，
联立可得：，则.
4．C
【详解】因为，所以，
即，
所以，
所以，
则在上的投影向量为.
5．A
【详解】解：，
，
．
故选：．
6．D
【详解】由噪声的声波曲线
（其中，，）的振幅为1，
周期为2π，初相为，可得，，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：D．
7．D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

8．B
【详解】设函数的最小周期为，则，由题意可知，即，
解得，因为，，所以，
又因为，所以， ，则或，
解得或，所以的取值范围为.
9．BCD
【详解】对于A选项，，故A错误；
对于B选项，
，故B正确；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，故D正确.
10．BD
【详解】对于A，因为在中，为的中点，
则，
所以A错误；
对于B，因为是非零向量，所以所在的直线平分，
因为，所以，
所以是等腰三角形，故B正确；
对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且与不共线，
由得，所以，
又与不共线，所以，所以，
所以当与的夹角是钝角，且，故C错误；
对于D，如图，以为原点建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以，故D正确.
11．ABD
【详解】对A：当、、能围成三角形，且、、时，
有，则，
当、、共线且同向时，有，
故，故的取值范围为，故A正确；
对B：若，则，
则当与反向时，取最大值，，
当与同向时，取最小值，，
故的取值范围为，故B正确；
对C：，即，
则可设，，，
则，其中，
故最大值为，故C错误；
对D：，
由，则，
则，
故，
即的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．3
【详解】设扇形的弧长为，则扇形的周长为，所以，所以扇形的圆心角.
13．
【详解】图象上各点横坐标缩短为原来的，得，
再向左平移个单位，得，
由所得曲线的图象关于轴对称，则，可得，
又，则有.
故答案为：
14．4
【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设，
则
，
当时，最大，即最大，此时．
故答案为：4.
15．(1)；
(2)
【详解】（1）由题意，是非零向量，则由，可设，
因为，所以，解得，
则.
（2）因为，所以，
即，解得，
设向量与的夹角为，
所以，，
又因为，所以.
16．(1)
(2)（i）；（ii）最大值为，最小值为
【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得，
所以，解得.
由题意知，所以，
又，
所以，即，
又，所以，
所以.
（2）（i）
，
由，解得，
故的单调递减区间为.
（ii）设，
因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，，
当，即时，，
故在上的最大值和最小值分别为和.
17．(1)，，
(2)
(3)米
【详解】（1）因为，
由题意知，解得，
又，解得，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，，；
（2）由（1）．
令，则，即，
因为，则，所以，解得，
所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程；
（3）由题意知，两人间隔的弧度数为，
所以小明经过分钟后距离地面的高度为，
小华距离地面的高度为，；
则两人离地高度差
，
当（或），即（或）时，的最大值为米．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，，
所以，化简为．
（2）因为，，三点共线，所以，
因为，，所以，
又，
所以，
所以解得．
（3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为，
所以，
所以，，
所以，
故当时，取到最小值．
19．(1)
(2)存在，
(3)24
【详解】（1）由题意．
，
化简得：的范围是．
（2），
.
向量组，以4为周期．
，
不是该向量组的“1向量”；
是该向量组的“1向量”；
不是该向量组的“1向量”；
不是该向量组的“1向量”；
存在“1向量”，“1向量”为．
（3）由题意，，即，
，同理，，
上述三式相加，得：
，
又．
，
设，则依题意得，
得，
故，
又，
得，
所以，
因为，
当，即时，，
．

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