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江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题
一、单选题
1．若复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos 〈a＋b，a－b〉＝（　　）
A． B． C． D．
6．设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
7．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以
D．若点为的重心，则
10．下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ）
A．三个内角A、B、C满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于D，则的长为
D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题
12．已知向量不共线，，，，则实数________．
13．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则的值为__________．
14．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设为线段上任意一点，则的取值范围是_____．
四、解答题
15．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角C的大小；
(2)求的值．
17．已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知，，分别为三个内角，，的对边，
(1)求角；
(2)若，的面积为，求，；
(3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)若，，且点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求的最小值．
参考答案
1．A
【详解】由，则其虚部为.
故选：A.
2．B
【详解】由题意，，其中为坐标原点，
则.
3．B
【详解】由题意可得，解得.
故选：B.
4．D
【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底.
选项B: , , , 共线, 不能作为基底.
选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底.
选项D: , , , 不共线, 可以作为基底.
5．B
详解：因为a＝（3，1），b＝（2，2），所以a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，（a＋b）·（a－b）＝5×1＋3×（－1）＝2，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B.
6．D
【详解】由，
利用正弦定理：，
整理得，
因为，所以，故，
故．
所以为直角三角形.
故选：D．
7．D
【详解】由,可得，
又，
所以，
故选：D
8．D
【详解】因为满足，，
所以，
所以，所以,
由夹角公式得，
当且仅当，即时等号成立，
因为，在上单调递减，
所以，
即时，最大为，
此时．
故选：D
9．BD
【详解】对于A，当，为非零向量时，不存在实数使得，故A错误；
对于B，可以推出，而时，的方向不一定相同，
故推不出，故”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，向量不能比较大小，故C错误；
对于D，因为为的重心，则连接并延长交于，
则为的中点，故，所以，故D正确;
10．ABD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，因此，D正确.
11．ABD
【详解】对于A，由，设，
由余弦定理，，又，
，则，故A正确；
对于B，由，解得，
，则的周长为，故B正确；
对于C，由，
所以，解得，故C错误；
对于D，当E在优弧AC上时，设，，则，
在中，，
由正弦定理，，
，
因为，所以，
当，即时，，即取得最大值；
又当点与点重合时，；
当点与点重合时，；
当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上；
综上，的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】因为，所以，，则，解得．
故答案为：
13．
【详解】由三角函数的定义得，，
所以，
，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，设点，其中，，，
则，
令，其中，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，故，即.
所以的取值范围是.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，
解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是
16．(1)
(2)
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，
．
17．(1)3
(2)
【详解】（1）因为，又，
所以；
（2）因为，，所以，
又，所以， ，
又，所以
.
18．(1)
(2)，.
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理知可得，
而，
，
即，又，
，即，
又，则
，则.
（2）由（1）及题设可得，即，
将代入，整理得，则，
即（负值舍去），故.
（3）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，则，
所以，
所以中线的取值范围是.
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1），则，
，
，故.
（2）由（1）知，所以的三个角都小于，
由费马点定义知，
设，，，由，
整理得，整理得，
则.
（3）因为点为的费马点，所以，
设，，，，，，
由，得．
由余弦定理得，
，
，
由，得，
，又，，所以，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或（舍去），
故的最小值为．

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