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河南南阳华龙高级中学等校2025-2026学年高一下学期期中
数学试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于直线对称
D．函数图象的对称中心为
6．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
8．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
二、多选题
9．则下列命题中正确的是（ ）
A．若复数z满足，则
B．若z为复数，则必成立
C．若复数，则
D．若复数，，则
10．已知的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为
D．若，则
11．定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定存在，使得
B．若，则
C．若，则的最大值为
D．若存在两素数，使得，则
三、填空题
12．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________．
13．已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____.
14．记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______
四、解答题
15．已知向量，其中
(1)若，求k的值；
(2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
16．已知平面向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
17．如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，．
(1)请用表示向量；
(2)若为的中点，求实数的值；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
18．在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的外接圆的周长；
(2)若为锐角三角形，且，
①求角的取值范围；
②求面积的取值范围．
19．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作等边，且在上方.
（ⅰ）求线段长度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范围.
参考答案及解析
1．C
解析：
.
故选：C.
2．D
解析：设向量与向量的夹角为，因为，
所以向量在向量上的投影向量为，则，
所以
.
故选：D.
3．C
解析：由题意知，,
如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形，

因为，是的中点，故，且,
故,故，
故选：C
4．A
解析：因为，所以，则．
5．B
解析：由图象可知，，，因为，所以，
所以，而，则，
由图可知，所以，所以，
A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；
B，由，可得，
则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；
C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；
D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．
故选：B
6．B
解析：由题意可知球的半径，
因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，
根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，
棱柱底面与球的截面圆的半径，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，
所以三角形的面积为，
该棱柱的体积为.
7．A
解析：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
8．A
解析：在中，，又，
则，而，
则，即，又，则，
而，
由，得，即，
由正弦定理得，由余弦定理
因此，即，则，
由余弦定理，又，
所以.
故选：A
9．ACD
解析：对于A，若，设，即，则，，故A正确，
对于B，若，则，故B错误，
对于C，若，，，故C正确，
对于D，设，则，
可得，故D正确．
故选：ACD
10．AC
解析：对于A，因为，，所以，则，A正确．
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断和是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，B错误．
对于C，由得到，
因为三角形有两解，即由可以得到两个的值，即需满足，
即，且，
故得，即，
即的取值范围为，C正确．
对于D，因为，所以，D错误．
11．ACD
解析：对A：设，，
由，则存在，使得，
则，又，
故，故A正确；
对B：取，，，
则，，，，
故，，
此时，故B错误；
对C：设，，
则，，
故，
，
则
，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，故C正确；
对D：设，当时，，
当时，，
当时，，
当时，；
若，则有以下四种可能：
1.，，且，
则；
2. ，，且，
则；
3. ，，且，
则；
4.，，且，
则；
故时，不合题意；
若，则，有以下两种可能：
1.，则；
2.，则；
即时，符合题意；
综上：若存在两素数，使得，则，故D正确.
12．
解析：因为，，平面向量，的夹角为，且，
所以
13．
解析：设向量，的夹角为，不存在实数，使得成立，
等价于对恒成立，所以，
则，即恒成立.
所以，解得，
因为，所以，
故，的夹角的取值范围是.
14．/
解析：因为，而，
由正弦定理得，
所以.
又因为，
设，，所以.
又，所以，
所以，即，
设，所以，即有解，
所以，解得.
若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故.
即有，所以，故的最小值为.
15．(1)
(2)
解析：（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2），
，
所以，
所以向量在向量的投影向量为.
16．(1)
(2)
解析：（1）由整理得，又，
代入得，解得，
则；
（2）因为，
又，
所以.
17．(1)
(2)
(3)．
解析：（1）．
（2）因为为的中点，由（1）知，
所以．
因为三点共线，
所以，
所以，解得，所以.
（3）．
由（1）知，由（2）知，，
则，
所以，
所以，得，
所以．
18．(1)；
(2)①；②．
解析：（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，，又，
于是，，因此，设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以的外接圆的周长为.
（2）①由为锐角三角形，得，又，
则，解得，所以角的取值范围是；
②的面积，
由正弦定理得．
由，得，则，因此，
所以面积的取值范围是.
19．(1)，
(2)①1；②
解析：（1），
.
（2）（ⅰ）解法一：设，，
所表示的复数为，所表示的复数为
有，
，
故，
得
，
其中，故线段长度的最小值为1.
解法二：连接，设，，
由可得，则，
当时，
化简得，令，.
则
.
同理可得：当时，
（ⅱ）设，则，即点坐标为，
此时，，.
由（，）得：
，
即，解得，
故，
，其中，
可得.

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